초록 ▼

□ 연구 목표 및 내용
○ 최종 목표
확률편미분방정식은 기존의 결정론적 모형으로 설명하기 어려운 자연현상을 분석하고 새로운 시각을 제공하는 방법입니다. 그 중 다양한 비국소 작용소와 확률잡음을 가지는 비선형 확률편미분방정식은 시간 및 공간에 확률적 효과를 고려한 가장 일반적인 형태의 방정식 중 하나입니다. 이러한 방정식들이 실제적으로 유용하게 사용되기 위해서는 해의 존재성과 유일성 이외에도 해의 정칙성, 행동 등의 질적(qualitative)인 성질들을 파악하는 것이 필요합니다. 기존 변분법(variational appr

□ 연구 목표 및 내용
○ 최종 목표
확률편미분방정식은 기존의 결정론적 모형으로 설명하기 어려운 자연현상을 분석하고 새로운 시각을 제공하는 방법입니다. 그 중 다양한 비국소 작용소와 확률잡음을 가지는 비선형 확률편미분방정식은 시간 및 공간에 확률적 효과를 고려한 가장 일반적인 형태의 방정식 중 하나입니다. 이러한 방정식들이 실제적으로 유용하게 사용되기 위해서는 해의 존재성과 유일성 이외에도 해의 정칙성, 행동 등의 질적(qualitative)인 성질들을 파악하는 것이 필요합니다. 기존 변분법(variational approach)이나 부드러운 해(mild solution)를 이용한 연구결과들은 일반적인 비국소 작용소와 확률잡음, 비선형 항을 가지는 방정식의 해의 유일성 및 존재성은 보일 수 있지만 질적을 측면을 얻기 쉽지 않거나, 얻을 수 있더라도 작용소나 확률잡음, 비선형 항의 종류가 극히 제한되는 경우가 많았습니다. 따라서, Krylov가 정립한 Lp 정칙성 이론을 기본으로 하여 다양한 비국소 연산자와 확률잡음을 포함하는 비선형 확률편미분방정식의 Lp 정칙성이론을 구축하고, 해의 여러가지 질적인 성질을 확인하는 체계를 만들고자 합니다. 또한, 이렇게 확보한 수학적 도구들을 다른 분야에 적용하여 해당 분야의 발전을 돕고, 수학 이론이 발전해야 할 합리적인 방향을 모색하고자 합니다.

○ 전체 내용
1. 확률잡음(random noise)은 시간 및 공간에 대해 영향을 줄 수 있는 확률적 효과를 수학적으로 표현한 대상입니다. 대표적인 예시로 대표적인 예시로 시간과 공간방향으로의 브라운 운동을 모사한 “시공간백색잡음(space-time white noise)”을 생각할 수 있습니다. 시공간백색잡음이 포함된 확률편미분방 정식은 물리학, 신경생리학, 유전학, 경제학 등의 여러 분야에서 물질의 파동 및 확산, 시냅스간의 연결, 유전자 우성 형질의 전달, 인구의 변화 등의 현상을 묘사할 때 사용됩니다.

2. 확률편미분방정식(stochastic partial differential equation)은 자연 현상을 모델링하는 편미분방정식에 현실에서 관찰할 수 있는 확률적 효과가 추가된 방정식을 말합니다. 예시로, 열의 확산을 나타내는 열확산방정식에 시공간 백색잡음이 외력으로 작용하는 확률적 열확산방정식(stochastic heat equation)을 생각할 수 있습니다.

3. 비국소 작용소(nonlocal operator)는 작용소의 값이 어떤 점 근처에서만 의존하여 결정되지는 않는 작용소입니다. 시간 비국소연산자의 예시로 Caputo fractional derivative를 생각할 수 있습니다. 시간에 대한 분수적 미분이 포함된 방정식의 경우 마찰력 등의 요소를 고려해 기존 방정식보다 실제 현상을 정확하게 묘사합니다. 공간 비국소 연산자의 예시로 phi-라플라시안인 경우를 고려할 수 있습니다. phi-라플라시안의 경우 d차원 부분공간안에서 시작하는 종속된 킬드 브라운 운동(subordinate killed Brownian motion)의 무한소 작용소(infinitesimal generator)인 분수적 라플라시안(fractional Laplacian) 을 생각할 수 있습니다.

4. 비선형 방정식은 반선형(semilinear), 부분선형(sublinear), 초선형(superlinear), 완전비선형(fully nonlinear)등으로 나눌 수 있습니다. 예를들어, 반선형 방정식의 예로는 충격파의 전파를 묘사하는 Burgers' equation이 있고, 완전 비선형 방정식의 예로는 다공성 매질 위에서 유체의 흐름을 표현하는 Porous media equation이 있습니다.

5. 완비성을 가진 확률공간(complete probability space) 과 보통의 조건(Usual condition)을 만족하는 정보집합(filtration)을 가정합니다. 공간정의역은 d차원 유클리드 공간 안의 C1-domain을 가정합니다.

6. 본 연구에서는 다양한 형태의 노이즈와 비국소 작용소를 갖는 비선형 확률 편미분방정식에 대한 Lp 정칙성 이론(Lp-regularity theory)을 구축하여 해의 존재성(existence), 유일성(uniqueness)을 증명하고, 해의 정칙성(regularity), 해의 행동 등의 질적인(qualitative) 성질을 파악하는 체계를 만들고자 합니다. 첫 단계로 확률잡음으로는 시공간 백색잡음, 비국소 작용소로는 phi-라플라시안을 가지는 선형 방정식부터 연구하고, 추후에 비국소 작용소에 미적분작용소(integro-differential operator), 확률잡음에 반마팅게일 (semimartingale) 잡음, 비선형 항은 단조 증가 조건(monotone increasing condition)만을 가지는 일반적인 경우까지 고려하려 합니다.

7. 위의 연구를 진행하며 얻게 된 수학적 지식들을 타 분야에서 활용하는 연구를 진행합니다. 생명수학, 화학 등의 분야에서 확률편미분방정식은 분자 단위의 현상을 모사하는데 활용됩니다. 이와 같은 확률편미분방정식을 AI모델을 이용해 분석할 때, 앞선 단계에서 얻게 된 확률편미분방정식 이론을 이용해 기존과는 다른 구조의 네트워크가 실제의 함수를 근사할 수 있다는 내용을 증명하려 합니다. 또한, 이렇게 변경한 네트워크의 구조가 물리정보를 반영할 수 있음을 증명하고자 합니다.

○ 1단계
● 연구 목표
물리, 생물학, 화학 등 여러 분야에서 활용되는 확률편미분방정식 중, 다양한 확률잡음과 비국소 작용소, 비선형 항을 가지는 방정식에 대한 Lp 정칙성 이론을 정립하여 해의 존재성, 유일성을 보이고, 해의 정칙성, 경계 근처에서 의 해의 행동, 지지집합 성질 등의 질적인 성질을 증명하고자 합니다. 또한, 결과를 얻는 과정을 정리하여 패턴을 파악해 해의 성질을 얻어내는 체계를 제시하려 합니다.

● 연구 내용
다음의 네 가지 형태의 방정식을 다루었습니다.

1. 백색잡음과 초선형 형태의 비선형 확산계수를 가지는 Burgers 방정식
잡음으로 시간백색잡음과 시공간백색잡음을 고려하였고, 결정적 부분의 비 선형항의 종류는 부분선형, 확률적 부분의 비선형항은 초선형인 경우를 고려 하였습니다. 각 방정식들의 해의 Lp 공간 내에서의 존재성, 유일성, 정칙성을 증명하고, 비선형 항들간의 상호작용 및 비선형 항들이 해의 정칙성에 미치는 영향을 연구하였습니다. 후속연구로 현재 비선형항의 최적화된 형태를 찾는 연구를 진행중입니다.

2. 시간에 대해 분수적 미분을 가지는 Burgers 방정식
확률 Burgers 방정식에서 시간에 대한 미분 대신 시간 방향으로 비국소 연산자인 Caputo fractional derivative을 고려하였습니다. 이러한 방정식의 Lp 공간 내에서의 해의 존재성, 유일성을 증명하고 해의 휄더 정칙성을 증명 하였습니다. 추가적으로, 기존에 초기조건을 제외하는 범위에서 알려졌던 해의 휄더 정칙성을 발전시켜 초기조건을 포함하는 범위에서 해의 휄더 정칙성을 증명하였습니다. 후속연구로 다룰 수 있는 시간에 대한 비국소 연산자의 범위를 확장하는 시도를 진행중입니다.

3. 비선형 확산계수 및 유색 잡음을 가지는 확률열방정식
잡음의 종류로 공간적으로 균등한 유색 잡음을, 비선형 항으로는 부분선형 확산계수를 고려하였으며, 해의 약한 존재성 및 휄더 정칙성을 증명하였습니다. 또한, 초기조건이 0이 아닌 부분이 유계일때, 확률열방정식의 해 또한 0이 아닌 부분이 거의 확실하게 유계라는 사실을 증명하였습니다. 이는 결정론적 열방정식의 대표적인 성질인 infinite speed of propergation과 대비되는 성질로, 실제 현상에 적용할 수 있는 주요 성질입니다. 현재 후속연구로 부분 선형보다 약한 최적화된 조건을 찾는 연구를 진행중입니다.

4. 유색 잡음을 가지는 확률열방정식이 결정적 부분과 확률적 부분에 비선형항을 가지는 경우
해의 Lp 공간에서의 존재성, 유일성을 증명하고 휄더 정칙성을 얻었으며, 각 비선형 항들과 해의 정칙성의 상호작용에 대한 연구를 하였습니다.

○ 2단계
● 연구 목표
1. 앞선 연구에서 얻은 결과들 및 계산의 패턴을 관찰하여 확률편미분방정식을 구성 요소들을 일반화하고, 해의 유용한 성질을 유지하는 최적화된 조건을 연구합니다. 추가적으로, 최적화된 조건 하에서 해의 성질을 얻을 수 있는 일반적인 체계를 제시합니다.

2. 다양한 확률편미분방정식을 다루며 확보한 지식들을 수학과 관련된 분야에 접목하여 실제 현상을 해석하는데 활용하고, 실용적인 조건을 제시합니다. 또한, 실용적인 조건을 분석하여 수학적 일반화의 합리적인 방향을 탐구 합니다.

● 연구 내용
다음의 세 가지 주제로 연구를 진행할 예정입니다.

1. 지지집합성질을 가지는 해의 최적화된 비선형 조건에 대한 정리
비선형 항으로 부분선형 항을 가지는 열방정식은 기존 선형 열방정식과는 다르게 초기조건이 0아닌 부분이 콤팩트하면 해 또한 0 아닌 부분이 콤팩트하다는 콤팩트 지지집합 성질을 가지고 있습니다. 확률열방정식의 경우 기존에는 부분선형 항을 확산계수로 가지는 경우만이 알려져 있었지만, 부분선형 항과 선형 항 사이 콤팩트 지지집합 성질을 가지는 최적화된 조건을 찾아 제시하고자 합니다.

2. 비국소 연산자를 가지는 비선형확률편미분방정식의 가장 일반화된 비선형 항 및 확률잡음의 조건에 대한 정리
확률편미분방정식 중 가장 일반화 된 조건으로 추정되는 비국소 연산자 중 phi-라플라시안을 가지는 확률편미분방정식을 고려합니다. 이 방정식의 경우 비선형 항의 조건이 반선형일 때 Lp 공간 내에서의 해의 존재성 및 유일성만이 증명되어 있습니다. 따라서, 비선형 항 및 확률잡음의 조건에 phi-라플라 시안에 대응되는 최소한의 조건을 제시하고 해의 존재성, 유일성과 더불어 휄더 정칙성, 지지집합 성질, 경계 근처에서의 해의 거동 등을 증명하고자 합니다.

3. 앞선 연구들에서 얻어진 수학적 결과물들을 타 분야에서 활용
AI모델에서 네트워크가 실제의 함수를 근사할 수 있다는 내용은 보편근사 정리(Universal approximation theorem)에 의해 증명됩니다. Lp공간에서 확률적 함수들을 다루며 얻게된 수학적 도구들을 이에 적용해 기존과는 다른 구조의 뉴럴 네트워크가 Lp 함수를 근사할 수 있다는 내용을 증명하려 합니다. 또한, 이렇게 변경한 네트워크의 구조가 새로운 정보를 반영할 수 있음을 증명하고자 합니다. 예시로, 생명수학, 계산화학 등의 분야에서 분자 단위의 현상을 모사할 때 확률편미분방정식이 이용됩니다. 실제 데이터로 인공신경망을 학습시키고 결과를 예측할 때, 인공신경망 자체가 방정식의 정보를 반영하는 새로운 인공신경망의 구조를 제시하고, 이러한 신경망이 실제 현상을 효과적으로 예측한다는 사실을 증명하려 합니다.

□ 연구성과
-정량적 성과
◇ 1단계(2021년 3월~2024년 2월)
· 게제 논문 수 : 네 편
· 비고 : Q1 두 편, Q2 두 편 게제
◇ 2단계(2024년 3월~2026년 2월)
· 게제 논문 수 : 네 편 이상 예상
· 비고 : 한 편 심사 중, 한 편 제출 예정

-정성적 성과
◇ 1단계(2021년 3월~2024년 2월)
1. 백색잡음 및 유색잡음과 부분선형 및 초선형 형태의 비선형 항을 가진 확률 Burgers 방정식의 해의 존재성, 유일성, 정칙성 등을 증명.
2. 시간에 대한 비국소연산자와 비선형 항을 포함하는 확률 Burgers 방정식의 해의 존재성, 유일성, 정칙성 등을 증명.
3. 유색잡음과 결정론적 부분 및 확률적 부분에 비선형 항을 가지는 확률열방정식의 해의 존재성, 유일성, 정칙성 등을 증명.
4. 해의 질적인 성질 중 정칙성 이외에도 콤팩트지지 집합 성질 등의 다양한 분야를 파악. 유색잡음과 부분선형 항을 가지는 확률열방정식의 콤팩트 지지집합 성질을 증명.
5. 종합적으로, 확률열방정식에서 비국소 연산자, 비선형 항, 다양한 확률잡음을 다루는 여러 방법을 발견하고 상호작용을 파악함. 논문 네 편을 게제함.

◇ 2단계(2024년 3월~2026년 2월)
1. 지지집합성질에 관련된 최적화된 조건을 연구할 예정.
2. 연산자가 주어진 상황에서 해의 성질을 구할 수 있는 최적화된 비선형 항과 확률잡음의 조건을 연구할 예정.
3. AI에서 활용되는 Physics informed structure를 구성하고 방정식의 이론을 활용해 관련 네트워크 성질에 대한 연구를 진행. 이후 실제 문제를 방정식으로 모델링한 후 네트워크 적용 및 조건에 대한 분석을 진행할 예정.

□ 연구성과의 활용 계획 및 기대효과
다양한 확률잡음과 비국소 작용소를 갖는 비선형 확률편미분방정식은 시간 및 공간에 표현된 확률현상까지 고려하여 실제 현상을 모델링할 수 있는 가장 좋은 방법 중 하나입니다. Lp 정칙성 이론을 이용하여 변분법(variational approach)이나 부드러운 해(mild solution)를 이용한 기존 접근법에서 파악하기 쉽지 않았던 다양한 방정식에 대한 휄더 정칙성, 경계근처에서의 해의 행동, 원점에서 멀어질 때의 해의 소멸양상, 지지집합 성질 등의 여러 특성을 확인하여 방정식의 실제적인 활용에 더욱 유용할 것으로 기대하고 있습니다. 또한, 위 결과를 얻기 위한 수학적 도구들을 타 분야에 적용하여 해당 분야의 발전을 도모하고, 수학 이론의 유용성을 확인할 수 있으며, 실제적인 적용이 가능한 조건을 고려하여 수학 이론이 발전해야 합리적인 방향을 탐구하는데 도움이 될 것이라 생각합니다.

(출처 : 요약문 2p)

목차 Contents

• 표지 ... 1
• 요약문 ... 2
• 목차 ... 7
• 1. 연구과제의 개요 ... 8
• 2. 연구과제의 수행 과정 및 수행 내용 ... 9
• 3. 연구과제의 수행 결과 및 목표 달성 정도 ... 11
• 1) 연구수행 결과 ... 11
• 2) 목표 달성 수준 ... 11
• 3) 목표 미달 시 원인 분석 ... 12
• 4) 중요 연구변경 사항 ... 13
• 4. 연구성과의 관련 분야에 대한 기여 정도 ... 13
• 5. 연구성과의 관리 및 활용 계획 ... 13
• 6. 다음 단계 연구계획 ... 14
• 1) 연구 목표 및 내용 ... 14
• 2) 연구 추진전략 ... 15
• 3) 연구 추진일정 및 기대성과 ... 15
• 4) 다음 단계 연구비 사용계획 ... 16
• 5) 연구 성과의 활용방안 및 기대효과 ... 16
• 끝페이지 ... 28