[학위논문]개방형 문항으로 주어진 이차함수 활용 과정에서 나타난 고등학교 학생들의 사고분석 An Analysis on Mathematical Thinking of High School Students in Application of Quadratic Functions Given by Open-ended Problems원문보기
본 연구의 목적은 개방형 문항을 이용하여, 이차함수의 활용에서 나타나는 학생들의 사고 과정을 분석하고 그 과정에서 보이는 오류에 대한 원인을 찾아 학생들의 사고 과정을 알아보고, 교사들의 교수·학습지도 개선에 도움을 주고자 하는데 있다. 이에 다음과 같은 연구문제를 설정하였다. (1) 개방형 문제로 주어진 이차함수의 활용에서 나타나는, 고등학교 학생들의 사고과정의 특징은 무엇인가? (2) 이차함수의 활용에서 보여지는 오류에는 어떤 것이 있는가? (3) 학생들이 보이는 오류는 어떤 사고 과정을 통해서 일어나는가? 연구 문제를 해결하기 위해, 고등학교 1학년 교과서 중 3종을 임의로 선택하여 교과서를 분석하였고, 이차함수의 활용에서 8문항을 개발하였다. 개발된 문항은 현직 교사 4명과 전문가의 문항 검토 과정을 거쳤다. 연구 참여자 5명에게 이차함수의 활용에 관련된 8개의 개방형 문항지를 배부하고, 일정한 시간 내에 풀도록 시간을 정하지는 않았다. 연구 참여자들이 문항을 풀 때 자신의 생각을 편안하게 기술하되, 문제 풀이 과정을 가능한 한 상세히 기술하도록 하였으며, 오답이라고 판단되는 풀이일지라도 지우지 말고, 빈 여백에 다시 풀도록 하여 풀이과정에 따른 사고 과정을 모두 나타내도록 하였다. 개방형 문항의 특성상 다양한 답을 작성한 5명의 연구 참여자들의 반응을 분석하였고, 그 결과 주목할 만한 오류를 보인 학생들의 답안을 따로 정리하였다. 학생들의 답을 분석하는 과정에서 나타난 주목할 만한 오류를 선별하여 심층 면담을 통해 사고 과정을 분석했다. 면담의 특성상 누락되는 부분이 없도록 비디오 촬영을 하였으며, 비디오 촬영 결과를 연구에 사용함을 연구 참여자들에게 동의를 받았다. 특별한 오류를 보인 경우, 그 학생의 문항지를 분석하여 학생과의 면담 계획을 수립하고, 대상 학생과의 면담을 통해 그 오답이 나오기까지의 사고 과정을 분석하였다. 그에 해당하는 문항 반응 상태를 ...
본 연구의 목적은 개방형 문항을 이용하여, 이차함수의 활용에서 나타나는 학생들의 사고 과정을 분석하고 그 과정에서 보이는 오류에 대한 원인을 찾아 학생들의 사고 과정을 알아보고, 교사들의 교수·학습지도 개선에 도움을 주고자 하는데 있다. 이에 다음과 같은 연구문제를 설정하였다. (1) 개방형 문제로 주어진 이차함수의 활용에서 나타나는, 고등학교 학생들의 사고과정의 특징은 무엇인가? (2) 이차함수의 활용에서 보여지는 오류에는 어떤 것이 있는가? (3) 학생들이 보이는 오류는 어떤 사고 과정을 통해서 일어나는가? 연구 문제를 해결하기 위해, 고등학교 1학년 교과서 중 3종을 임의로 선택하여 교과서를 분석하였고, 이차함수의 활용에서 8문항을 개발하였다. 개발된 문항은 현직 교사 4명과 전문가의 문항 검토 과정을 거쳤다. 연구 참여자 5명에게 이차함수의 활용에 관련된 8개의 개방형 문항지를 배부하고, 일정한 시간 내에 풀도록 시간을 정하지는 않았다. 연구 참여자들이 문항을 풀 때 자신의 생각을 편안하게 기술하되, 문제 풀이 과정을 가능한 한 상세히 기술하도록 하였으며, 오답이라고 판단되는 풀이일지라도 지우지 말고, 빈 여백에 다시 풀도록 하여 풀이과정에 따른 사고 과정을 모두 나타내도록 하였다. 개방형 문항의 특성상 다양한 답을 작성한 5명의 연구 참여자들의 반응을 분석하였고, 그 결과 주목할 만한 오류를 보인 학생들의 답안을 따로 정리하였다. 학생들의 답을 분석하는 과정에서 나타난 주목할 만한 오류를 선별하여 심층 면담을 통해 사고 과정을 분석했다. 면담의 특성상 누락되는 부분이 없도록 비디오 촬영을 하였으며, 비디오 촬영 결과를 연구에 사용함을 연구 참여자들에게 동의를 받았다. 특별한 오류를 보인 경우, 그 학생의 문항지를 분석하여 학생과의 면담 계획을 수립하고, 대상 학생과의 면담을 통해 그 오답이 나오기까지의 사고 과정을 분석하였다. 그에 해당하는 문항 반응 상태를 프로토콜 형식으로 기술하고, 그 오류에 대한 면담 내용을 수록하였다. 자유로운 답변 속에서 오류 유형을 찾는 형식으로 연구를 수행하는 것이므로 오류 유형 분석틀은 쓰지 않았다. 본 연구의 결과는 다음과 같다. 첫째, 최댓값과 최솟값 혹은 정의역이 정해진 경우, 학생들은 주어진 조건을 만족시키기 위해, 그 조건에 너무 치중한 나머지 다른 조건들을 전혀 고려하지 않고, 평소 쉽게 풀던 문제들에서도, 실수전체가 아닌 정수만을 정의역을 삼거나, 최고차항의 계수를 기울기로 생각하는 등 어이없는 오류를 범하기도 한다. 둘째, 조건에 따라 다양한 답을 창출해 내는 것을 알아보기 위한 문항에서, 학생들은 아무런 조건이 없이 문제가 주어지기 때문에 쉽게 구할 수도 있지만, 오히려 더 막막하다는 반응을 보였다. 적절한 제한 조건이 창의성을 자극하여 새로운 아이디어 창출의 실마리가 되어준다는 의미였다. 셋째, 정의역에 관련된 오류로는, 학생들은 주어진 정의역을 고려하지 않고, 평소 많이 접해오던 정의역을 머릿속에 두고 문제를 풀었다. 또한 일차함수와 이차함수를 유사한 함수로 여기고, 두 함수가 최고차항의 차수만 달라지고 나머지 성질을 동일하게 유지한다고 생각하는데서 비롯되는 오류가 많았다. 일차함수의 성질이 이차함수에서도 그대로 이어진다고 생각하여, 기울기나 함수의 증가, 감소에 대한 오류를 보이기도 했다. 넷째, 이차함수의 그래프와 직선의 위치관계에 관한 문제에서는 거의 대부분의 학생들이 이해를 제대로 하지 못하고 어려워하였다. 접한다는 것과 만난다는 것에 대한 개념에서 혼동을 일으키고 있으며, 접하는 경우를 풀면서 판별식을 잘못 사용하는 오류를 보였다. 또 다른 오류로는, 곡선위의 한 점에서 그을 수 있는 접선이 두 개 존재한다고 생각하는 것이다. 실제로 문제를 풀 때도 한 점에서 두 개의 접선을 그려 놓고 문제풀이를 시도하였다. 또 이차함수의 그래프 위의 한 점을 지나는 조건만을 만족하면 그 직선은 무조건 접선이 된다는 생각을 하고 있었다. 곡선위의 점을 지나는 직선과 접선의 차이점을 명확히 이해하고 있지 못했다. 다섯째, 이차함수, 이차방정식, 이차부등식의 정확한 개념이 성립되어 있지 않음으로 인해, 이차함수의 그래프와 축과의 관계에 관한 오류가 빈번하게 나타났다. 여섯째, 설명식 수업이나 현재 학교 현장에서 행해지는 평가를 통해 찾아낼 수 없었던, 다양한 오류를 개방형 문항을 통해 파악할 수 있었다. 학생들이 보인 오류 중에는 교사로서 전혀 짐작조차하지 못한 놀라운 오류도 있었으며, 또한 그런 오류를 성적이 우수한 학생들조차 자주 범하고 있다는 것도 의외의 결과였다. 학생들의 사고 과정을 알아보고, 그 오류를 진단하기 위해서 개방형 문항을 활용하는 것은 상당히 유의미한 가치가 있다고 하겠다. 본 연구를 추진하면서, 그동안 우리 교사들은 학교 현장에서 수업을 진행함에 있어서 학생들의 생각이나 의견을 듣고 알아가기보다는, 지식을 전달하고 해법을 제시하는 것에 많은 비중을 두고 있었음을 다시금 깨닫게 되었다. 개방형 문항을 통해 학생들의 사고과정을 더 잘 알게 되었고, 많은 관심을 갖게 되었으며 나아가 교사가 학생에게 전달하는 메시지가 아닌, 학생들이 교사에게 전달하는 메시지에 더 많은 시간과 관심을 집중한다면, 보다 나은 수업을 진행시킬 수 있고, 그 효과도 더할 것이라는 것을 깨닫게 되었다.
본 연구의 목적은 개방형 문항을 이용하여, 이차함수의 활용에서 나타나는 학생들의 사고 과정을 분석하고 그 과정에서 보이는 오류에 대한 원인을 찾아 학생들의 사고 과정을 알아보고, 교사들의 교수·학습지도 개선에 도움을 주고자 하는데 있다. 이에 다음과 같은 연구문제를 설정하였다. (1) 개방형 문제로 주어진 이차함수의 활용에서 나타나는, 고등학교 학생들의 사고과정의 특징은 무엇인가? (2) 이차함수의 활용에서 보여지는 오류에는 어떤 것이 있는가? (3) 학생들이 보이는 오류는 어떤 사고 과정을 통해서 일어나는가? 연구 문제를 해결하기 위해, 고등학교 1학년 교과서 중 3종을 임의로 선택하여 교과서를 분석하였고, 이차함수의 활용에서 8문항을 개발하였다. 개발된 문항은 현직 교사 4명과 전문가의 문항 검토 과정을 거쳤다. 연구 참여자 5명에게 이차함수의 활용에 관련된 8개의 개방형 문항지를 배부하고, 일정한 시간 내에 풀도록 시간을 정하지는 않았다. 연구 참여자들이 문항을 풀 때 자신의 생각을 편안하게 기술하되, 문제 풀이 과정을 가능한 한 상세히 기술하도록 하였으며, 오답이라고 판단되는 풀이일지라도 지우지 말고, 빈 여백에 다시 풀도록 하여 풀이과정에 따른 사고 과정을 모두 나타내도록 하였다. 개방형 문항의 특성상 다양한 답을 작성한 5명의 연구 참여자들의 반응을 분석하였고, 그 결과 주목할 만한 오류를 보인 학생들의 답안을 따로 정리하였다. 학생들의 답을 분석하는 과정에서 나타난 주목할 만한 오류를 선별하여 심층 면담을 통해 사고 과정을 분석했다. 면담의 특성상 누락되는 부분이 없도록 비디오 촬영을 하였으며, 비디오 촬영 결과를 연구에 사용함을 연구 참여자들에게 동의를 받았다. 특별한 오류를 보인 경우, 그 학생의 문항지를 분석하여 학생과의 면담 계획을 수립하고, 대상 학생과의 면담을 통해 그 오답이 나오기까지의 사고 과정을 분석하였다. 그에 해당하는 문항 반응 상태를 프로토콜 형식으로 기술하고, 그 오류에 대한 면담 내용을 수록하였다. 자유로운 답변 속에서 오류 유형을 찾는 형식으로 연구를 수행하는 것이므로 오류 유형 분석틀은 쓰지 않았다. 본 연구의 결과는 다음과 같다. 첫째, 최댓값과 최솟값 혹은 정의역이 정해진 경우, 학생들은 주어진 조건을 만족시키기 위해, 그 조건에 너무 치중한 나머지 다른 조건들을 전혀 고려하지 않고, 평소 쉽게 풀던 문제들에서도, 실수전체가 아닌 정수만을 정의역을 삼거나, 최고차항의 계수를 기울기로 생각하는 등 어이없는 오류를 범하기도 한다. 둘째, 조건에 따라 다양한 답을 창출해 내는 것을 알아보기 위한 문항에서, 학생들은 아무런 조건이 없이 문제가 주어지기 때문에 쉽게 구할 수도 있지만, 오히려 더 막막하다는 반응을 보였다. 적절한 제한 조건이 창의성을 자극하여 새로운 아이디어 창출의 실마리가 되어준다는 의미였다. 셋째, 정의역에 관련된 오류로는, 학생들은 주어진 정의역을 고려하지 않고, 평소 많이 접해오던 정의역을 머릿속에 두고 문제를 풀었다. 또한 일차함수와 이차함수를 유사한 함수로 여기고, 두 함수가 최고차항의 차수만 달라지고 나머지 성질을 동일하게 유지한다고 생각하는데서 비롯되는 오류가 많았다. 일차함수의 성질이 이차함수에서도 그대로 이어진다고 생각하여, 기울기나 함수의 증가, 감소에 대한 오류를 보이기도 했다. 넷째, 이차함수의 그래프와 직선의 위치관계에 관한 문제에서는 거의 대부분의 학생들이 이해를 제대로 하지 못하고 어려워하였다. 접한다는 것과 만난다는 것에 대한 개념에서 혼동을 일으키고 있으며, 접하는 경우를 풀면서 판별식을 잘못 사용하는 오류를 보였다. 또 다른 오류로는, 곡선위의 한 점에서 그을 수 있는 접선이 두 개 존재한다고 생각하는 것이다. 실제로 문제를 풀 때도 한 점에서 두 개의 접선을 그려 놓고 문제풀이를 시도하였다. 또 이차함수의 그래프 위의 한 점을 지나는 조건만을 만족하면 그 직선은 무조건 접선이 된다는 생각을 하고 있었다. 곡선위의 점을 지나는 직선과 접선의 차이점을 명확히 이해하고 있지 못했다. 다섯째, 이차함수, 이차방정식, 이차부등식의 정확한 개념이 성립되어 있지 않음으로 인해, 이차함수의 그래프와 축과의 관계에 관한 오류가 빈번하게 나타났다. 여섯째, 설명식 수업이나 현재 학교 현장에서 행해지는 평가를 통해 찾아낼 수 없었던, 다양한 오류를 개방형 문항을 통해 파악할 수 있었다. 학생들이 보인 오류 중에는 교사로서 전혀 짐작조차하지 못한 놀라운 오류도 있었으며, 또한 그런 오류를 성적이 우수한 학생들조차 자주 범하고 있다는 것도 의외의 결과였다. 학생들의 사고 과정을 알아보고, 그 오류를 진단하기 위해서 개방형 문항을 활용하는 것은 상당히 유의미한 가치가 있다고 하겠다. 본 연구를 추진하면서, 그동안 우리 교사들은 학교 현장에서 수업을 진행함에 있어서 학생들의 생각이나 의견을 듣고 알아가기보다는, 지식을 전달하고 해법을 제시하는 것에 많은 비중을 두고 있었음을 다시금 깨닫게 되었다. 개방형 문항을 통해 학생들의 사고과정을 더 잘 알게 되었고, 많은 관심을 갖게 되었으며 나아가 교사가 학생에게 전달하는 메시지가 아닌, 학생들이 교사에게 전달하는 메시지에 더 많은 시간과 관심을 집중한다면, 보다 나은 수업을 진행시킬 수 있고, 그 효과도 더할 것이라는 것을 깨닫게 되었다.
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