초록 ▼

□ 연구개요
유클리드 및 민코우스키 공간에서 라플라스 연산과 결합하여 특정식을 만족하는 가우스 사상을 가지는 다양체에 관한 연구를 통해 다양체의 분류 작업을 수행하고자 한다. 관련 연구의 확장으로 구면 가우스 사상을 이용한 구면 다양체의 분류에 관한 연구도 함께 진행할 것이다.
또한, 민코우스키 공간상의 영곡선에 대한 이해를 기반으로 선직다양체에 대한 새로운 접근 방식을 고민해보고, 물리학 및 천체학에서 중요하게 다뤄지는 마지너리 갇힌 다양체와의 관계성에 관해 연구해보고자 한다.

□ 연구 목표대비 연구결과

□ 연구개요
유클리드 및 민코우스키 공간에서 라플라스 연산과 결합하여 특정식을 만족하는 가우스 사상을 가지는 다양체에 관한 연구를 통해 다양체의 분류 작업을 수행하고자 한다. 관련 연구의 확장으로 구면 가우스 사상을 이용한 구면 다양체의 분류에 관한 연구도 함께 진행할 것이다.
또한, 민코우스키 공간상의 영곡선에 대한 이해를 기반으로 선직다양체에 대한 새로운 접근 방식을 고민해보고, 물리학 및 천체학에서 중요하게 다뤄지는 마지너리 갇힌 다양체와의 관계성에 관해 연구해보고자 한다.

□ 연구 목표대비 연구결과
● 일반화된 1차형 가우스 사상에 대한 연구
: 유클리드 및 민코우스키 공간상의 선직다양체에 대한 연구 및 관련된 연구의 확장을 시도하였다. 그 결과로, 일반화된 1차형 구면 가우스 사상을 이용하여 3차원 단위 구상의 선직곡면을 특징화할 수 있었고, 일반화된 1차형 구면 가우스 사상을 가지는 일반적인 차원의 단위 구상의 초곡면에 대한 기하학적인 특징을 규정할 수 있었다.
● 구면 가우스 사상에 대한 연구
: 구면 가우스 사상을 이용한 3차원 단위 구 상의 선직곡면에 관한 특징화 작업 및 분류 작업 완성하였고, 일반적인 차원의 단위 구의 부분다양체에서 정의되는 두 개의 가우스 사상, 구면 가우스 사상과 가우스 사상을 이용하여 주어진 다양체의 기하학적인 특성에 대해서 알아보았다.
● 민코우스키 공간의 선직곡면 및 선직다양체에 접근하는 새로운 시각에 대한 연구
: 물리학 및 천체학에서 중요하게 다뤄지는 마지너리 갇힌 다양체에 관한 연구에서, 기존의 연구결과들을 응용하여 주어진 다양체의 새로운 기하학적 성질을 규명하고 특징화하는 작업을 수행 중이다. 이와 관련한 결과는 논문으로 작성 중에 있다.

□ 연구개발성과의 활용 계획 및 기대효과(연구개발결과의 중요성)
본 연구자는 유클리드 및 민코우스키 공간상의 부분다양체의 가우스 사상 및 구면 가우스 사상을 이용하여 주어진 다양체를 특징화하는 작업을 수행하였고, 이러한 연구 결과는 일차적으로는 미분기하학 분야에서 활용될 것이다. 현재도 많은 수학자들은 유클리드 및 유사-유클리드 공간에서 새로운 의미를 갖는 다양체를 발견하고 그러한 다양체의 기하학적 특징을 밝힘으로써 수학 분야 및 자연과학 분야에서 그 역할을 찾고자 노력하고 있다. 그러한 노력을 위한 과정 중에, 본 연구자의 연구개발성과들은 관련된 연구를 진행하는 다른 수학자들의 연구 방향에 따라 적절하게 활용될 것이라 생각된다. 또한, 연구에서 주로 다루고 있는 선직다양체 및 구면 다양체는 기하학뿐만 아니라 자연과학에서도 주요하게 다뤄지고 연구되는 다양체들 중의 하나로, 이들에 대한 특징화 작업 결과는 수학 분야에 국한되지 않고, 그 필요에 따라 여러 분야에서 활용될 것으로 기대된다.

(출처 : 연구결과 요약문 2p)