본 연구는 고등학교 학생들의 수학Ⅰ의 순열과 조합 단원에서의 오개념 및 오류 유형을 분석하여 오개념을 방지하고 오류를 최소화 할 수 있는 지도방법을 모색해보고자 한다. 수학적 오개념과 오류는 이전 학습이나 경험의 결과로 형성되어 반복적이고 분명한 형태를 취하는 인지 구조로서 학생들이 교사의 의도대로 학습하지 않는 원인이 되는 것으로 파악되고 있다. 따라서 학습자가 새로운 개념을 학습할 때 어떻게 인지하는가를 다각도로 연구하고 관찰하여 올바른 개념 형성을 할 수 있도록 협력하고 조언하는 것은 매우 의미 있고 중요한 교수 활동이라 할 수 있다. 제7차 수학과 교육과정에서 강조하고 있는 수학적 힘의 신장을 위해서는 문제해결 능력과 ...
본 연구는 고등학교 학생들의 수학Ⅰ의 순열과 조합 단원에서의 오개념 및 오류 유형을 분석하여 오개념을 방지하고 오류를 최소화 할 수 있는 지도방법을 모색해보고자 한다. 수학적 오개념과 오류는 이전 학습이나 경험의 결과로 형성되어 반복적이고 분명한 형태를 취하는 인지 구조로서 학생들이 교사의 의도대로 학습하지 않는 원인이 되는 것으로 파악되고 있다. 따라서 학습자가 새로운 개념을 학습할 때 어떻게 인지하는가를 다각도로 연구하고 관찰하여 올바른 개념 형성을 할 수 있도록 협력하고 조언하는 것은 매우 의미 있고 중요한 교수 활동이라 할 수 있다. 제7차 수학과 교육과정에서 강조하고 있는 수학적 힘의 신장을 위해서는 문제해결 능력과 추론능력의 신장은 필수적이다. 순열과 조합은 개수를 세는데 있어 기본이 되는 방법으로 학생들은 순열과 조합을 학습함으로써 세기를 조직적으로 할 수 있는 능력을 기를 수 있고 규칙성을 발견하는 추론능력을 개발하게 되며 구체적인 경우를 통해서 문제 해결 능력을 기를 수 있다. 특히 나누는 경우의 수를 최소화 하는 능력은 복잡한 현대 사회에서 필요로 하는 독립적인 사고 능력과 의사소통 능력 및 문제해결력을 기르는데 효과적이다. 그러나 경우의 수를 세는 순열과 조합의 문제는 개념이 복합적이기 때문에 학생들이 상당히 어려워하는 단원이고 교사들도 가르치기 어려운 단원 중 하나로 여기고 있다. 따라서 순열과 조합단원의 문제 해결에서 학생들이 갖는 오개념은 무엇이고 그로 인해 자주 범하는 오류는 무엇인지를 분석해 보는 것은 효과적인 지도방안을 모색하기 위해 매우 유의미한 일이라 할 수 있다. 연구의 목적을 달성하기 위한 연구 문제는 다음과 같다. 첫째, 고등학교 수학1의 <순열과 조합>단원에서 문제해결 과정 중에 발생하는 오개념은 어떠하며 오류유형은 어떻게 분류 할 수 있는가? 둘째, 고등학교 수학1의 <순열과 조합>단원에서의 오개념 및 오류를 예방하기 위한 지도상의 유의점은 무엇인가? 본 연구를 위하여 예비검사를 먼저 실시 한 후 본 검사를 실시하였다. 본 검사는 서울시에 소재한 인문계 고등학교 2학년 3개 반의 학생 총 104명을 대상으로 수학Ⅰ의 순열과 조합 단원의 학습을 마친 후 기말고사를 치른 바로 직후에 검사를 실시하였다. 이때 사용한 검사지는 교사용 지도서와 모의고사 기출문제를 토대로 재구성하였고 순열과 조합의 소단원별로 한 문제씩 포함하여 총 10문항으로 구성하였다. 또한 수학 교수 학습 시 발생하는 여러 가지 오류에 대한 선행연구들을 참고하여 수열과 조합 단원에서 발생할 수 있는 오류의 분류 모델을 다음과 같이 설정하였다. (1)오류1 : 문제의 자료를 잘못 사용한 오류 (2)오류2 : 문제 내용을 잘못 해석한 오류 (3)오류3 : 정리나 정의를 부적절하게 사용한 오류 (4)오류4 : 기술적 오류 (5)오류5 : 풀이과정의 생략 (6)오류6 : 애매한 오류 연구 결과 전체 1040문항 중 정답율은 52.5%, 오답율은 35.77%, 무응답율은 11.73%로 나타났고 이 중 오답만을 6가지 오류유형을 기준으로 분류하여 총1040개의 문항 중 오개념을 묻는 문항1을 제외한 문항2～문항10의 총 936문항 중 검사에서 발생한 368개의 오류를 분석한 결과는 다음과 같다. =<표>논문 본문 참고= 오류 유형 분석 결과 오류3-정리나 정의를 부적절하게 사용한 오류가 42.93%로 가장 높은 비율로 나타났다. 경우의 수를 세는 것은 중복되지 않도록 경우나누기를 잘 한 뒤, 각각의 경우의 특징에 맞는 세기를 하는 것이 중요한데 정의나 정리에 대한 명확한 이해의 부족으로 인해 오개념이 형성되었고 그 결과 문제에 적용할 때 오류가 나타났다. 따라서 개념의 충분한 이해를 돕고 문제 유형에 따른 다양한 문제해결전략을 지도하는 것이 바람직하다. 또한 문제는 이해했지만 문제해결 과정에서 경우의 수를 중복하여 세거나, 빠뜨리는 오류의 빈도가 높았고, 문제의 뜻을 처음부터 잘못 이해하거나 일부분만을 이해하여 해결한 오류도 많이 나타났다. 풀이과정을 생략한 오류는 풀이과정에 자신이 없어 암산에 의한 답만 적은 경우가 많았고, 기술적인 오류는 풀이 과정을 정확히 전개하고 마지막 단순계산을 틀린 오류가 대부분이었다. 순열과 조합의 문제는 문장제 문제가 주를 이루다 보니 학생들이 문제를 이해하는 과정에서부터 오류가 시작됨을 확인할 수 있었다. 이를 극복하기 위해서는 문제의 분석을 정확히 하여 경우를 나누고 각각의 경우마다 필요한 개념을 적용하여 단계적으로 문제를 풀어 나가는 연습이 가능하도록 지도하는 것이 중요하다. 또한 이미 알고 있는 문제의 유형과 구조적으로 같은 문제임을 이해한다면 보다 쉽게 문제를 해결할 수 있으므로 기존에 잘 알고 있던 문제와 목표 문제를 연관시켜서 같은 유형의 문제를 함께 풀어보도록 하여 문제 사이의 구조적 동형을 이해할 수 있도록 지도한다면 보다 다양한 응용문제 해결이 가능해 질 것이다. 본 연구는 순열과 조합 단원의 학생들의 오류 유형을 분류하고 그 원인을 분석하여 지도상의 유의점을 모색해보았다. 이를 바탕으로 하여 오류를 개선할 수 있는 실제 수업모델을 개발하고 현장에 적용하여 그 효과를 검증하는 후속 연구가 필요할 것이다.The purpose of this study is to investigate and analyze the error patterns in the problem-solving process of Combinatorics that high school students might have. I believe that the research on the students' mathematical misconceptions and errors plays an important role in improving methods of teaching mathematics. I will further discuss about the results of the survey and suggest effective teaching methods to avoid misconceptions and errors in Combinatorics. These are two topics to be investigated to pursue the research, First, what are the types of errors taking place in the course of solving problems in Combinatorics high school ? Second, what is the correct method of teaching through analysis of errors for Combinatorics of high school ? For this study, I took the survey through questionnaire to investigate how thoroughly students understand Combinatorics. The percentage of total correct answers in a given test was 52.5 %, the wrong answers 35.77 % and no answer 11.73%, which represents that a lot of students make a variety of errors in solving the problems in Permutation and Combination. In order to analyze types of errors students make, I categorized models of errors which can take place in Combinatorics of high school . (Error 1) Error of misunderstanding or misusing data (Error 2) Error of misinterpreting the intention of problems (Error 3) Distorted theorem or definition (Error 4) Technical errors (Error 5) Omission of solving process (Error 6) Ambiguous errors The total number of errors which took place in the test of survey was 368 in following order: =<표>논문 본문 참고= As the result of the survey, Error 3-Distorted theorem or definition was the most dominant error. Error 2 and Error 1 followed with similar percentages. If you look into each question, Error 3 was the most errors in questions No. 4 through 6 and No. 8 through 10, Error 1 in question No. 2, and Error 2 in question No. 3. Error 2 and Error 1 occupied almost same percentage in question No. 7. In the survey of problem solving process of Permutation and Combination, six error patterns were classified. The results of the survey can help teachers to diagnose the students' difficulties and develop ways of reducing errors students would make. Most of students don't understand the various concepts of Permutation and Combination correctly. Therefore, it is necessary to reinforce the basic math concepts students will learn from regular courses in high schools. Teachers are suggested to provide various examples to strengthen key concepts of Permutation and Combination in classes.
본 연구는 고등학교 학생들의 수학Ⅰ의 순열과 조합 단원에서의 오개념 및 오류 유형을 분석하여 오개념을 방지하고 오류를 최소화 할 수 있는 지도방법을 모색해보고자 한다. 수학적 오개념과 오류는 이전 학습이나 경험의 결과로 형성되어 반복적이고 분명한 형태를 취하는 인지 구조로서 학생들이 교사의 의도대로 학습하지 않는 원인이 되는 것으로 파악되고 있다. 따라서 학습자가 새로운 개념을 학습할 때 어떻게 인지하는가를 다각도로 연구하고 관찰하여 올바른 개념 형성을 할 수 있도록 협력하고 조언하는 것은 매우 의미 있고 중요한 교수 활동이라 할 수 있다. 제7차 수학과 교육과정에서 강조하고 있는 수학적 힘의 신장을 위해서는 문제해결 능력과 추론능력의 신장은 필수적이다. 순열과 조합은 개수를 세는데 있어 기본이 되는 방법으로 학생들은 순열과 조합을 학습함으로써 세기를 조직적으로 할 수 있는 능력을 기를 수 있고 규칙성을 발견하는 추론능력을 개발하게 되며 구체적인 경우를 통해서 문제 해결 능력을 기를 수 있다. 특히 나누는 경우의 수를 최소화 하는 능력은 복잡한 현대 사회에서 필요로 하는 독립적인 사고 능력과 의사소통 능력 및 문제해결력을 기르는데 효과적이다. 그러나 경우의 수를 세는 순열과 조합의 문제는 개념이 복합적이기 때문에 학생들이 상당히 어려워하는 단원이고 교사들도 가르치기 어려운 단원 중 하나로 여기고 있다. 따라서 순열과 조합단원의 문제 해결에서 학생들이 갖는 오개념은 무엇이고 그로 인해 자주 범하는 오류는 무엇인지를 분석해 보는 것은 효과적인 지도방안을 모색하기 위해 매우 유의미한 일이라 할 수 있다. 연구의 목적을 달성하기 위한 연구 문제는 다음과 같다. 첫째, 고등학교 수학1의 <순열과 조합>단원에서 문제해결 과정 중에 발생하는 오개념은 어떠하며 오류유형은 어떻게 분류 할 수 있는가? 둘째, 고등학교 수학1의 <순열과 조합>단원에서의 오개념 및 오류를 예방하기 위한 지도상의 유의점은 무엇인가? 본 연구를 위하여 예비검사를 먼저 실시 한 후 본 검사를 실시하였다. 본 검사는 서울시에 소재한 인문계 고등학교 2학년 3개 반의 학생 총 104명을 대상으로 수학Ⅰ의 순열과 조합 단원의 학습을 마친 후 기말고사를 치른 바로 직후에 검사를 실시하였다. 이때 사용한 검사지는 교사용 지도서와 모의고사 기출문제를 토대로 재구성하였고 순열과 조합의 소단원별로 한 문제씩 포함하여 총 10문항으로 구성하였다. 또한 수학 교수 학습 시 발생하는 여러 가지 오류에 대한 선행연구들을 참고하여 수열과 조합 단원에서 발생할 수 있는 오류의 분류 모델을 다음과 같이 설정하였다. (1)오류1 : 문제의 자료를 잘못 사용한 오류 (2)오류2 : 문제 내용을 잘못 해석한 오류 (3)오류3 : 정리나 정의를 부적절하게 사용한 오류 (4)오류4 : 기술적 오류 (5)오류5 : 풀이과정의 생략 (6)오류6 : 애매한 오류 연구 결과 전체 1040문항 중 정답율은 52.5%, 오답율은 35.77%, 무응답율은 11.73%로 나타났고 이 중 오답만을 6가지 오류유형을 기준으로 분류하여 총1040개의 문항 중 오개념을 묻는 문항1을 제외한 문항2～문항10의 총 936문항 중 검사에서 발생한 368개의 오류를 분석한 결과는 다음과 같다. =<표>논문 본문 참고= 오류 유형 분석 결과 오류3-정리나 정의를 부적절하게 사용한 오류가 42.93%로 가장 높은 비율로 나타났다. 경우의 수를 세는 것은 중복되지 않도록 경우나누기를 잘 한 뒤, 각각의 경우의 특징에 맞는 세기를 하는 것이 중요한데 정의나 정리에 대한 명확한 이해의 부족으로 인해 오개념이 형성되었고 그 결과 문제에 적용할 때 오류가 나타났다. 따라서 개념의 충분한 이해를 돕고 문제 유형에 따른 다양한 문제해결전략을 지도하는 것이 바람직하다. 또한 문제는 이해했지만 문제해결 과정에서 경우의 수를 중복하여 세거나, 빠뜨리는 오류의 빈도가 높았고, 문제의 뜻을 처음부터 잘못 이해하거나 일부분만을 이해하여 해결한 오류도 많이 나타났다. 풀이과정을 생략한 오류는 풀이과정에 자신이 없어 암산에 의한 답만 적은 경우가 많았고, 기술적인 오류는 풀이 과정을 정확히 전개하고 마지막 단순계산을 틀린 오류가 대부분이었다. 순열과 조합의 문제는 문장제 문제가 주를 이루다 보니 학생들이 문제를 이해하는 과정에서부터 오류가 시작됨을 확인할 수 있었다. 이를 극복하기 위해서는 문제의 분석을 정확히 하여 경우를 나누고 각각의 경우마다 필요한 개념을 적용하여 단계적으로 문제를 풀어 나가는 연습이 가능하도록 지도하는 것이 중요하다. 또한 이미 알고 있는 문제의 유형과 구조적으로 같은 문제임을 이해한다면 보다 쉽게 문제를 해결할 수 있으므로 기존에 잘 알고 있던 문제와 목표 문제를 연관시켜서 같은 유형의 문제를 함께 풀어보도록 하여 문제 사이의 구조적 동형을 이해할 수 있도록 지도한다면 보다 다양한 응용문제 해결이 가능해 질 것이다. 본 연구는 순열과 조합 단원의 학생들의 오류 유형을 분류하고 그 원인을 분석하여 지도상의 유의점을 모색해보았다. 이를 바탕으로 하여 오류를 개선할 수 있는 실제 수업모델을 개발하고 현장에 적용하여 그 효과를 검증하는 후속 연구가 필요할 것이다.The purpose of this study is to investigate and analyze the error patterns in the problem-solving process of Combinatorics that high school students might have. I believe that the research on the students' mathematical misconceptions and errors plays an important role in improving methods of teaching mathematics. I will further discuss about the results of the survey and suggest effective teaching methods to avoid misconceptions and errors in Combinatorics. These are two topics to be investigated to pursue the research, First, what are the types of errors taking place in the course of solving problems in Combinatorics high school ? Second, what is the correct method of teaching through analysis of errors for Combinatorics of high school ? For this study, I took the survey through questionnaire to investigate how thoroughly students understand Combinatorics. The percentage of total correct answers in a given test was 52.5 %, the wrong answers 35.77 % and no answer 11.73%, which represents that a lot of students make a variety of errors in solving the problems in Permutation and Combination. In order to analyze types of errors students make, I categorized models of errors which can take place in Combinatorics of high school . (Error 1) Error of misunderstanding or misusing data (Error 2) Error of misinterpreting the intention of problems (Error 3) Distorted theorem or definition (Error 4) Technical errors (Error 5) Omission of solving process (Error 6) Ambiguous errors The total number of errors which took place in the test of survey was 368 in following order: =<표>논문 본문 참고= As the result of the survey, Error 3-Distorted theorem or definition was the most dominant error. Error 2 and Error 1 followed with similar percentages. If you look into each question, Error 3 was the most errors in questions No. 4 through 6 and No. 8 through 10, Error 1 in question No. 2, and Error 2 in question No. 3. Error 2 and Error 1 occupied almost same percentage in question No. 7. In the survey of problem solving process of Permutation and Combination, six error patterns were classified. The results of the survey can help teachers to diagnose the students' difficulties and develop ways of reducing errors students would make. Most of students don't understand the various concepts of Permutation and Combination correctly. Therefore, it is necessary to reinforce the basic math concepts students will learn from regular courses in high schools. Teachers are suggested to provide various examples to strengthen key concepts of Permutation and Combination in classes.
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