소수 나눗셈의 개념적 이해를 위한 지도 및 이해 과정 분석 An Analysis on the Process of Students' Conceptual Understanding in the Concept-Centered Teaching of Division with Decimals원문보기
현재 초등학교에서 이루어지고 있는 소수 나눗셈의 지도는 소수의 개념과 나눗셈의 의미를 배제한 알고리즘 중심의 지도가 이루어지고 있다. 즉 소수 개념의 다양한 측면과 등분제와 포함제라는 나눗셈의 의미를 충실히 반영하지 않고 있다. 그 결과 여러 가지 오류가 나타났고, 알고리즘 사이에 잦은 혼동을 일으킨다. 이런 그릇된 지도방법은 중고등학교에서 후속으로 학습하게 될 ‘실수’에 대한 개념적 이해를 방해할 뿐만 아니라, 수학적으로 사고하는 능력을 기른다는 7차 교육과정과 2007년 개정 교육과정의 수학과의 목표에 적절하지 못하다. 이에 본 연구에서는 교수학적 분석을 통해 밝혀진 소수의 개념 요소와 나눗셈의 의미를 반영하여 개념적 이해를 위한 소수 나눗셈 지도 프로그램을 구성하고, 지도과정에서 나타나는 학생들의 이해 과정을 분석함으로써 소수의 나눗셈 지도에 대한 시사점을 제공하는 데 목적을 두었다. 본 연구의 목적을 달성하기 위해 다음과 같이 연구 내용을 설정하였다. 첫째, 다른 나라의 소수 나눗셈 지도 방법과 선행 연구를 분석하여 소수의 개념과 나눗셈의 의미를 반영한 ...
현재 초등학교에서 이루어지고 있는 소수 나눗셈의 지도는 소수의 개념과 나눗셈의 의미를 배제한 알고리즘 중심의 지도가 이루어지고 있다. 즉 소수 개념의 다양한 측면과 등분제와 포함제라는 나눗셈의 의미를 충실히 반영하지 않고 있다. 그 결과 여러 가지 오류가 나타났고, 알고리즘 사이에 잦은 혼동을 일으킨다. 이런 그릇된 지도방법은 중고등학교에서 후속으로 학습하게 될 ‘실수’에 대한 개념적 이해를 방해할 뿐만 아니라, 수학적으로 사고하는 능력을 기른다는 7차 교육과정과 2007년 개정 교육과정의 수학과의 목표에 적절하지 못하다. 이에 본 연구에서는 교수학적 분석을 통해 밝혀진 소수의 개념 요소와 나눗셈의 의미를 반영하여 개념적 이해를 위한 소수 나눗셈 지도 프로그램을 구성하고, 지도과정에서 나타나는 학생들의 이해 과정을 분석함으로써 소수의 나눗셈 지도에 대한 시사점을 제공하는 데 목적을 두었다. 본 연구의 목적을 달성하기 위해 다음과 같이 연구 내용을 설정하였다. 첫째, 다른 나라의 소수 나눗셈 지도 방법과 선행 연구를 분석하여 소수의 개념과 나눗셈의 의미를 반영한 수업 설계의 시사점을 찾는다. 둘째, 소수의 개념과 나눗셈의 의미를 반영한 소수 나눗셈의 구체적인 지도 프로그램을 구성하고 적용하여 그 성취도 결과를 분석한다. 셋째, 소수의 개념과 나눗셈의 의미를 반영한 소수 나눗셈 수업에서 나타나는 학생들의 이해 과정을 분석한다. 이를 해결하기 위해 소수와 나눗셈의 개념을 고찰하고, 다른 나라의 소수 나눗셈 지도 방법을 분석하였으며, 이를 반영하여 측정수, 십진기수법의 기호 체계, 작용소, 분수, 비 등 여러 측면을 갖는 소수의 본질적 개념과 포함제와 등분제 나눗셈의 상황적 의미를 반영한 소수 나눗셈의 구체적인 지도 방법을 구안하였다. 즉 소수의 역사-발생학적 의미를 반영하고 측정수로서의 소수의 개념을 익힐 수 있는 눈금자, 동치 관계를 쉽게 이해할 수 있는 리본, 싱가포르의 어림 전략과 자리 기둥, 일본의 연산 수직선과 비례 도식, 연산자의 개념으로 소수 나눗셈 알고리즘 도입하는 미국의 방법 등을 바탕으로 바람직한 지도 방향을 설정하고 단원을 구성하여 11차시의 교수․학습 과정안을 개발하였다. 개발한 프로그램으로 예비실험을 실시하여 문제점을 보완하였으며 경기도 남양주 B초등학교 5학년 5명(상1, 중3, 하1)의 학생을 본 실험 대상으로 선정하여, 선행 학습으로 요구되는 소수의 곱셈을 8차시에 걸쳐 먼저 지도한 후, 본 차시에 해당하는 11차시의 수업을 실시하였다. 자료 수집으로 수업 과정의 녹화, 학생들의 활동지, 성취도 검사지가 활용되었고, 자료 분석으로는 문헌 연구를 통해 마련한 소수 나눗셈의 개념적 이해 틀을 기초로 수학일지의 유사 문항에 대한 해결 과정 및 수업 과정 중 제작한 활동지를 중심으로 하여 학생들의 이해와 반응을 분석하고, 사전․사후 성취도 결과를 비교․분석하였다. 수업 분석 결과 대부분의 학생들은 소수 나눗셈 관련 문제 상황에서 포함제 또는 등분제의 의미로 해석할 수 있었으며, 적절한 소수 나눗셈 식을 세우고, 소수의 개념 및 나눗셈의 의미와 관련지어 다양한 방법으로 연산을 수행할 수 있었다. 특히 제수가 소수인 경우 비 동치관계를 활용하여 설명하는 등 소수 나눗셈의 알고리즘과 연결할 수 있었다. 그러나 하위 수준의 학생은 구체적 조작 활동을 통해 개념을 이해했다 하더라도 과정을 식으로 표현하거나 알고리즘 절차와 관련지어 설명하기를 어려워하는 양상을 나타 내었다. 소수 나눗셈의 개념적 이해의 지속성을 살펴보기 위해 실험 종료 3주 후 실시한 소수 개념 이해 관련 사전-사후 동일 문항에 대한 반응 비교 결과 측정수, 십진분수, 십진기수법에 대한 이해가 향상되었음을 알 수 있었다. 특히 측정수에 대한 이해 정도가 상당히 향상되었음을 볼 수 있었다. 문제 해결과 문제 만들기를 활용한 소수의 나눗셈 연산 의미 이해 검사 결과 3명의 학생은 문제 상황 속에 담긴 나눗셈의 의미를 이해하고 해결할 수 있었으나, ‘중하’ 수준과 ‘하’ 수준의 학생은 등분제와 포함제를 혼돈하거나, 식으로 접근 과정에서 오류를 나타내기도 하였다. 또한 5명 모두 개념을 이해하여 조건에 맞는 등분제와 포함제 문제를 만들 수 있었으나, 제수가 소수인 등분제 즉 외적비를 활용한 문항 만들기는 어려워하였다. 마지막으로 알고리즘 및 연산의 원리 이해 관련 검사 결과 4명의 학생 모두 알고리즘의 절차를 이해하였으며, 비나 작용소에 내재한 선형성 및 나눗셈의 성질을 기초로 소수 나눗셈의 방법을 정당화 할 수 있었다. 그러나 ‘하’수준 학생의 경우 소수 부분의 몫에 ‘0’이 포함된 계산식의 알고리즘을 설명하지 못하였다. 이와 같은 연구 결과를 통하여 얻은 결론은 다음과 같다. 첫째, 알고리즘을 도입하기 전 소수 나눗셈이 이용되는 다양한 실생활 문제를 접하도록 하는 것은 소수 나눗셈의 의미를 이해하는 데 많은 도움이 된다. 소수의 사칙연산이 활용된 다양한 문제 상황 속에서 소수의 나눗셈과 관련된 상황을 추출하고 그것을 다시 등분제와 포함제로 분류함으로써 학생들은 소수 나눗셈의 상황적인 정의를 인식할 수 있었다. 둘째, 같은 주제 및 제재일지라도 등분제와 포함제의 상황으로 구분하여 각각 차시를 구성한 것은 소수 나눗셈의 상황적 의미를 이해하고 개념적으로 이해하는 데 도움이 된다. 특히 현 교육과정에서 접근하지 않고 있는 포함제의 (소수)÷(자연수)와 등분제의 (자연수)÷(소수), (소수)÷(소수)의 문제 상황 접근을 통해 연산의 의미를 이해하는데 도움이 되었을 뿐만 아니라 ‘비’와 ‘작용소’로서의 소수를 이해하는 데도 도움이 되었음을 알 수 있었다. 셋째, 분수로 변환하여 연산하지 않고 나눗셈의 의미를 바탕으로 하여 소수로 연산할 수 있도록 지도하는 방법은 측정수, 십진법화, 비, 작용소 등 소수의 여러 측면을 인식하는데 도움이 되었다. 특히 피제수가 소수일 경우 비 동치관계에 있는 여러 순서쌍을 발견하고 이를 알고리즘으로 연결 짓는 과정에서 학생들은 ‘비’와 ‘작용소’로서의 소수의 개념에 대한 이해가 신장되었음을 수업과정분석과 평가를 통해 알 수 있었다. 넷째, 문제 상황을 식으로 표현한 후 해결을 시작하기 전 몫에 대한 어림의 과정은 계산과정에서 나타나는 소수점 오류를 줄일 수 있다. 다섯째, 연산 수직선, 자, 리본, 자리 기둥, 비율도식 등 다양한 구체물의 활용은 소수 나눗셈을 개념적으로 이해하는데 매우 효과적이었으며, 차시별 및 학습자의 수준에 따라 효과적인 구체물을 발견할 수 있었다. 따라서 각 구체물의 특성을 살려 차시 주제별 및 학습자의 수준에 따라 적절히 선택하여 소수 나눗셈 지도에 활용하는 것이 바람직할 것이다. 여섯째, ‘하’ 수준 학생의 경우 개념적으로 이해하기 위해 많은 시간이 요구되며, 구체적 조작 활동을 통해 의미를 이해했다고 하더라도 식으로 연결하거나 알고리즘 절차와 관련지어 설명하기를 어려워하며 충분한 반복 지도 및 계산 연습이 필요하다. 끝으로 본 연구의 이러한 결과가 교사의 지도방법 개선과 교육과정 및 교과서 개편 관련 연구에 기여할 수 있기를 바란다. 또한 본 연구와 관련하여 일반 학급에 적용하여 그 효과성을 검증하고 문제점을 보완할 필요가 있으며, 이에 대한 후속연구가 뒤따라야 할 것이다.
현재 초등학교에서 이루어지고 있는 소수 나눗셈의 지도는 소수의 개념과 나눗셈의 의미를 배제한 알고리즘 중심의 지도가 이루어지고 있다. 즉 소수 개념의 다양한 측면과 등분제와 포함제라는 나눗셈의 의미를 충실히 반영하지 않고 있다. 그 결과 여러 가지 오류가 나타났고, 알고리즘 사이에 잦은 혼동을 일으킨다. 이런 그릇된 지도방법은 중고등학교에서 후속으로 학습하게 될 ‘실수’에 대한 개념적 이해를 방해할 뿐만 아니라, 수학적으로 사고하는 능력을 기른다는 7차 교육과정과 2007년 개정 교육과정의 수학과의 목표에 적절하지 못하다. 이에 본 연구에서는 교수학적 분석을 통해 밝혀진 소수의 개념 요소와 나눗셈의 의미를 반영하여 개념적 이해를 위한 소수 나눗셈 지도 프로그램을 구성하고, 지도과정에서 나타나는 학생들의 이해 과정을 분석함으로써 소수의 나눗셈 지도에 대한 시사점을 제공하는 데 목적을 두었다. 본 연구의 목적을 달성하기 위해 다음과 같이 연구 내용을 설정하였다. 첫째, 다른 나라의 소수 나눗셈 지도 방법과 선행 연구를 분석하여 소수의 개념과 나눗셈의 의미를 반영한 수업 설계의 시사점을 찾는다. 둘째, 소수의 개념과 나눗셈의 의미를 반영한 소수 나눗셈의 구체적인 지도 프로그램을 구성하고 적용하여 그 성취도 결과를 분석한다. 셋째, 소수의 개념과 나눗셈의 의미를 반영한 소수 나눗셈 수업에서 나타나는 학생들의 이해 과정을 분석한다. 이를 해결하기 위해 소수와 나눗셈의 개념을 고찰하고, 다른 나라의 소수 나눗셈 지도 방법을 분석하였으며, 이를 반영하여 측정수, 십진기수법의 기호 체계, 작용소, 분수, 비 등 여러 측면을 갖는 소수의 본질적 개념과 포함제와 등분제 나눗셈의 상황적 의미를 반영한 소수 나눗셈의 구체적인 지도 방법을 구안하였다. 즉 소수의 역사-발생학적 의미를 반영하고 측정수로서의 소수의 개념을 익힐 수 있는 눈금자, 동치 관계를 쉽게 이해할 수 있는 리본, 싱가포르의 어림 전략과 자리 기둥, 일본의 연산 수직선과 비례 도식, 연산자의 개념으로 소수 나눗셈 알고리즘 도입하는 미국의 방법 등을 바탕으로 바람직한 지도 방향을 설정하고 단원을 구성하여 11차시의 교수․학습 과정안을 개발하였다. 개발한 프로그램으로 예비실험을 실시하여 문제점을 보완하였으며 경기도 남양주 B초등학교 5학년 5명(상1, 중3, 하1)의 학생을 본 실험 대상으로 선정하여, 선행 학습으로 요구되는 소수의 곱셈을 8차시에 걸쳐 먼저 지도한 후, 본 차시에 해당하는 11차시의 수업을 실시하였다. 자료 수집으로 수업 과정의 녹화, 학생들의 활동지, 성취도 검사지가 활용되었고, 자료 분석으로는 문헌 연구를 통해 마련한 소수 나눗셈의 개념적 이해 틀을 기초로 수학일지의 유사 문항에 대한 해결 과정 및 수업 과정 중 제작한 활동지를 중심으로 하여 학생들의 이해와 반응을 분석하고, 사전․사후 성취도 결과를 비교․분석하였다. 수업 분석 결과 대부분의 학생들은 소수 나눗셈 관련 문제 상황에서 포함제 또는 등분제의 의미로 해석할 수 있었으며, 적절한 소수 나눗셈 식을 세우고, 소수의 개념 및 나눗셈의 의미와 관련지어 다양한 방법으로 연산을 수행할 수 있었다. 특히 제수가 소수인 경우 비 동치관계를 활용하여 설명하는 등 소수 나눗셈의 알고리즘과 연결할 수 있었다. 그러나 하위 수준의 학생은 구체적 조작 활동을 통해 개념을 이해했다 하더라도 과정을 식으로 표현하거나 알고리즘 절차와 관련지어 설명하기를 어려워하는 양상을 나타 내었다. 소수 나눗셈의 개념적 이해의 지속성을 살펴보기 위해 실험 종료 3주 후 실시한 소수 개념 이해 관련 사전-사후 동일 문항에 대한 반응 비교 결과 측정수, 십진분수, 십진기수법에 대한 이해가 향상되었음을 알 수 있었다. 특히 측정수에 대한 이해 정도가 상당히 향상되었음을 볼 수 있었다. 문제 해결과 문제 만들기를 활용한 소수의 나눗셈 연산 의미 이해 검사 결과 3명의 학생은 문제 상황 속에 담긴 나눗셈의 의미를 이해하고 해결할 수 있었으나, ‘중하’ 수준과 ‘하’ 수준의 학생은 등분제와 포함제를 혼돈하거나, 식으로 접근 과정에서 오류를 나타내기도 하였다. 또한 5명 모두 개념을 이해하여 조건에 맞는 등분제와 포함제 문제를 만들 수 있었으나, 제수가 소수인 등분제 즉 외적비를 활용한 문항 만들기는 어려워하였다. 마지막으로 알고리즘 및 연산의 원리 이해 관련 검사 결과 4명의 학생 모두 알고리즘의 절차를 이해하였으며, 비나 작용소에 내재한 선형성 및 나눗셈의 성질을 기초로 소수 나눗셈의 방법을 정당화 할 수 있었다. 그러나 ‘하’수준 학생의 경우 소수 부분의 몫에 ‘0’이 포함된 계산식의 알고리즘을 설명하지 못하였다. 이와 같은 연구 결과를 통하여 얻은 결론은 다음과 같다. 첫째, 알고리즘을 도입하기 전 소수 나눗셈이 이용되는 다양한 실생활 문제를 접하도록 하는 것은 소수 나눗셈의 의미를 이해하는 데 많은 도움이 된다. 소수의 사칙연산이 활용된 다양한 문제 상황 속에서 소수의 나눗셈과 관련된 상황을 추출하고 그것을 다시 등분제와 포함제로 분류함으로써 학생들은 소수 나눗셈의 상황적인 정의를 인식할 수 있었다. 둘째, 같은 주제 및 제재일지라도 등분제와 포함제의 상황으로 구분하여 각각 차시를 구성한 것은 소수 나눗셈의 상황적 의미를 이해하고 개념적으로 이해하는 데 도움이 된다. 특히 현 교육과정에서 접근하지 않고 있는 포함제의 (소수)÷(자연수)와 등분제의 (자연수)÷(소수), (소수)÷(소수)의 문제 상황 접근을 통해 연산의 의미를 이해하는데 도움이 되었을 뿐만 아니라 ‘비’와 ‘작용소’로서의 소수를 이해하는 데도 도움이 되었음을 알 수 있었다. 셋째, 분수로 변환하여 연산하지 않고 나눗셈의 의미를 바탕으로 하여 소수로 연산할 수 있도록 지도하는 방법은 측정수, 십진법화, 비, 작용소 등 소수의 여러 측면을 인식하는데 도움이 되었다. 특히 피제수가 소수일 경우 비 동치관계에 있는 여러 순서쌍을 발견하고 이를 알고리즘으로 연결 짓는 과정에서 학생들은 ‘비’와 ‘작용소’로서의 소수의 개념에 대한 이해가 신장되었음을 수업과정분석과 평가를 통해 알 수 있었다. 넷째, 문제 상황을 식으로 표현한 후 해결을 시작하기 전 몫에 대한 어림의 과정은 계산과정에서 나타나는 소수점 오류를 줄일 수 있다. 다섯째, 연산 수직선, 자, 리본, 자리 기둥, 비율도식 등 다양한 구체물의 활용은 소수 나눗셈을 개념적으로 이해하는데 매우 효과적이었으며, 차시별 및 학습자의 수준에 따라 효과적인 구체물을 발견할 수 있었다. 따라서 각 구체물의 특성을 살려 차시 주제별 및 학습자의 수준에 따라 적절히 선택하여 소수 나눗셈 지도에 활용하는 것이 바람직할 것이다. 여섯째, ‘하’ 수준 학생의 경우 개념적으로 이해하기 위해 많은 시간이 요구되며, 구체적 조작 활동을 통해 의미를 이해했다고 하더라도 식으로 연결하거나 알고리즘 절차와 관련지어 설명하기를 어려워하며 충분한 반복 지도 및 계산 연습이 필요하다. 끝으로 본 연구의 이러한 결과가 교사의 지도방법 개선과 교육과정 및 교과서 개편 관련 연구에 기여할 수 있기를 바란다. 또한 본 연구와 관련하여 일반 학급에 적용하여 그 효과성을 검증하고 문제점을 보완할 필요가 있으며, 이에 대한 후속연구가 뒤따라야 할 것이다.
The teaching of division with decimals in the current elementary school is of algorithm based education excluding concepts of decimals and meanings of division. Thus, the course is not fully reflecting various concepts of decimals and meanings of division as partitive division and measurement divisi...
The teaching of division with decimals in the current elementary school is of algorithm based education excluding concepts of decimals and meanings of division. Thus, the course is not fully reflecting various concepts of decimals and meanings of division as partitive division and measurement division. Therefore, it results in many errors and frequent confuse between algorithms. This improper teaching method hinders conceptual understanding of real numbers in middle school and high school and attaining goals of enhancing mathematical thinking in the seventh mathematics curriculum and 2007 revised mathematic curriculum. This study aims to develop the concept-centered teaching program for division with decimals based on concepts of decimals and meanings of the division, to analyze the process of students' conceptual understanding on division with decimals during instructions, and to suggest implications to the teaching of division with decimals in elementary schools. In order to achieve the purposes of this study, following research questions were established. First, to develop the concept-centered teaching program based on concepts of decimals and meanings of division according to the fundamental directions obtained by analyzing the teaching methods of division with decimals and precedent studies of nations. Second, to apply the developed teaching program and to analyze the achievement test results. Third, to analyze the process of students' conceptual understanding on division with decimals during instructions. First of all, this study conducted a theoretical review about concepts of decimals and meanings of division with decimals and teaching methods of division with decimals in Korea, America, Japan and Singapore. According to the findings of theoretical review, the concept-centered teaching program for division with decimals of this study was developed. This program emphasized on essential concepts of decimals such as measured number, decimal notation, operator, fraction and ratio and on meanings of division as measurement division and partitive division. It also underlined using physical materials such as marked ruler, pieces of strip, place value bars, operational number line and schema of proportion. The program was supplemented through the preliminary experiment. The subjects of the study were fifth grade students attending B elementary school in Gyeonggi province(one high level, three mid-level, and one low level in mathematics achievement). Eight lessons of multiplication with decimals were conducted as the precedent learning necessary for the lessons in the program. Data collected included videotapes of classes, the activity sheets and achievement test results of the subjects. The results of pre and post achievement test were compared and analyzed. Based on the framework for concepts of division with decimals developed by the theoretical review, students’ conceptual understanding on division with decimals was analyzed on the basis of students' solving processes of problems in mathematic journal developed in the study and students' activity sheets made during the lessons. According to analysis, most of the subjects were able to recognize measurement division or partitive division in problem situations related division with decimals. They were also able to write the proper expressions for division with decimals and operate in various methods with relevance to concepts of decimals and meanings of division. Especially, if the divisor was decimal, they were able to connect their methods to the algorithm of division with decimals by utilizing the ratio-equivalence relation. However, low level student showed difficulties in explaining with relevance to the algorithm procedure or writing expressions, in despite of already understanding the concept by activities using physical materials. Comparing the results of pre-and post test, the subjects showed their better understanding on measured number, decimal fraction, decimal notation. Especially, understanding on measured number has enhanced greatly. Analyzing the test results related to the meanings of division using problem solving and problem posing, three of the subjects were able to understand the meanings of division in problem situation and solve them, but mid-low level and low level student have confused partitive division and measurement division or showed errors in writing expressions. Also, all five were able to pose problems for partitive division and measurement division under certain condition but they had hard time with partitive division which divisor was decimal. It was hard for them to pose problems using external ratio. Finally, analysing the test results on understanding algorithms and operation principles, four students all understood the procedure of algorithm. And they were able to justify the division with decimals based on the linearity which is embedded on ratio or operator. And they were also able to justify the properties of division. But low level student was not able to explain the algorithm of expressions that includes ‘0’ with decimal quotient. The following conclusions were drawn from research results. First, introducing students to the variety of real life problems that can be solved by division with decimals before applying the algorithm help much in enhancing understanding the meaning of the division of decimal. Extracting the situations related to the division with decimals in the variety of problem situation with application of decimal fraction’s four fundamental arithmetic operations and classifying them to the partitive division and measurement division situation again give students opportunities to recognize the meaning of division of decimals. Second, constructing the separate session divided by partitive division and measurement division situation under the same learning attainment goals help students enhance the conceptual understanding on division with decimals. Especially, it is seen that the approach of problem situations of measurement division’s (decimal fraction)÷(natural number) and partitive division (natural number)÷(decimal fraction), (decimal fraction)÷(decimal fraction) that have not been approached by the current curriculum has helped them to understand the meaning of operation and decimal fraction as the ‘ratio’ and ‘operator’. Third, the teaching method of operating in decimal fraction based on the meanings of division without transforming them into the fraction was helpful in recognizing the various aspects of decimals such as measured number, decimal notation, ratio, and operator. Especially in finding many number pairs with ratio-equivalence relation and inventing algorithms in the case of the dividend being decimal, students have enhanced their understanding of concepts of decimals as the ‘ratio’ and ‘operator’. Four, estimating quotient without precise computing after writing expressions proper to the problem situation decreases the errors with decimal points. Fifth, use of the variety of physical materials such as operational number line, ruler, pieces of strip, place value bars was very effective in understanding concepts of division with decimals. It was able to find the effective physical material proper to each lesson and student level. Therefore, it is recommended to select and utilize physical materials for teaching division with decimals appropriate to the subject matter of the each lesson and student level. Sixth, it takes long time for low level student to understand meanings of division with decimals and to write expressions or to explain the algorithm procedure even if he has already understood the meaning of division by physical operation activity. Sufficient repeated teaching and practice of computation is needed. Key words : decimals, division with decimals, partitive division, measurement division
The teaching of division with decimals in the current elementary school is of algorithm based education excluding concepts of decimals and meanings of division. Thus, the course is not fully reflecting various concepts of decimals and meanings of division as partitive division and measurement division. Therefore, it results in many errors and frequent confuse between algorithms. This improper teaching method hinders conceptual understanding of real numbers in middle school and high school and attaining goals of enhancing mathematical thinking in the seventh mathematics curriculum and 2007 revised mathematic curriculum. This study aims to develop the concept-centered teaching program for division with decimals based on concepts of decimals and meanings of the division, to analyze the process of students' conceptual understanding on division with decimals during instructions, and to suggest implications to the teaching of division with decimals in elementary schools. In order to achieve the purposes of this study, following research questions were established. First, to develop the concept-centered teaching program based on concepts of decimals and meanings of division according to the fundamental directions obtained by analyzing the teaching methods of division with decimals and precedent studies of nations. Second, to apply the developed teaching program and to analyze the achievement test results. Third, to analyze the process of students' conceptual understanding on division with decimals during instructions. First of all, this study conducted a theoretical review about concepts of decimals and meanings of division with decimals and teaching methods of division with decimals in Korea, America, Japan and Singapore. According to the findings of theoretical review, the concept-centered teaching program for division with decimals of this study was developed. This program emphasized on essential concepts of decimals such as measured number, decimal notation, operator, fraction and ratio and on meanings of division as measurement division and partitive division. It also underlined using physical materials such as marked ruler, pieces of strip, place value bars, operational number line and schema of proportion. The program was supplemented through the preliminary experiment. The subjects of the study were fifth grade students attending B elementary school in Gyeonggi province(one high level, three mid-level, and one low level in mathematics achievement). Eight lessons of multiplication with decimals were conducted as the precedent learning necessary for the lessons in the program. Data collected included videotapes of classes, the activity sheets and achievement test results of the subjects. The results of pre and post achievement test were compared and analyzed. Based on the framework for concepts of division with decimals developed by the theoretical review, students’ conceptual understanding on division with decimals was analyzed on the basis of students' solving processes of problems in mathematic journal developed in the study and students' activity sheets made during the lessons. According to analysis, most of the subjects were able to recognize measurement division or partitive division in problem situations related division with decimals. They were also able to write the proper expressions for division with decimals and operate in various methods with relevance to concepts of decimals and meanings of division. Especially, if the divisor was decimal, they were able to connect their methods to the algorithm of division with decimals by utilizing the ratio-equivalence relation. However, low level student showed difficulties in explaining with relevance to the algorithm procedure or writing expressions, in despite of already understanding the concept by activities using physical materials. Comparing the results of pre-and post test, the subjects showed their better understanding on measured number, decimal fraction, decimal notation. Especially, understanding on measured number has enhanced greatly. Analyzing the test results related to the meanings of division using problem solving and problem posing, three of the subjects were able to understand the meanings of division in problem situation and solve them, but mid-low level and low level student have confused partitive division and measurement division or showed errors in writing expressions. Also, all five were able to pose problems for partitive division and measurement division under certain condition but they had hard time with partitive division which divisor was decimal. It was hard for them to pose problems using external ratio. Finally, analysing the test results on understanding algorithms and operation principles, four students all understood the procedure of algorithm. And they were able to justify the division with decimals based on the linearity which is embedded on ratio or operator. And they were also able to justify the properties of division. But low level student was not able to explain the algorithm of expressions that includes ‘0’ with decimal quotient. The following conclusions were drawn from research results. First, introducing students to the variety of real life problems that can be solved by division with decimals before applying the algorithm help much in enhancing understanding the meaning of the division of decimal. Extracting the situations related to the division with decimals in the variety of problem situation with application of decimal fraction’s four fundamental arithmetic operations and classifying them to the partitive division and measurement division situation again give students opportunities to recognize the meaning of division of decimals. Second, constructing the separate session divided by partitive division and measurement division situation under the same learning attainment goals help students enhance the conceptual understanding on division with decimals. Especially, it is seen that the approach of problem situations of measurement division’s (decimal fraction)÷(natural number) and partitive division (natural number)÷(decimal fraction), (decimal fraction)÷(decimal fraction) that have not been approached by the current curriculum has helped them to understand the meaning of operation and decimal fraction as the ‘ratio’ and ‘operator’. Third, the teaching method of operating in decimal fraction based on the meanings of division without transforming them into the fraction was helpful in recognizing the various aspects of decimals such as measured number, decimal notation, ratio, and operator. Especially in finding many number pairs with ratio-equivalence relation and inventing algorithms in the case of the dividend being decimal, students have enhanced their understanding of concepts of decimals as the ‘ratio’ and ‘operator’. Four, estimating quotient without precise computing after writing expressions proper to the problem situation decreases the errors with decimal points. Fifth, use of the variety of physical materials such as operational number line, ruler, pieces of strip, place value bars was very effective in understanding concepts of division with decimals. It was able to find the effective physical material proper to each lesson and student level. Therefore, it is recommended to select and utilize physical materials for teaching division with decimals appropriate to the subject matter of the each lesson and student level. Sixth, it takes long time for low level student to understand meanings of division with decimals and to write expressions or to explain the algorithm procedure even if he has already understood the meaning of division by physical operation activity. Sufficient repeated teaching and practice of computation is needed. Key words : decimals, division with decimals, partitive division, measurement division
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