초록 ▼

□ 연구개발 목표 및 내용
￭ 최종 목표
토러스 작용을 가지는 다양체(variety 혹은 manifold)에 대해서, 위상수학적/기하학적 성질을 시각화하는 조합적인 대상을 찾고, 위상수학적 성질과 조합적인 구조의 관계 연구를 통해 다양체의 분류 연구에 기여한다.
￭ 전체 내용
토러스는 콤팩트 연결 가환 리군으로서 n차원 토러스 Tⁿ은 (S¹)ⁿ(≅U(1)ⁿ) 을 말한다. 대수적 토러스(C*)ⁿ=(C-0)ⁿ

□ 연구개발 목표 및 내용
￭ 최종 목표
토러스 작용을 가지는 다양체(variety 혹은 manifold)에 대해서, 위상수학적/기하학적 성질을 시각화하는 조합적인 대상을 찾고, 위상수학적 성질과 조합적인 구조의 관계 연구를 통해 다양체의 분류 연구에 기여한다.
￭ 전체 내용
토러스는 콤팩트 연결 가환 리군으로서 n차원 토러스 Tⁿ은 (S¹)ⁿ(≅U(1)ⁿ) 을 말한다. 대수적 토러스(C*)ⁿ=(C-0)ⁿ을 n차원 복소토러스라 부르고(Z₂)ⁿ(≅O(1)ⁿ)을 n차원 2-토러스라 부른다. 본 연구에서는 콤팩트 토러스 작용을 가지는 다양체는 물론, 복소토러스 혹은 2-토러스 작용을 가진 다양체의 위상수학적, 기하학적 성질을 조합적으로 시각화하고, 조합적인 구조를 이용하여 위상수학적, 기하학적 성질을 규명하고자 한다.
토릭다양체 및 플래그다양체의 토러스불변 부분다양체를 중심으로 토러스 작용과 함께 그것의 기하학적 구조로부터 폴리토프와 같은 조합적인 대상으로 표현이 가능한 다양체들을 다룬다. 연구는 크게 두 가지 파트로 구성이 되고, 각 파트별 세부 연구 주제는 아래와 같다.
(1) 폴리토프의 조합적 구조가 토릭다양체의 위상기하적 성질에 미치는 영향 연구
- 심플렉스의 곱(수식)을 절단하여 얻은 폴리토프 위의 토릭 다양체의 분류
- 그래프에 대응하는 토릭 및 실토릭다양체의 위상적 불변량과 그에 따른 분류
(2) Flag(Cⁿ)과 그것의 부분다양체의 위상적 성질과 조합적 구조
- GZ(n)의 면구조와 Flag(Cⁿ)의 토러스불변부분다양체 연구
- Hessenberg variety에 대응하는 볼록체 연구
- Smooth toric Richardson variety에 관한 연구
- Richardson varieties of positive complexity에 관한 연구
- Torus orbit closures in flag varieties에 관한 연구

□ 연구개발성과
3년의 연구기간 동안 총 10편의 연구논문을 작성하였고, 그 중 4편은 SCIE급 국제저널에 게재완료, 1편은 Contemporary Mathematics Book series에 게재 예정, 5편은 현재 SCIE급 저널에 투고중이다. 국내외 학회에서 총 18회의 구두발표를 하였다.

□ 연구개발성과 활용계획 및 기대 효과
본 연구 개발 과정에서 찾은 다음의 후속 연구 주제에 대하여 지속적인 연구를 이어갈 예정이다.
- Smooth Richardson varieties of complexity one
- New description of Bott manifolds in terms of labeled graphs
- Poincare polynomials of toric Richardson varieties
- Classification of toric manifolds associated with graphs
- Toric Richardson varieties in general flag varieties
토러스 작용을 가진 다양체에 관한 지속적인 연구를 통해 토릭 위상수학의 발전과 국내 수학의 발전에 기여할 계획이다.

(출처 : 요약문 2p)

목차 Contents

• 표지 ... 1
• 요약문 ... 2
• 목차 ... 4
• 1. 연구개발과제의 개요 ... 4
• 2. 연구개발과제의 수행 과정 및 수행 내용 ... 5
• 3. 연구개발과제의 수행 결과 및 목표 달성 정도 ... 8
• 1) 연구수행 결과 ... 8
• 2) 목표 달성 수준 ... 8
• 4. 연구개발성과의 관련 분야에 대한 기여 정도 ... 9
• 5. 연구개발성과 및 활용 계획 ... 9
• 1) 연구성과 ... 9
• 2) 연구성과 활용계획 ... 11
• 6. 참고문헌 ... 12
• 끝페이지 ... 13