초록 ▼

□ 연구개요
이 연구과제의 목표는 잠재적 특이성이라는 새로운 개념을 이용해서 대수다양체의 쌍유리적 성질을 연구하는 것이다. 국소적인 성질인 특이점과는 다르게 잠재적 특이성은 다양체의 대역적인 성질도 함께 고려해서 만들어진 개념이다. 이러한 통합적인 성질을 이용해서 파노 타입 다양체의 분류를 시도할 것이며 양의 표수에서 전개되는 대수기하학의 미해결 문제에 대한 접근법 및 해답을 제시하는 것이 목표이다. 잠재적 특이성이라는 개념을 이용해 Fano다양체와 관련된 미해결 문제를 도전할 할 것이며, 이 참신한 개념을 대수기하학의 새로운

□ 연구개요
이 연구과제의 목표는 잠재적 특이성이라는 새로운 개념을 이용해서 대수다양체의 쌍유리적 성질을 연구하는 것이다. 국소적인 성질인 특이점과는 다르게 잠재적 특이성은 다양체의 대역적인 성질도 함께 고려해서 만들어진 개념이다. 이러한 통합적인 성질을 이용해서 파노 타입 다양체의 분류를 시도할 것이며 양의 표수에서 전개되는 대수기하학의 미해결 문제에 대한 접근법 및 해답을 제시하는 것이 목표이다. 잠재적 특이성이라는 개념을 이용해 Fano다양체와 관련된 미해결 문제를 도전할 할 것이며, 이 참신한 개념을 대수기하학의 새로운 연구 도구로 정착화 시키는 것이 장기적인 목표이다. 아울러 인자의 positivity를 Okounkov body라는 도구를 이용해 다각도로 연구할 것이다.

□ 연구 목표대비 연구결과
대수다양체가 갖는 대역적인 성질과 특이점 간의 관계를 연구하기 위해서 고안된 것이 잠재적 특이성이라는 개념이다. 주어진 다양체의 반표준인자에 대한 극소모델프로그램을 돌리면 일반적으로 특이점이 악화되는데 잠재적 kawamata log terminal(=klt)인 다양체는 결과물이 klt특이점만 갖는다. 이러한 잠재적 특이성은 반표준인자의 코호몰로지적 성질에도 의존하기 때문에 통상적인 특이점보다 다루기 힘들다. 잠재적 klt는 고전적인 klt 특이점보다 일반적인 개념이지만 많은 유사성이 있다는 것이 밝혀졌다. Multiplier ideal sheaf이론에서도 특이점과 인자의 positivity를 연결 짓는 결과들이 있는데 이러한 현상을 잠재적 특이부분집합을 정의하는 일반화된 multiplier ideal sheaf를 정의해서 좀 더 체계적으로 밝혀내려고 했다. 또 다른 연구목표는 양의 표수에서 정의되는 대수다양체의 특이점을 잠재적 특이성 관점으로 연구하는 것이었다. 이 두가지 방면으로 아직 풀리지 않은 양의 표수 기법을 이용한 Fnao 타입 다양체의 판별법에 관한 예상도 연구 대상이다. 잠재적 특이성에 관한 이론은 반표준인자에 대해서 뿐만 아니라 일반적인 인자에 대해서 비슷하게 전개할 수 있다. 따라서 인자의 positivity에 대한 충분한 연구 결과가 필요한데 이를 위해서 Okounkov body를 이용한 연구를 할 필요가 있었다. Okounkov body가 multiplier ideal sheaf를 비롯한 많은 도구들을 대체할 것이라고 믿어지고 있기 때문이다. Okounkov body를 이용하여 ampleness, nefness 등을 판별할수 있는 결과를 얻었으며 big divisor 뿐만 아니라 pseudoeffective divisor에 대한 결과로 모두 확장하였는데 극소모델이론에서 필요로하는 pseudoeffective 인자에 대한 연구도구로 확립할 수 있었다.

□ 연구개발성과의 활용 계획 및 기대효과(연구개발결과의 중요성)
이 연구과제의 결과들을 이용해서 쌍유리 대수기하학 전반에 걸친 미해결 문제에 대한 새로운 접근법을 모색할 수 있다. 일단 많은 결과를 얻을 수 있었던 Okounkov body에 관련해서는 대수기하학의 가장 어려운 문제로 남아 있는 Iitaka 예상에 대한 새로운 접근법을 고안해 낼 수 있었다. 아직 시작단계이지만 Okounkov body가 인자의 volume뿐만 아니라 Iitaka 차원까지도 내포한다는 사실에 착안하여 Iitaka 예상보다 더 일반화된 예상을 주장할 수 있게 되었다.
아직 미완성 단계에 그친 잠재적 non klt locus를 정의하는 새로운 ideal sheaf의 정확한 정의를 얻으면 multiplier ideal sheaf의 이론과 평행하게 전개 가능할 것이다. 얻어진 연구 결과들을 조금더 면밀히 검토하여 non klt locus ideal sheaf의 정확한 정의를 찾은 후 새로운 Nadel type 소멸정리를 얻을 수 있을 것으로 기대한다. 아울러 pseudoeffective인 반표준인자에 적용하여 –K-MMP가 돌아가기 위한 조건들을 찾을 수 있을 것이다.

(출처 : 연구결과 요약문 2p)

목차 Contents

• 표지 ... 1
• 연구결과 요약문 ... 2
• 목차 ... 3
• 1. 연구개발과제의 개요 ... 4
• 2. 연구개발과제의 수행 과정 및 수행 내용 ... 5
• (1) 1차년도(2016) ... 5
• (2) 2차년도(2017) ... 6
• (3) 3차년도(2018) ... 6
• (4) 4차년도(2019) ... 7
• (5) 5차년도(2020) ... 7
• 3. 연구개발과제의 수행 결과 및 목표 달성 수준 ... 9
• 1) 정성적 연구개발성과(연구개발결과) ... 9
• 2) 세부 정량적 연구개발성과 ... 10
• 3) 목표 달성 수준 ... 10
• 4) 목표 미달 시 원인 분석 ... 10
• 4. 연구개발성과의 관련 분야에 대한 기여 정도(연구개발결과의 중요성) ... 11
• 5. 연구개발성과의 관리 및 활용 계획 ... 12
• 6. 참고문헌 ... 12
• [붙임1] 세부 정량적 연구개발성과 ... 13
• [붙임2] 연구책임자 대표적 연구실적 및 증빙(요약문 및 사본) ... 18
• 끝페이지 ... 29