초록 ▼

□ 연구개요
본 연구에서는 조합론 분야는 물론 대수학에서도 많이 다루어지고 있는 Gaussian binomial coefficient에 대한 조합적 해석에 대하여 연구했다. 또한 조합론에서 많이 다루어지는 여러 카운팅 수와 다항식에 대한 연구를 통해 그로부터 나타나는 행렬과 생성함수의 변형 등을 이용하여 다양한 수와 다항식에 대한 여러 행렬 사이의 관계는 물론 선행연구에서 해석학적으로 증명되었던 여러 항등적 성질을 재해석하고자 하였다. 또한 최근 연구 동향에서 다양한 접근이 시도되고 있는 Quantum calculus에서의 q

□ 연구개요
본 연구에서는 조합론 분야는 물론 대수학에서도 많이 다루어지고 있는 Gaussian binomial coefficient에 대한 조합적 해석에 대하여 연구했다. 또한 조합론에서 많이 다루어지는 여러 카운팅 수와 다항식에 대한 연구를 통해 그로부터 나타나는 행렬과 생성함수의 변형 등을 이용하여 다양한 수와 다항식에 대한 여러 행렬 사이의 관계는 물론 선행연구에서 해석학적으로 증명되었던 여러 항등적 성질을 재해석하고자 하였다. 또한 최근 연구 동향에서 다양한 접근이 시도되고 있는 Quantum calculus에서의 q-number와 (p,q)-number를 이용하여 다항식의 변형된 형태에서 나타나는 여러 가지 결과들을 확인하고 행렬로의 표현을 통해 직관적으로 확인할 수 있도록 하고자 했다.

□ 연구 목표대비 연구결과
● 1차년도 연구목표(′19.9.1.~′20.8.31.) : alternating permutation에서 나타나는 탄젠트 수의 행렬 표현에 대한 연구
- 탄젠트 수와 다항식의 행렬 표현 연구
- 카운팅 수 행렬과의 관계성 확인
- 여러 행렬과의 대수적 관계 조사
● 2차년도 연구목표(′20.9.1.~′21.5.31.) : Gaussian binomial coefficient로 변형된 행렬의 항등적 성질 연구
- 생성함수의 변형에 대한 연구
- Gaussian binomial coefficients 로 변형된 탄젠트 행렬의 구조 및 항등성 조사
- (p,q)-binomial coefficients에 대한 조사
- (p,q)-tangent 행렬의 구조 및 다른 행렬과의 관계성 조사

□ 연구개발성과의 활용 계획 및 기대효과 (연구개발결과의 중요성)
연구 결과에서 나타난 몇 가지 해석학적 성질들을 직관적으로 확인할 수 있는 행렬 표현으로 연결될 수 있으며 다른 카운팅수와의 관계도 확인이 가능할 것이다. Polylogarithm function을 이용한 특수한 형태의 수와 다항식은 그래프는 물론 근의 분포까지도수치해석적으로 접근이 가능하다. 그리고 q-아날로그 또는 (p,q)-아날로그 형태에 대한 연구는 많은 분야에서 연구하고 있는 내용으로 이번 결과에서 응용 확장하는 이론으로 전개해나갈 수 있을 것이다. 또한, (p,q)-trigonometric function을 이용해서 변형한 (p,q)-sine 다항식과 (p,q)-cosine 다항식은 (p,q)-아날로그 형태에서 자연스럽게 전개되지 않던 p를 자연스럽게 표현해줌으로써 쉽게 확인하기 어려운 몇 가지 대칭적 성질까지 연결될 수 있을 것으로 본다. 본 연구과제에서 연구한 modified q-poly-tangent 다항식이나 modified (p,q)-poly-tangent 다항식도 이러한 생성함수 변형을 하면 유의미한 대칭적 성질을 구할 수 있을 것으로 본다. p 대신에 p^(-1) 을, q대신에 q^(-1)을 대입하면 (p,q)-Steiltjes-Wigert 다항식을 만들 수 있고 이것은 Hermite다항식과도 연결된다. 최적화 문제해결이나 선형미분방정식 문제해결을 위해서도 행렬은 유용하다.
이론적인 응용은 물론 컴퓨터 프로그램에서의 다양한 소프트웨어 개발에도 직ㆍ간접적으로 영향을 미치고 있다. 특히나 수와 다항식에 대한 연구는 이산수학이나 조합이론에서도 중요하게 다루고 있는 부분이며 이항계수로 구성한 파스칼 행렬은 그 외에도 피보나치 수 또는 카탈란수, 그리고 스털링 수 등과 연관한 이론적인 확장이 가능하도록 한다.

(출처 : 연구결과 요약문 2p)

목차 Contents

• 표지 ... 1
• 연구결과 요약문 ... 2
• 목차 ... 3
• 1. 연구개발과제의 개요 ... 4
• 2. 연구개발과제의 수행 과정 및 수행 내용 ... 5
• 3. 연구개발과제의 수행 결과 및 목표 달성 수준 ... 7
• 1) 정성적 연구개발성과(연구개발결과) ... 7
• 2) 세부 정량적 연구개발성과 ... 8
• 3) 목표 달성 수준 ... 8
• 4) 목표 미달 시 원인 분석(해당 시) ... 8
• 4. 연구개발성과의 관련 분야에 대한 기여 정도(연구개발결과의 중요성) ... 9
• 5. 연구개발성과의 관리 및 활용 계획 ... 10
• 6. 참고문헌 ... 11
• 붙임1. 세부 정량적 연구개발성과 ... 12
• 붙임2. 연구책임자 대표적 연구실적 및 증빙(요약문 및 사본) ... 13
• 끝페이지 ... 17