초록 ▼

□ 연구개요
이 연구의 목적은 다양체나 오비폴드 위에서 아핀 또는 실사영 구조를 연구하는 것이다. 특히 반근위(semiproximal) 홀로노미 군을 가지는 구조를 연구했다. 이중 한 가지는 끝을 가지는 실사영 오비폴드를 연구했다. 이러한 끝의 종류를 더 확장해서 분류하고 전체 변형공간과 character variety와의 관계를 연구했다. 2번째 목표로서 아핀 공간의 홀로노미 군이 아핀 uniformly semiproximal 작용을 가지는 완비인 아핀 다양체에 대한 연구했다. n차원 아핀공간의 아핀 semiproximal

□ 연구개요
이 연구의 목적은 다양체나 오비폴드 위에서 아핀 또는 실사영 구조를 연구하는 것이다. 특히 반근위(semiproximal) 홀로노미 군을 가지는 구조를 연구했다. 이중 한 가지는 끝을 가지는 실사영 오비폴드를 연구했다. 이러한 끝의 종류를 더 확장해서 분류하고 전체 변형공간과 character variety와의 관계를 연구했다. 2번째 목표로서 아핀 공간의 홀로노미 군이 아핀 uniformly semiproximal 작용을 가지는 완비인 아핀 다양체에 대한 연구했다. n차원 아핀공간의 아핀 semiproximal 작용을 Kapovich-Leeb-Porti 방법 또는 Bochi-Potrie-Sambarino 방법으로 연구했다. 마지막으로 2-차원 오비폴드의 볼록실사영변형 공간의 symplectic 구조를구하고 대역적 Darboux 좌표계를 찾았다.

□ 연구 목표대비 연구결과
(1)한 가지 중요한 원리는 Cooper교수가 용어화한 Ehresmann-Thurston-Weil (ETW) 원칙이라고 할 수 있다. O를 끝을 가지는 tame 오비폴드라고 하자. O의 기본군을 π(O)라고 하자. CDef_c(O)는 O위의 끝이 조건 c를 만족하는 모든 볼록실사영 구조들을 모아서 만든 공간을 isotopy작용으로 quotient된 공간을 말한다. Hom_c(π(O), PGL(n+1,R))/PGL(n+1,R)를 끝의 기본군이 c에 해당하는 조건을 만족하는 homomorphism의 집합의 동치류 공간을 말한다. 여기서의 ETW 원칙이란 볼록 실사영 변형공간 CDef_c(O)에서 character-variety Hom_c(π(O), PGL(n+1,R))/PGL(n+1,R)의 성분의 합공간으로 가는 holonomy map이 homeomorphism이 되면 성립하는 원칙이다. 이 원칙은 양쪽 공간에 끝구조 c에 해당하는 조건을 주고 성립한다는 것을 보였다. (2)홀로노미군이 아핀 uniformly semiproximal 작용을 가지는 완비인 아핀 다양체에 대한 연구를 한다. n차원 아핀공간의 아핀 군의 작용을 Kapovich-Leeb-Porti의 방법 또는 Bochi-Potrie-Sambarino의 방법으로 연구하려고 한다. 우리는 선형 홀로노미가 k-Anosov인 경우 군의 cohomological 차원이 n-k보다 같거나 작다고 보였다. (3) 2-차원 오비폴드 위의 실사영 볼록 구조 변형공간이나 symplectic 구조의 integrable 좌표계를 찾았다.

□ 연구개발성과의 활용 계획 및 기대효과 (연구개발결과의 중요성)
(1)볼록 실사영 오비폴드의 끝구조 연구의 완결은 이 분야에서 실사영구조에 관한 이론적인 측면에서 한 가지 중요한 이정표가 된다. 쉽게 끝나지는 않을 것이다. 아직도 남아 있는 것은 어떠한 오비폴드 들이 볼록실사영 구조를 가지는 것 등이다. 또한 변형공간의 차원을 구하는 문제도 남아 있다. Kleinian 군이론을 일반적인 볼록공간에 작용하는 실사영 이산군이론으로 발전시키는 것은 의미 있는 일이다. 또한 Bers parameterization, Thurston의 끝 구조의 연구의 일반화도 연구 할 수 있는 대상이라 할 수 있다. (2) 아핀 군의 작용에 대한 연구는 Auslander 예상 (1960)의 증명으로 가는 시도 중 하나이다. 2010년경 Abels, Margulis, Soifer의 업적 이후 많은 연구자들이 최근에 관심을 가지고 연구하고 있다. Auslander 예상은 아핀 공간에서 compact Hausdorff quotient공간을 가지는 이산군이 virtually solvable이여야 한다는 것인데 이것은 군의 작용에 관한 이론 중 1960년대부터 계속 연구되어 왔던 것이다. 일단 연구를 상대적으로 k-Anosov인 경우로 확장하려 한다. 현재 상대적 k-Anosov 표현에 대한 연구는 진행 중이다. 따라서 그것을 따라서 연구하기로 한다. (3) 2-차원 orbifold 경우의 symplectic구조의 integrable 좌표의 구현은 매우 재미있는 문제이다. 고차원 Hitchin 성분에 대한 연구로 일반화 할 수 있어 보인다. 현재 2-차원 오비폴드에 대해서는 미분기하학적 인 연구가 되어있지만 integrable Darboux 좌표는 아직 없다. Anosov인 표현 케일러 다양체등 고차원의 다양체나 오비폴드의 character variety의 symplectic 구조의 연구에 영향을 미칠 수도 있어 보인다.

(출처 : 연구결과 요약문 2p)

목차 Contents

• 표지 ... 1
• 연구결과 요약문 ... 2
• 목차 ... 3
• 1. 연구개발과제의 개요 ... 4
• 2. 연구개발과제의 수행 과정 및 수행 내용 ... 4
• 3. 연구개발과제의 수행 결과 및 목표 달성 수준 ... 5
• 1) 정성적 연구개발성과(연구개발결과) ... 5
• 2) 세부 정량적 연구개발성과 ... 6
• 3) 목표 달성 수준 ... 6
• 4) 목표 미달 시 원인 분석 ... 6
• 4. 연구개발성과의 관련 분야에 대한 기여 정도(연구개발결과의 중요성) ... 6
• 5. 연구개발성과의 관리 및 활용 계획 ... 7
• 6. 참고문헌 ... 7
• 붙임1. 세부 정량적 연구개발성과 ... 8
• 붙임2. 연구책임자 대표적 연구실적 및 증빙(요약문 및 사본) ... 10
• 끝페이지 ... 10