학교수학에서 다루는 조합수학의 분야인 경우의 수 문제해결 시 수형도, 표, 다이어그램 등의 구체적인 표상을 통해 가능성의 경과를 표현하며 그것을 세는 것으로 원 문제를 해결한다. 또한 순열과 조합의 개념을 습득하고 조합적인 사고의 성숙을 통해 구체적인 표상 없이, 주어진 문제의 조건을 순열과 조합의 공식의 파라미터에 적절히 대응하여 해결할 수 있다. 경우의 수 문제에서는 주어진 조건을 동화하고 조절하면서 “~ 이 가능한가?” 혹은 “얼마나 많은 것이 있는가?”등의 의문을 가지고, 가능성을 누락과 중복 없이 세기 위해서, 정신적 표상을 구성하고 동일한 다른 대상에 일대일 대응하는 동형적 사고능력이 유용함을 알 수 있다. 이 분야의 문제해결은 획일적인 ...
학교수학에서 다루는 조합수학의 분야인 경우의 수 문제해결 시 수형도, 표, 다이어그램 등의 구체적인 표상을 통해 가능성의 경과를 표현하며 그것을 세는 것으로 원 문제를 해결한다. 또한 순열과 조합의 개념을 습득하고 조합적인 사고의 성숙을 통해 구체적인 표상 없이, 주어진 문제의 조건을 순열과 조합의 공식의 파라미터에 적절히 대응하여 해결할 수 있다. 경우의 수 문제에서는 주어진 조건을 동화하고 조절하면서 “~ 이 가능한가?” 혹은 “얼마나 많은 것이 있는가?”등의 의문을 가지고, 가능성을 누락과 중복 없이 세기 위해서, 정신적 표상을 구성하고 동일한 다른 대상에 일대일 대응하는 동형적 사고능력이 유용함을 알 수 있다. 이 분야의 문제해결은 획일적인 알고리즘이 없으며, 기초적인 세기법칙, 순열과 조합의 공식이 일반화되어 제공되지만, 이를 통한 알고리즘적 접근이 불가능하다. 경우의 수 문제는 절차적 알고리즘에 의해 해집합을 찾아내는 것이 아니라, 과거의 경험을 통해 얻은 유사한 문제를 기준으로 하여 유추를 통해 다른 대상에 일대일 대응하여 해집합을 구성한다.
물론, 순서를 고려하면 순열, 순서를 고려하지 않으면 조합이라는 구문론적인 대응은 학생이 과거의 성공했던 문제로부터 연결고리를 만들어내는 과정인 유추를 통해 얻어질 수 있는 것으로, 대수적 조작을 통한 문장제 해결처럼 해집합을 찾는 이례적인 알고리즘이 없는 것이 이 분야의 특징이다.
따라서 본 연구자는 구조적 통찰에 유용한 동형적 사고를 기반으로 하여, 경우의 수 문제해결 과정에서 구체적이고 실천 가능한 전략적인 지도 방안에 대해 서술하였다. 가능성의 세기(counting) 결과에 이르지 못한 시초상태에서 동형적 사고를 통한 일련의 조작을 통해 다른 가산집합을 형성하여, 그것을 셈으로써 문제를 해결하는 전략인 동형문제로 변형이 바로 그것이다. 동형문제로 변형하는 전략은 주어진 문제의 표면적인 속성에서 벗어나, 수학적 구조를 이해하며 유추를 통해 문제를 해결할 수 있도록 하는 것으로, 주어진 문제의 대상 집합의 관계 구조에 대한 인식 여부를 기준으로 분류하여, 세 가지 유형을 구체적인 예를 통해 서술하였다. 각 유형은 다음과 같다.
첫째, 주어진 문제의 대상인 표본공간의 원소들을 다른 대상으로 일대일 대응하는 구성적 변형이다.
둘째, 문제의 기능(목적)을 알고 있어 문제변형이 가능한 기능적 변형이다. 구성적 변형과 달리, 표본공간의 집합 간의 관계를 일대일 대응하는 변형이다. 이 변형은 비표준적 변형과 표준적 변형으로 나눌 수 있다. 표준적 변형은 문제의 구조를 파악하여, 주어진 관계를 이미 알고 있는 순열과 조합의 공식, 세기 법칙이나 생성함수에 대응하는 변형을 말한다. 비표준적 변형은 순열과 조합의 공식, 세기 법칙이나 생성함수로 대응하는 것이 아니라, 문제의 표본공간의 관계를 새로운 표본공간의 관계로 대응하는 변형이다.
셋째, 위의 두 가지의 변형이 조합되어 있는 통합적 변형의 유형이다
이러한 변형의 유형을 기준으로 하여, 학교수학에서 동형문제로 변형하는 전략이 잘 구현될 수 있는지를 살피기 위해 수I 교과서를 분석하였다. 학교수학에서 볼 수 있는 동형문제로 변형하는 전략의 유형은 구성적 변형과, 기능적 변형 중 표준적 변형이 대부분이었다.
동형문제로 변형하는 전략에 초점을 둔 교육내용의 설계를 위해서, 다음과 같은 것을 염두에 두어야 한다.
첫째, 주어진 문제를 다양한 맥락에서 경험하며 문제의 구조를 파악하기 위해, 문제제기를 통해 문제를 설정하는 능동적인 문제해결을 할 수 있도록 해야 한다. 문제를 해결하는 과정에서 맥락에 치우쳐 오류를 범하는 것을 벗어나, 다양한 맥락에 관한 문제의 경험을 통해 맥락 독립적이 되려고 노력해야 한다. 따라서 문제를 다양하고 새로운 관점에서 과거의 성공적인 경험을 유추하여 변형함으로써 새로운 문제를 제기할 수 있어야 한다.
둘째, 교과서를 관찰한 결과, 문제를 개별적으로 인식하여 공식과 문제해결 절차를 숙달하도록 많은 연습문제를 해결하는 것에 집중된 경향을 보인다. 그러나 이 분야의 문제해결력 신장을 도모하기 위해서는 문제를 능동적으로 해결하고 카테고리를 형성하여, 과거의 성공적인 경험을 통해 사전지식을 활용하여 문제 간의 연결을 지을 수 있도록 해야 한다.
셋째, 동형문제로 변형하는 전략을 절차적 지식인 정보적 지식으로 접근하는 것이 아니라, 문제를 해결하는 know-how를 제시하는 방법적 지식을 제공할 수 있어야 한다.
학교수학에서 다루는 조합수학의 분야인 경우의 수 문제해결 시 수형도, 표, 다이어그램 등의 구체적인 표상을 통해 가능성의 경과를 표현하며 그것을 세는 것으로 원 문제를 해결한다. 또한 순열과 조합의 개념을 습득하고 조합적인 사고의 성숙을 통해 구체적인 표상 없이, 주어진 문제의 조건을 순열과 조합의 공식의 파라미터에 적절히 대응하여 해결할 수 있다. 경우의 수 문제에서는 주어진 조건을 동화하고 조절하면서 “~ 이 가능한가?” 혹은 “얼마나 많은 것이 있는가?”등의 의문을 가지고, 가능성을 누락과 중복 없이 세기 위해서, 정신적 표상을 구성하고 동일한 다른 대상에 일대일 대응하는 동형적 사고능력이 유용함을 알 수 있다. 이 분야의 문제해결은 획일적인 알고리즘이 없으며, 기초적인 세기법칙, 순열과 조합의 공식이 일반화되어 제공되지만, 이를 통한 알고리즘적 접근이 불가능하다. 경우의 수 문제는 절차적 알고리즘에 의해 해집합을 찾아내는 것이 아니라, 과거의 경험을 통해 얻은 유사한 문제를 기준으로 하여 유추를 통해 다른 대상에 일대일 대응하여 해집합을 구성한다.
물론, 순서를 고려하면 순열, 순서를 고려하지 않으면 조합이라는 구문론적인 대응은 학생이 과거의 성공했던 문제로부터 연결고리를 만들어내는 과정인 유추를 통해 얻어질 수 있는 것으로, 대수적 조작을 통한 문장제 해결처럼 해집합을 찾는 이례적인 알고리즘이 없는 것이 이 분야의 특징이다.
따라서 본 연구자는 구조적 통찰에 유용한 동형적 사고를 기반으로 하여, 경우의 수 문제해결 과정에서 구체적이고 실천 가능한 전략적인 지도 방안에 대해 서술하였다. 가능성의 세기(counting) 결과에 이르지 못한 시초상태에서 동형적 사고를 통한 일련의 조작을 통해 다른 가산집합을 형성하여, 그것을 셈으로써 문제를 해결하는 전략인 동형문제로 변형이 바로 그것이다. 동형문제로 변형하는 전략은 주어진 문제의 표면적인 속성에서 벗어나, 수학적 구조를 이해하며 유추를 통해 문제를 해결할 수 있도록 하는 것으로, 주어진 문제의 대상 집합의 관계 구조에 대한 인식 여부를 기준으로 분류하여, 세 가지 유형을 구체적인 예를 통해 서술하였다. 각 유형은 다음과 같다.
첫째, 주어진 문제의 대상인 표본공간의 원소들을 다른 대상으로 일대일 대응하는 구성적 변형이다.
둘째, 문제의 기능(목적)을 알고 있어 문제변형이 가능한 기능적 변형이다. 구성적 변형과 달리, 표본공간의 집합 간의 관계를 일대일 대응하는 변형이다. 이 변형은 비표준적 변형과 표준적 변형으로 나눌 수 있다. 표준적 변형은 문제의 구조를 파악하여, 주어진 관계를 이미 알고 있는 순열과 조합의 공식, 세기 법칙이나 생성함수에 대응하는 변형을 말한다. 비표준적 변형은 순열과 조합의 공식, 세기 법칙이나 생성함수로 대응하는 것이 아니라, 문제의 표본공간의 관계를 새로운 표본공간의 관계로 대응하는 변형이다.
셋째, 위의 두 가지의 변형이 조합되어 있는 통합적 변형의 유형이다
이러한 변형의 유형을 기준으로 하여, 학교수학에서 동형문제로 변형하는 전략이 잘 구현될 수 있는지를 살피기 위해 수I 교과서를 분석하였다. 학교수학에서 볼 수 있는 동형문제로 변형하는 전략의 유형은 구성적 변형과, 기능적 변형 중 표준적 변형이 대부분이었다.
동형문제로 변형하는 전략에 초점을 둔 교육내용의 설계를 위해서, 다음과 같은 것을 염두에 두어야 한다.
첫째, 주어진 문제를 다양한 맥락에서 경험하며 문제의 구조를 파악하기 위해, 문제제기를 통해 문제를 설정하는 능동적인 문제해결을 할 수 있도록 해야 한다. 문제를 해결하는 과정에서 맥락에 치우쳐 오류를 범하는 것을 벗어나, 다양한 맥락에 관한 문제의 경험을 통해 맥락 독립적이 되려고 노력해야 한다. 따라서 문제를 다양하고 새로운 관점에서 과거의 성공적인 경험을 유추하여 변형함으로써 새로운 문제를 제기할 수 있어야 한다.
둘째, 교과서를 관찰한 결과, 문제를 개별적으로 인식하여 공식과 문제해결 절차를 숙달하도록 많은 연습문제를 해결하는 것에 집중된 경향을 보인다. 그러나 이 분야의 문제해결력 신장을 도모하기 위해서는 문제를 능동적으로 해결하고 카테고리를 형성하여, 과거의 성공적인 경험을 통해 사전지식을 활용하여 문제 간의 연결을 지을 수 있도록 해야 한다.
셋째, 동형문제로 변형하는 전략을 절차적 지식인 정보적 지식으로 접근하는 것이 아니라, 문제를 해결하는 know-how를 제시하는 방법적 지식을 제공할 수 있어야 한다.
Given solving the counting problems, which is the field of the combinatorics in the school mathematics, the passage of possibility is expressed through the specific representation in tree, table, and diagram. The original problem is solved through counting it. Also, a concept in permutation and comb...
Given solving the counting problems, which is the field of the combinatorics in the school mathematics, the passage of possibility is expressed through the specific representation in tree, table, and diagram. The original problem is solved through counting it. Also, a concept in permutation and combination is acquired through maturity in combinatorial thinking through this representation. Thus, a condition in each given problem can be properly corresponded to parameter of formula in permutation and combination without specific representation. In other words, to count possibility with saying that “is ~ possible?” or “how many things are there?” without omission and overlapping while assimilating and regulating the given condition in the counting problems, the isomorphic thinking ability can be known to be useful that forms the mental representation and performs one-to-one correspondence to the same other object. As for a problem solution in this field, there is no standard algorism. Basic counting rule, and formula in permutation and combination are generalized to be offered. However, the algorithmic approach is impossible through this. Counting problems is not what finds out a solution set by procedural algorism, but what a student forms a solution set by one-to-one correspondence to other object through analogical reasoning based on similar problem, which was obtained through the past experience. Of course, as for the syntactic correspondence as saying of permutation given considering order and of combination given not considering order, it is what can be obtained through analogical reasoning, which is the process that a student makes a connective ring from a problem of having ever been succeeded in the past. Thus, this field is characterized by what there is no exceptional algorism of seeking for a solution set like the sentence-problem solution through algebraic operations.
Accordingly, this researcher described on a specifically and practicably strategic instruction plan in the process of solving the counting problems based on the isomorphic thinking that is often utilized and is useful in the combinatorics.
It is just what is a heuristic for changing it into the isomorphic problem, which solves a problem by forming other countable set and counting it through isomorphic thinking in the initial state of failing to reach the counting result of possibility. A heuristic for changing it into isomorphic problem is what makes it to possibly understand the mathematical structure and to solve a problem through analogical reasoning with escaping from the superficial attribute in the given problem. It classified on the basis of recognition in relational structure of the object set in the given problem, proposed classification in three types, and described through specific example. Each type is as follows.
First, it is the constructive transformation that changes elements in the sample space, which is object in the given problem, into other object through one-to-one correspondence.
Second, it is the functional transformation available for changing a problem due to knowing function(objective) of a problem. It is transformation that performs the one-to-one correspondence in relationship between sets in the sample space unlike the constructive transformation. This transformation can be divided into the non-standard transformation and standard transformation. The standard transformation implies transformation that corresponds to the formula in permutation and combination or to basic counting rule , to generating function, which already knows the given relationship by grasping structure in a problem. Non-standard transformation is the transformation that corresponds the relationship in sample space of a problem to the new sample space, not what corresponds with formula in permutation and combination, basic counting rule.
Third, it is a type of the integrative transformation that two transformations in the above are combined.
To examine whether or not being well implemented a heuristic for changing into isomorphic problem in school mathematics based on these types in transformation, the Mathematics I textbook was analyzed. A type in a heuristic for changing into the isomorphic problem available for being seen in school mathematics was mostly the standard transformation out of functional transformation, and constructive transformation.
To design educational contents based on a heuristic for changing into the isomorphic problem, the following need to be considered.
First, to grasp structure in a problem by experiencing the given problem in diverse contexts, there is necessity for the possibly positive solution that establishes a problem through the problem posing. There is necessity for striving to be context-independent through experiencing a problem in diverse contexts, with escaping from making an error in solving a problem due to being biased to context. Accordingly, the exploratory activity needs to be proposed that can raise new problem by analogizing and changing a problem from the diversly new perspectives.
Second, as a result of analyzing textbook, the tendency is seen that is concentrated on solving many practice problems in order to master the formula and problem-solving procedure by recognizing a problem individually. There is necessity for possibly connecting between problems by utilizing prior knowledge through the successful experience in the past, by forming category after positively solving a problem.
Third, there is necessity for possibly offering methodological knowledge of suggesting know-how of solving a problem, not what approaches a heuristic for changing into the isomorphic problem with informative knowledge, which is procedural knowledge.
Given solving the counting problems, which is the field of the combinatorics in the school mathematics, the passage of possibility is expressed through the specific representation in tree, table, and diagram. The original problem is solved through counting it. Also, a concept in permutation and combination is acquired through maturity in combinatorial thinking through this representation. Thus, a condition in each given problem can be properly corresponded to parameter of formula in permutation and combination without specific representation. In other words, to count possibility with saying that “is ~ possible?” or “how many things are there?” without omission and overlapping while assimilating and regulating the given condition in the counting problems, the isomorphic thinking ability can be known to be useful that forms the mental representation and performs one-to-one correspondence to the same other object. As for a problem solution in this field, there is no standard algorism. Basic counting rule, and formula in permutation and combination are generalized to be offered. However, the algorithmic approach is impossible through this. Counting problems is not what finds out a solution set by procedural algorism, but what a student forms a solution set by one-to-one correspondence to other object through analogical reasoning based on similar problem, which was obtained through the past experience. Of course, as for the syntactic correspondence as saying of permutation given considering order and of combination given not considering order, it is what can be obtained through analogical reasoning, which is the process that a student makes a connective ring from a problem of having ever been succeeded in the past. Thus, this field is characterized by what there is no exceptional algorism of seeking for a solution set like the sentence-problem solution through algebraic operations.
Accordingly, this researcher described on a specifically and practicably strategic instruction plan in the process of solving the counting problems based on the isomorphic thinking that is often utilized and is useful in the combinatorics.
It is just what is a heuristic for changing it into the isomorphic problem, which solves a problem by forming other countable set and counting it through isomorphic thinking in the initial state of failing to reach the counting result of possibility. A heuristic for changing it into isomorphic problem is what makes it to possibly understand the mathematical structure and to solve a problem through analogical reasoning with escaping from the superficial attribute in the given problem. It classified on the basis of recognition in relational structure of the object set in the given problem, proposed classification in three types, and described through specific example. Each type is as follows.
First, it is the constructive transformation that changes elements in the sample space, which is object in the given problem, into other object through one-to-one correspondence.
Second, it is the functional transformation available for changing a problem due to knowing function(objective) of a problem. It is transformation that performs the one-to-one correspondence in relationship between sets in the sample space unlike the constructive transformation. This transformation can be divided into the non-standard transformation and standard transformation. The standard transformation implies transformation that corresponds to the formula in permutation and combination or to basic counting rule , to generating function, which already knows the given relationship by grasping structure in a problem. Non-standard transformation is the transformation that corresponds the relationship in sample space of a problem to the new sample space, not what corresponds with formula in permutation and combination, basic counting rule.
Third, it is a type of the integrative transformation that two transformations in the above are combined.
To examine whether or not being well implemented a heuristic for changing into isomorphic problem in school mathematics based on these types in transformation, the Mathematics I textbook was analyzed. A type in a heuristic for changing into the isomorphic problem available for being seen in school mathematics was mostly the standard transformation out of functional transformation, and constructive transformation.
To design educational contents based on a heuristic for changing into the isomorphic problem, the following need to be considered.
First, to grasp structure in a problem by experiencing the given problem in diverse contexts, there is necessity for the possibly positive solution that establishes a problem through the problem posing. There is necessity for striving to be context-independent through experiencing a problem in diverse contexts, with escaping from making an error in solving a problem due to being biased to context. Accordingly, the exploratory activity needs to be proposed that can raise new problem by analogizing and changing a problem from the diversly new perspectives.
Second, as a result of analyzing textbook, the tendency is seen that is concentrated on solving many practice problems in order to master the formula and problem-solving procedure by recognizing a problem individually. There is necessity for possibly connecting between problems by utilizing prior knowledge through the successful experience in the past, by forming category after positively solving a problem.
Third, there is necessity for possibly offering methodological knowledge of suggesting know-how of solving a problem, not what approaches a heuristic for changing into the isomorphic problem with informative knowledge, which is procedural knowledge.
AI-Helper
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