초록 ▼

Ⅳ. 연구개발결과
본 연구에서는, 성공적으로 일반적인 1차 논리 구조의 갈루아 군을 표현하는 complete system을 찾았다. 이 complete system을 이용하여, PAC 구조에 대한 1차 논리 동치 조건 및 NSOP_n 분류에 관한 결과를 얻었다. 특히, 일반적인 1차 논리 구조에 대한, 갈루아 군은 단순히 profinite 군으로 생각하면 안 되고, primitive element의 위치에 대한 정보들(sorting data)을 추가한 군으로서 고려해야만 하고, 이런 군을 sorted prof

Ⅳ. 연구개발결과
본 연구에서는, 성공적으로 일반적인 1차 논리 구조의 갈루아 군을 표현하는 complete system을 찾았다. 이 complete system을 이용하여, PAC 구조에 대한 1차 논리 동치 조건 및 NSOP_n 분류에 관한 결과를 얻었다. 특히, 일반적인 1차 논리 구조에 대한, 갈루아 군은 단순히 profinite 군으로 생각하면 안 되고, primitive element의 위치에 대한 정보들(sorting data)을 추가한 군으로서 고려해야만 하고, 이런 군을 sorted profinite 군이라고 명명하였다.
결과 1. Sorted profinite 군의 범주와 반변함수에 의해서, 동치인 complete system의 범주를 찾았다. 이 complete system을 sorted complete system이라고 명명한다.
결과 2. Sort들의 집합 Σ로 이루어진, 1차 논리 언어 L이 주어졌다고 하자. C를 stable 한 L-구조라고 하자. E를 C의 부분구조라고 하자. 이때, 갈루아 군 G(E)의 sorted complete system이 1차 논리 구조로 표현이 된다. 무엇보다도, sorted complete system은 L_P-구조 (C,E)에서 interpretable 하다. 여기서, L_P는 L에 새로운 단사 술어 P를 추가하여 확장된 언어이다.
결과 3. 두 PAC 구조들이 어떤 공통적인 부분구조를 갖고, 갈루아 군의 sorted complete system들이 그 공통된 부분구조에 대한 갈루아 군의 sorted complete system에 대해서 1차 논리적으로 동치라면, 두 PAC 구조들은 1차 논리적으로 동치가 된다.
결과 4. PAC 구조에 대해서, sorted complete system을 이용하여, type-아말감 성질을 증명하였다.
결과 5. 임의 양수 n에 대해서, 어떤 PAC 구조의 갈루아 군의 sorted complete system이 NSOP_n 성질을 갖는다면, 주어진 PAC 구조도 NSOP_n 성질을 갖는다.

(출처 : 요약문 5p)

Abstract ▼

Pseudo algebraically closed fields are one of central topics in arithmetic and algebraic geometry and model theory of fields because they have fruitful arithmetic and geometric properties. Most of all, by the Embedding Lemma, first order properties of PAC fields are encoded in their Galois groups. F

Pseudo algebraically closed fields are one of central topics in arithmetic and algebraic geometry and model theory of fields because they have fruitful arithmetic and geometric properties. Most of all, by the Embedding Lemma, first order properties of PAC fields are encoded in their Galois groups. For example, G. Cherlin, L. van den Dries, and A. Macintrye studied decidability of PAC fields using the complete system of Galois groups. They showed that two PAC fields having the basic algebraic data are elementary equivalent if the complete systems of their Galois groups are elementary equivalent. Also, Z. Chatzidakis proved a certain type-amalgamation theorem for PAC fields via complete systems of Galois groups. Using the type-amalgamation theorem, Z. Chatzidakis and N. Ramsey provided criteria for PAC fields to be NSOP_n. More precisely, a given PAC field is NSOP_n if the complete system of the Galois group of the field is NSOP_n.
In our research, we aim to develop a proper notion of complete system of PAC fields and study its co-logic. Also, we aim to generalize Chatzidakis’ type-amalgamation criterion and criteria for being NSOP_n for PAC structures.
Our main results are as follows.
Main result 1.
We develop a proper notion of complete system of Galois groups of arbitrary first order structures, called the sorted complete system, and we study co-logic for the sorted complete system to capture the first order properties of PAC structures.
Main result 2.
We show that for each positive integer n, a given PAC structure is NSOP_n if the sorted complete system of Galois group of the PAC structure is NSOP_n.

(source : Summary 7p)