초록 ▼

□ 연구개요
Diophantine m-tuple이란 임의의 두 원소의 곱에 1을 더했을 때 제곱수가 되는 m개의 양의 정수들의 집합을 말한다. Diophantine m-tuple에서 중요하게 다뤄지는 부분은 몇 개까지 확장할 수 있는가이다. 이는 elliptic curve와 정수해의 구조와 밀접한 관계를 보이기 때문이다. Diophantine m-tuple의 불확장성을 통해 그로 인해 유도되는 elliptic curve의 유리수 해의 개수와 그 구조를 확인할 수 있다.

□ 연구 목표대비 연구결과
본 연구의 시

□ 연구개요
Diophantine m-tuple이란 임의의 두 원소의 곱에 1을 더했을 때 제곱수가 되는 m개의 양의 정수들의 집합을 말한다. Diophantine m-tuple에서 중요하게 다뤄지는 부분은 몇 개까지 확장할 수 있는가이다. 이는 elliptic curve와 정수해의 구조와 밀접한 관계를 보이기 때문이다. Diophantine m-tuple의 불확장성을 통해 그로 인해 유도되는 elliptic curve의 유리수 해의 개수와 그 구조를 확인할 수 있다.

□ 연구 목표대비 연구결과
본 연구의 시작 단계에서는 아래의 세 가지를 목표
(1) Diophantine pair에서 triple로의 확장을 위한 수의 범위 확장
(2) Torsion group의 높은 rank에서 가지는 문제점 해결
(3) 확장성을 증명하는 다른 방법의 모색을 생각하였다.
2019년부터 2022년까지 3년간의 기간동안 총 8편의 국내외 학술지에 논문을 게재하였다. 위의 연구 목표에서 확장성에 대한 부분은 많은 연구 발전이 있었다. 다양한 Diophantine m-tuple의 불확장성을 증명하였고 이를 통해 Diophantine quintuple로의 불확장성에 대한 가설을 뒷받침하였다. 또한, 불확장성을 통한 Elliptic curve의 정수해 구조 연구에 대해서도 많은 논문을 발표하였다. 다양한 경우의 Elliptic curve에 대하여 Torsion group의 구조를 확인하고 이를 활용하는 방안에 대해 모색할 수 있게 되었다.
반면, 높은 rank에서 가지는 문제점과 확장성을 증명하는 다른 방법에 대해서는 연구 결과가 미비하였다. 2020년부터 급격하게 퍼진 코로나 바이러스로 인한 사회의 변화로 인해 학술세미나가 온라인으로 대체되어 개체되는 등 변화하였다. 이로 인해 공동 연구 인력을 모집하기 어려움이 있었고 혼자만의 연구만으로는 연구 진행 결과가 만족스럽지 못하였던 점이 아쉽게 느껴진다.

□ 연구개발성과의 활용 계획 및 기대효과 (연구개발결과의 중요성)
Diophantine m-tuple의 연구결과로 가장 중요한 부분은 Elliptic curve와의 관계성이다. Elliptic curve는 그 자체로서 수학적인 아름다움을 지니고 있을 뿐만 아니라, 또한 Elliptic curve가 가진 특별한 연산 구조는 암호에 활용될 정도로 저장 공간 대비 보안성이 우수한 암호체계를 제공하는 등 산업수학으로의 응용에도 기여하는 중요한 주제이다. 따라서 Diophantine m-tuple의 연구결과를 통해 아직 발견하지 못한 다양한 경우의 Elliptic curve의 구조를 확인하고 일반화하여 산업수학의 발전에 도움을 줄 수 있다.
Diophantus의 호기심에서 시작한 질문이 근대의 수학과 만나 생각지 못한 응용에 이를 수 있듯이 이 분야에 대한 연구를 통해 쉽게 접근할 수 없었던 다양한 분야(대수기하, 해석학, 위상수학, 선형대수 등)의 난제와 접목하여 암호 뿐만 아니라 Machine Learning과 Deep Learning 분야의 연산 계산 등에도 널리 적용할 수 있다.

(출처 : 연구결과 요약문 2p)

목차 Contents

• 표지 ... 1
• 연구결과 요약문 ... 2
• 목차 ... 3
• 1. 연구개발과제의 개요 ... 4
• 2. 연구개발과제의 수행 과정 및 수행 내용 ... 5
• 3. 연구개발과제의 수행 결과 및 목표 달성 수준 ... 7
• 1) 정성적 연구개발성과(연구개발결과) ... 7
• 2) 세부 정량적 연구개발성과 ... 7
• 3) 목표 달성 수준 ... 7
• 4. 연구개발성과의 관련 분야에 대한 기여 정도(연구개발결과의 중요성) ... 7
• 5. 연구개발성과의 관리 및 활용 계획 ... 8
• 6. 참고문헌 ... 9
• 붙임1. 세부 정량적 연구개발성과 ... 11
• 붙임2. 연구책임자 대표적 연구실적 및 증빙(요약문 및 사본) ... 12
• 끝페이지 ... 20