초록 ▼

□ 연구개요
본 연구에서 연구자의 연구목표는 미분가능 동력계에서의 동력계의 안정성에 대한 연구로, Palis가 제안한 매우 흥미로운 문제로, 미분가능 동력계의 집합들이 복잡성을 가지고 있지 않을 때, 이 동력계가 쌍곡성을 갖는가에 대한 문제로 이는 현재까지 지속적으로 연구되어지는 안정성의 연구이다. 이에 대한 연장선상에서 본 연구도 동력계의 구조적 안정성을 가짐을 목표로, 다양한 위상 동력계의 성질들과 이들을 활용한 섭동의 방법으로 주어진 동력계의 쌍곡성을 가짐을 보이는 것이 주요 연구 목표이다. 또한, 이들의 공간에 특별한

□ 연구개요
본 연구에서 연구자의 연구목표는 미분가능 동력계에서의 동력계의 안정성에 대한 연구로, Palis가 제안한 매우 흥미로운 문제로, 미분가능 동력계의 집합들이 복잡성을 가지고 있지 않을 때, 이 동력계가 쌍곡성을 갖는가에 대한 문제로 이는 현재까지 지속적으로 연구되어지는 안정성의 연구이다. 이에 대한 연장선상에서 본 연구도 동력계의 구조적 안정성을 가짐을 목표로, 다양한 위상 동력계의 성질들과 이들을 활용한 섭동의 방법으로 주어진 동력계의 쌍곡성을 가짐을 보이는 것이 주요 연구 목표이다. 또한, 이들의 공간에 특별한 구조를 추가하여 이전의 동력학의 성질들을 일반화 한 것이고, 이산적 동력계를 연속적 동력계로 확장하여 이들의 쌍곡성에 대하여 연구한 것이다. 다양한 수학 분야를 활용하여 동력계의 성질들을 새롭게 정의하고 이들을 활용하여 이전의 결과를 일반화하고, 기하학적 방법으로 미분가능 동력계의 안정성을 보인 것이다.

□ 연구 목표대비 연구결과
본 연구에서는 동력계의 안전성을 연구 함에 있어 다음의 문제들에 대하여 연구하였다. 먼저는 shadowing properties에 대하여, 전 공간 및 불변이고 닫힌 부분집합에서 정의된 동력계의 쌍곡구조를 가짐을 보이는 연구로, diffeomorphism, vector field그리고 특별한 구조가지는 공간(divergence-free vector field)에서의 쌍곡성을 보였다. 이에 대한 연구 결과들은-Diffeomorphisms with a generalized shadowing property, Partial hyperbolicity and pseudo orbit tracing properties 그리고 local topologically stable diffeomorphisms등이 연구 결과로 출판 되었다. 그리고, 전 공간에서 특별한 한점에 대한 shadowing properties에 대하여 섭동의 성질들인 robust와 generic의 성질을 활용하여 전공간의 안정성을 보였다. 특히 generic에 대한 결과는 2007년부터 지속적으로 제기되어온 shadowing과 관련한 주요한 문제로 아직까지 해결되지 않은 문제로 남아 있었는데 이를 한점에 대하여 정의한 point-wise한 추적 성질을 활용하여 전공간의 안정성 보인 가치 있는 연구 결과이다. 이에 대한 연구 결과는-Hyperbolic structure of pointwise inverse pseudo-orbit tracing property for C^1 diffeomorphisms이 있다. 마지막으로, 위상 기하적인 다양한 동력계의 성질인 expansive를 다양한 수학의 분야로 새롭게 정의하여 연구를 진행한 이전의 연구를 일반화하고 확장하는 연구로 Morales가 시작한 measure를 사용한 expansive의 연구는 동력계의 안정성을 연구하는 새로운 방향을 제시하였다. 이와 관련하여 본 연구에서도 measure를 활용한 다양한 동력계의 안정성인 쌍곡구조에 대하여 연구 결과를 도출하였고, 특히 특별한 expansive에 대한 동력계를 재매개화를 사용하지 않고 이전의 결과를 보다 일반화한 연구를 진행 하였다. 더불어 현재 expansive의 이산 동력계의 확장인 연속동력계에 대하여 continuum-wise expansive에 대한 연구 결과는 투고 중에 있고, 이들의 일반화인 결과는 2022년 학회에서 발표하였고, 현재 투고 중에 있다. 이들 연구결과들은-Asymptotic measure-expansiveness for generic diffeomorphisms, Kinematic N-expansive continuous dynamical systems, robustly continuum-wise measure expansive diffeomorphisms 등이 있다.

□ 연구개발성과의 활용 계획 및 기대효과(연구개발결과의 중요성)
궤도의 움직임의 연구를 주로하는 동력계에서 다양한 shadowng 성질들을 활용하여 동력계의 안정성에 대한 연구는 의미있고 가치 있는 연구로, 본 연구를 통하여 다양한 shadowing의 성질을 diffeomorphism 뿐만 아니라 vector field에 대하여도 연구를 지속적으로 수행할수 있을 것으로 사료된다. 또한, Abdenur와 Diaz가 제기한 generic의 문제를 다양한 shadowing의 성질들에 대하여 적용하여 아직 미 해결의 문제를 해결할 수 있을 것으로 사료된다. 그리고 이들을 vector field로 확장하여 같은 방법으로 연구를 수행할 수 있을 것이다. 마지막으로 다양한 수학분야로 정의된 동력계의 개념들을 위상 동력계나 미분가능 동력계로 새롭게 정의(random dynamical system, inverse limit system 등)하여 연구함으로 동력계의 연구분야를범위를 확장할 수 있을 것으로 사료된다.

(출처 : 연구결과 요약문 2p)

목차 Contents

• 표지 ... 1
• 연구결과 요약문 ... 2
• 목차 ... 3
• 1. 연구개발과제의 개요 ... 4
• 1-1. 연구개발의 목적 ... 4
• 1-2. 연구개발의 필요성 ... 4
• 1-3. 연구 최종목표 및 연구 범위 ... 5
• 2. 연구개발과제의 수행 과정 및 수행 내용 ... 5
• 2-1. 연구개발과제의 수행 과정 ... 5
• 2-2. 연구개발과제의 수행의 주요 내용 ... 7
• 3. 연구개발과제의 수행 결과 및 목표 달성 수준 ... 11
• 1) 정성적 연구개발성과(연구개발결과) ... 11
• 2) 세부 정량적 연구개발성과 ... 12
• 3) 목표 달성 수준 ... 12
• 4. 연구개발성과의 관련 분야에 대한 기여 정도(연구개발결과의 중요성) ... 12
• 5. 연구개발성과의 관리 및 활용 계획 ... 13
• 5-1. 추가 연구의 필요성 ... 13
• 5-2. 추후에 해결할 문제들 ... 13
• 6. 자체점검표 ... 14
• 7. 참고문헌 ... 14
• 붙임1. 세부 정량적 연구개발성과 ... 18
• 붙임2. 연구책임자 대표적 연구실적 및 증빙(요약문 및 사본) ... 21
• 끝페이지 ... 33