비유클리드 거리함수를 활용한 수학 영재 교수 학습 자료의 개발 및 적용 Development and application of Teaching and Learning Materials for mathematics gifted students by using a Non-Euclidean Metric원문보기
본 연구의 목적은 수학 영재 학생들의 수학적 능력을 향상시키고 바람직한 교수․학습 자료의 개발에 도움을 줄 수 있는 자료 개발에 있다. 본 자료는 주제탐구형 교수․학습 자료의 개발 준거와 절차에 따라 4차시 분량으로 개발되었으며 연구 결과는 다음과 같다.
1. 수학 영재학생들의 특성을 고려한 교수․학습 자료의 개발 방향 및 절차는 어떠한가?
교수․학습 자료 개발의 방향을 탐구 주제 중심의 교수․학습 자료, 학생 중심의 자기 주도적 교수․학습 자료, 교육대상자의 특성을 고려한 교수․학습 자료, 교육 과정을 고려한 교수․학습 자료, 사고 수준의 향상을 위한 교수․학습 자료, 수학에 대한 긍정적 태도를 기를 수 있는 교수․학습 자료가 되도록 설정하고 최종현과 송상헌(2005)이 제시한 ‘주제 탐구형 수학 영재 교수․학습 자료 개발’의 절차에 따라 개발되었다.
개발된 자료는 현장 경험이 풍부한 선생님들을 통해 검토 되었다. 이러한 전문가들의 조언과 선행연구들을 토대로 수정 보완된 2차 교수․학습 자료를 실제 수업에 적용하였으며 수업 적용 후 나타난 문제점들을 보완하여 최종적인 교수․학습 자료를 개발하였다.
2. 개발된 교수․학습 자료의 실제 수업 적용 후 관찰되는 수학 영재 학생들의 수학적 능력 및 행동 특성과 자료의 특징들을 살펴본다.
1) 개발된 자료의 적용을 통해 나타나는 수학 영재 학생들의 수학적 능력 및 행동 특성은 무엇인가?
비유클리드 거리함수 활용한 교수․학습 프로그램을 통해 나타나는 수학 영재 학생들의 수학적 능력들을 알아보기 위해 적절한 분석틀을 설정하였다. 분석틀은 크루테스키의 수학적 능력의 구성 요소들을 정보수집, 정보처리, 정보파지의 3개 항목으로 나누고 이를 다시 7개의 세부 항목으로 분류하였는데 영재학생들의 수학적 능력 및 행동 특성들은 다음과 같다.
첫째, 교사의 발문과 동료들과의 토론을 통해 문제 해결을 위한 단서들을 모으고 이를 분석하여 종합적으로 이해하려는 모습을 보였다.
둘째, 익숙한 유클리드 평면에서의 수학적 대상이나 관계를 비유클리드 평면에 적용하여 수학적 기호의 사용과 수집한 정보의 조직화를 통해 관련된 문제를 비교적 쉽게 해결하는 모습을 볼 수 있었다.
셋째, 거리에 관한 고정 관념을 극복하고 주어진 함수가 거리함수가 될 수 있는지를 정의에 의하여 논리적으로 증명하는 등 일반화 및 적용 능력을 보여주고 있다.
넷째, 동료들과의 토론을 통해 많은 아이디어를 산출해 내고 서로의 생각들을 비판하고 공감하는 등 사고의 유연성을 보이고 있다.
다섯째, ...
본 연구의 목적은 수학 영재 학생들의 수학적 능력을 향상시키고 바람직한 교수․학습 자료의 개발에 도움을 줄 수 있는 자료 개발에 있다. 본 자료는 주제탐구형 교수․학습 자료의 개발 준거와 절차에 따라 4차시 분량으로 개발되었으며 연구 결과는 다음과 같다.
1. 수학 영재학생들의 특성을 고려한 교수․학습 자료의 개발 방향 및 절차는 어떠한가?
교수․학습 자료 개발의 방향을 탐구 주제 중심의 교수․학습 자료, 학생 중심의 자기 주도적 교수․학습 자료, 교육대상자의 특성을 고려한 교수․학습 자료, 교육 과정을 고려한 교수․학습 자료, 사고 수준의 향상을 위한 교수․학습 자료, 수학에 대한 긍정적 태도를 기를 수 있는 교수․학습 자료가 되도록 설정하고 최종현과 송상헌(2005)이 제시한 ‘주제 탐구형 수학 영재 교수․학습 자료 개발’의 절차에 따라 개발되었다.
개발된 자료는 현장 경험이 풍부한 선생님들을 통해 검토 되었다. 이러한 전문가들의 조언과 선행연구들을 토대로 수정 보완된 2차 교수․학습 자료를 실제 수업에 적용하였으며 수업 적용 후 나타난 문제점들을 보완하여 최종적인 교수․학습 자료를 개발하였다.
2. 개발된 교수․학습 자료의 실제 수업 적용 후 관찰되는 수학 영재 학생들의 수학적 능력 및 행동 특성과 자료의 특징들을 살펴본다.
1) 개발된 자료의 적용을 통해 나타나는 수학 영재 학생들의 수학적 능력 및 행동 특성은 무엇인가?
비유클리드 거리함수 활용한 교수․학습 프로그램을 통해 나타나는 수학 영재 학생들의 수학적 능력들을 알아보기 위해 적절한 분석틀을 설정하였다. 분석틀은 크루테스키의 수학적 능력의 구성 요소들을 정보수집, 정보처리, 정보파지의 3개 항목으로 나누고 이를 다시 7개의 세부 항목으로 분류하였는데 영재학생들의 수학적 능력 및 행동 특성들은 다음과 같다.
첫째, 교사의 발문과 동료들과의 토론을 통해 문제 해결을 위한 단서들을 모으고 이를 분석하여 종합적으로 이해하려는 모습을 보였다.
둘째, 익숙한 유클리드 평면에서의 수학적 대상이나 관계를 비유클리드 평면에 적용하여 수학적 기호의 사용과 수집한 정보의 조직화를 통해 관련된 문제를 비교적 쉽게 해결하는 모습을 볼 수 있었다.
셋째, 거리에 관한 고정 관념을 극복하고 주어진 함수가 거리함수가 될 수 있는지를 정의에 의하여 논리적으로 증명하는 등 일반화 및 적용 능력을 보여주고 있다.
넷째, 동료들과의 토론을 통해 많은 아이디어를 산출해 내고 서로의 생각들을 비판하고 공감하는 등 사고의 유연성을 보이고 있다.
다섯째, 유클리드 거리, 택시 거리, 정사각 거리 사이의 대소 관계나 비유클리드 평면에서의 점과 직선 사이의 거리 구하는 방법을 일반화하여 설명하는 등 문제 상황에 대한 관계적 이해 및 수학적 표현 양상을 보이고 있다.
2) 개발된 자료의 수업 적용 후 나타나는 특징들은 무엇인가?
첫째, 비유클리드 거리함수를 통해 학생들이 거리에 대한 고정 관념을 깨고 새로운 정의에 의한 여러 가지 수학적 성질들을 다시 확인해 보수 있어, 보통 고등학교 수준에서 학습되는 Van Hiele의 제 4 기하학습 수준인 형식적 연역 수준(Deduction)보다 향상된 학습 수준을 이끌어 낼만한 자료라 할 수 있다.
둘째, 매 차시 탐구과제를 제시하여 수업 후 동료들 간의 자유로운 토론을 통해 서로의 생각을 교환하고 학습 내용을 점검해 볼 수 있어 본시학습 내용에 대한 복습뿐만 아니라 선수학습 내용과 종합적 사고를 통해 문제를 해결할 수 있는 특징을 가지고 있다.
셋째, 차시별 학습 주제들 간의 유기적인 연관성과 학습 내용에 관한 단계적이고 체계적인 관계를 유지하도록 자료나 질문 순서를 구성하여 학생들의 사고의 집중과 보다 깊이 있는 사고를 유도할 수 있도록 고려하였다.
넷째, 학습 내용에 대한 활발한 토론과 탐색을 통해 좀 더 확장된 주제를 가지고 창의적 산출물을 생산할 수 있는 기초를 마련하였다. 내가 제안하는 탐구 문제를 통해 문제해결형 교수․학습 프로그램의 특징인 문제를 푸는 수준을 넘어 동료가 만든 문제를 평가해 보거나 직접 문제를 만들어 볼 수 있는 기회를 제공하고 있다.
다섯째, 학생들의 수학적 표현력, 관찰력, 논리적 비판의식 그리고 수학에 대한 흥미와 자신감을 갖도록 하는데 도움을 줄 수 있는 자료이다.
여섯째, 속진보다는 기존의 배웠던 내용들을 토대로 새로운 거리함수의 적용에 따른 여러 가지 성질들을 탐구할 수 있도록 개발되어 있어 심화 학습 자료의 성격을 띠고 있다고 할 수 있다.
일곱째, 택시 거리가 실생활에서 어떻게 응용될 수 있는지에 관련하여 간단히 언급을 하였지만 정사각 거리함수가 실생활에서 어떻게 적용되고 왜 유용한지에 대해 충분한 해결책을 제공할만한 질문이나 자료가 부족하다고 판단된다.
3. 개발된 자료가 영재교육 자료로서 시사하는 바는 무엇인가?
첫째, 비유클리드 거리함수는 이해하기가 쉽고 우리가 학교 수학에서 배워왔던 유클리드 거리함수에 관한 기본적인 지식만으로도 많은 다양한 문제 상황들을 만들어낼 수 있다. 유클리드 평면상에서 증명된 많은 성질들을 그대로 비유클리드 평면에서 적용해 볼 수 있어 영재 교육대상자의 특성을 고려한 다양한 교수․학습 자료로의 변형 및 개발이 가능한 장점을 가지고 있다. 또한 서로 다른 평면 위에서 여러 가지 도형의 성질들을 비교해 봄으로써 기존에 알고 있는 유클리드 평면 위의 도형에 관한 성질과 원리들을 좀 더 명확히 이해하고 응용할 수 있는 복습 효과를 기대할 수 있다.
둘째, 학생들이 유클리드 평면 위의 도형의 여러 가지 성질들을 탐구하면서 경험이나 직관에 의존하는 경향이 있으나 비유클리드 평면에서는 엄밀한 정의에 의한 도형의 성질들을 탐구하고 예상치 못한 결론들을 도출해 냄으로서 직관적 사고가 아닌 논리적 사고를 통한 수학 학습능력의 향상을 기대할 수 있다.
셋째, 비유클리드 거리함수 정의에 따른 탐구 결과들을 직접 그려보는 시각적, 경험적 자극을 통해 영재 학생들의 특징 중의 하나인 지적 호기심을 유발하고 사고의 유연성과 분석 능력을 키우기에 충분하다.
넷째, 교사의 역할을 최소화하면서 학생들이 문제 해결의 아이디어를 제안하고 토론하는 탐구 중심의 교수․학습 자료는 수학에 대한 흥미와 자신감 그리고 자기 주도적 학습 능력을 향상시키기에 충분하다.
다섯째, 토론 과정에서 동료의 사고방식에 영향을 많이 받아 생각의 폭이 좁아지거나 잘못된 결론에 도달할 수 있는 점을 고려하여 수업을 시작하면서 전시 학습 내용에 대한 정리와 생각의 결과들을 표현하게 하고 적절히 발문함으로서 학생 중심의 탐구학습의 취약점을 보완할 수 있다.
본 연구의 목적은 수학 영재 학생들의 수학적 능력을 향상시키고 바람직한 교수․학습 자료의 개발에 도움을 줄 수 있는 자료 개발에 있다. 본 자료는 주제탐구형 교수․학습 자료의 개발 준거와 절차에 따라 4차시 분량으로 개발되었으며 연구 결과는 다음과 같다.
1. 수학 영재학생들의 특성을 고려한 교수․학습 자료의 개발 방향 및 절차는 어떠한가?
교수․학습 자료 개발의 방향을 탐구 주제 중심의 교수․학습 자료, 학생 중심의 자기 주도적 교수․학습 자료, 교육대상자의 특성을 고려한 교수․학습 자료, 교육 과정을 고려한 교수․학습 자료, 사고 수준의 향상을 위한 교수․학습 자료, 수학에 대한 긍정적 태도를 기를 수 있는 교수․학습 자료가 되도록 설정하고 최종현과 송상헌(2005)이 제시한 ‘주제 탐구형 수학 영재 교수․학습 자료 개발’의 절차에 따라 개발되었다.
개발된 자료는 현장 경험이 풍부한 선생님들을 통해 검토 되었다. 이러한 전문가들의 조언과 선행연구들을 토대로 수정 보완된 2차 교수․학습 자료를 실제 수업에 적용하였으며 수업 적용 후 나타난 문제점들을 보완하여 최종적인 교수․학습 자료를 개발하였다.
2. 개발된 교수․학습 자료의 실제 수업 적용 후 관찰되는 수학 영재 학생들의 수학적 능력 및 행동 특성과 자료의 특징들을 살펴본다.
1) 개발된 자료의 적용을 통해 나타나는 수학 영재 학생들의 수학적 능력 및 행동 특성은 무엇인가?
비유클리드 거리함수 활용한 교수․학습 프로그램을 통해 나타나는 수학 영재 학생들의 수학적 능력들을 알아보기 위해 적절한 분석틀을 설정하였다. 분석틀은 크루테스키의 수학적 능력의 구성 요소들을 정보수집, 정보처리, 정보파지의 3개 항목으로 나누고 이를 다시 7개의 세부 항목으로 분류하였는데 영재학생들의 수학적 능력 및 행동 특성들은 다음과 같다.
첫째, 교사의 발문과 동료들과의 토론을 통해 문제 해결을 위한 단서들을 모으고 이를 분석하여 종합적으로 이해하려는 모습을 보였다.
둘째, 익숙한 유클리드 평면에서의 수학적 대상이나 관계를 비유클리드 평면에 적용하여 수학적 기호의 사용과 수집한 정보의 조직화를 통해 관련된 문제를 비교적 쉽게 해결하는 모습을 볼 수 있었다.
셋째, 거리에 관한 고정 관념을 극복하고 주어진 함수가 거리함수가 될 수 있는지를 정의에 의하여 논리적으로 증명하는 등 일반화 및 적용 능력을 보여주고 있다.
넷째, 동료들과의 토론을 통해 많은 아이디어를 산출해 내고 서로의 생각들을 비판하고 공감하는 등 사고의 유연성을 보이고 있다.
다섯째, 유클리드 거리, 택시 거리, 정사각 거리 사이의 대소 관계나 비유클리드 평면에서의 점과 직선 사이의 거리 구하는 방법을 일반화하여 설명하는 등 문제 상황에 대한 관계적 이해 및 수학적 표현 양상을 보이고 있다.
2) 개발된 자료의 수업 적용 후 나타나는 특징들은 무엇인가?
첫째, 비유클리드 거리함수를 통해 학생들이 거리에 대한 고정 관념을 깨고 새로운 정의에 의한 여러 가지 수학적 성질들을 다시 확인해 보수 있어, 보통 고등학교 수준에서 학습되는 Van Hiele의 제 4 기하학습 수준인 형식적 연역 수준(Deduction)보다 향상된 학습 수준을 이끌어 낼만한 자료라 할 수 있다.
둘째, 매 차시 탐구과제를 제시하여 수업 후 동료들 간의 자유로운 토론을 통해 서로의 생각을 교환하고 학습 내용을 점검해 볼 수 있어 본시학습 내용에 대한 복습뿐만 아니라 선수학습 내용과 종합적 사고를 통해 문제를 해결할 수 있는 특징을 가지고 있다.
셋째, 차시별 학습 주제들 간의 유기적인 연관성과 학습 내용에 관한 단계적이고 체계적인 관계를 유지하도록 자료나 질문 순서를 구성하여 학생들의 사고의 집중과 보다 깊이 있는 사고를 유도할 수 있도록 고려하였다.
넷째, 학습 내용에 대한 활발한 토론과 탐색을 통해 좀 더 확장된 주제를 가지고 창의적 산출물을 생산할 수 있는 기초를 마련하였다. 내가 제안하는 탐구 문제를 통해 문제해결형 교수․학습 프로그램의 특징인 문제를 푸는 수준을 넘어 동료가 만든 문제를 평가해 보거나 직접 문제를 만들어 볼 수 있는 기회를 제공하고 있다.
다섯째, 학생들의 수학적 표현력, 관찰력, 논리적 비판의식 그리고 수학에 대한 흥미와 자신감을 갖도록 하는데 도움을 줄 수 있는 자료이다.
여섯째, 속진보다는 기존의 배웠던 내용들을 토대로 새로운 거리함수의 적용에 따른 여러 가지 성질들을 탐구할 수 있도록 개발되어 있어 심화 학습 자료의 성격을 띠고 있다고 할 수 있다.
일곱째, 택시 거리가 실생활에서 어떻게 응용될 수 있는지에 관련하여 간단히 언급을 하였지만 정사각 거리함수가 실생활에서 어떻게 적용되고 왜 유용한지에 대해 충분한 해결책을 제공할만한 질문이나 자료가 부족하다고 판단된다.
3. 개발된 자료가 영재교육 자료로서 시사하는 바는 무엇인가?
첫째, 비유클리드 거리함수는 이해하기가 쉽고 우리가 학교 수학에서 배워왔던 유클리드 거리함수에 관한 기본적인 지식만으로도 많은 다양한 문제 상황들을 만들어낼 수 있다. 유클리드 평면상에서 증명된 많은 성질들을 그대로 비유클리드 평면에서 적용해 볼 수 있어 영재 교육대상자의 특성을 고려한 다양한 교수․학습 자료로의 변형 및 개발이 가능한 장점을 가지고 있다. 또한 서로 다른 평면 위에서 여러 가지 도형의 성질들을 비교해 봄으로써 기존에 알고 있는 유클리드 평면 위의 도형에 관한 성질과 원리들을 좀 더 명확히 이해하고 응용할 수 있는 복습 효과를 기대할 수 있다.
둘째, 학생들이 유클리드 평면 위의 도형의 여러 가지 성질들을 탐구하면서 경험이나 직관에 의존하는 경향이 있으나 비유클리드 평면에서는 엄밀한 정의에 의한 도형의 성질들을 탐구하고 예상치 못한 결론들을 도출해 냄으로서 직관적 사고가 아닌 논리적 사고를 통한 수학 학습능력의 향상을 기대할 수 있다.
셋째, 비유클리드 거리함수 정의에 따른 탐구 결과들을 직접 그려보는 시각적, 경험적 자극을 통해 영재 학생들의 특징 중의 하나인 지적 호기심을 유발하고 사고의 유연성과 분석 능력을 키우기에 충분하다.
넷째, 교사의 역할을 최소화하면서 학생들이 문제 해결의 아이디어를 제안하고 토론하는 탐구 중심의 교수․학습 자료는 수학에 대한 흥미와 자신감 그리고 자기 주도적 학습 능력을 향상시키기에 충분하다.
다섯째, 토론 과정에서 동료의 사고방식에 영향을 많이 받아 생각의 폭이 좁아지거나 잘못된 결론에 도달할 수 있는 점을 고려하여 수업을 시작하면서 전시 학습 내용에 대한 정리와 생각의 결과들을 표현하게 하고 적절히 발문함으로서 학생 중심의 탐구학습의 취약점을 보완할 수 있다.
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