유클리드 -공간에서 차원 부분다양체 에 대한 가장 기본적이고 자연적인 기하학적인 대상 중에 하나가 바로 의 위치벡터이다. 많은 기하학자들이 위치벡터와 관련된 조건을 만족하는 유클리드 부분다양체를 연구해 왔다. 예를들어 위치벡터 에 Laplacian()을 적용한 가 0벡터가 되는 최소부분다양체(minimal submanifold)에 대한 이론은 2세기 동안 많은 수학자들의 관심을 받았다. 우리는 위치벡터 대신 의 square norm () 에 Laplacian()을 적용해 보고 그 결과를 바탕으로 조건 ( 는 상수)를 만족하는 부분다양체에 대하여 연구하고자 하였다. 먼저 1장에서는 도입과 예비지식에 대하여 언급하였다. 2장에서는 조건 를 만족하는 평면곡선을 분류하였고 또 이 조건을 만족하는 공간 곡선에 대한 부분적인 결과를 소개하였다. 3장에서는 조건 를 만족하는 2-type surface(곡면) 에 대하여 연구하였고, 또 이 조건을 만족하는 quadric hypersurface (2차 ...
유클리드 -공간에서 차원 부분다양체 에 대한 가장 기본적이고 자연적인 기하학적인 대상 중에 하나가 바로 의 위치벡터이다. 많은 기하학자들이 위치벡터와 관련된 조건을 만족하는 유클리드 부분다양체를 연구해 왔다. 예를들어 위치벡터 에 Laplacian()을 적용한 가 0벡터가 되는 최소부분다양체(minimal submanifold)에 대한 이론은 2세기 동안 많은 수학자들의 관심을 받았다. 우리는 위치벡터 대신 의 square norm () 에 Laplacian()을 적용해 보고 그 결과를 바탕으로 조건 ( 는 상수)를 만족하는 부분다양체에 대하여 연구하고자 하였다. 먼저 1장에서는 도입과 예비지식에 대하여 언급하였다. 2장에서는 조건 를 만족하는 평면곡선을 분류하였고 또 이 조건을 만족하는 공간 곡선에 대한 부분적인 결과를 소개하였다. 3장에서는 조건 를 만족하는 2-type surface(곡면) 에 대하여 연구하였고, 또 이 조건을 만족하는 quadric hypersurface (2차 초곡면) 를 분류하였다. 그 결과는 다음과 같다. 1) 조건 를 만족하는 단위속력 평면곡선은 [Theorem 2.1.1]와 같이 5가지의 곡선형태로 분류됨을 알 수 있었다.
2) 조건 를 만족하는 공간곡선에 대한 부분적인 결과로 을 만족 할 필요충분조건에 대하여 알아보았다. 를 원점을 지나지 않는 정칙곡선이라 하면 곡선 는 단위구 위의 단위곡선 와 음이아닌 실함수 를 이용하여 로 재매개화 할 수 있다. 이 때, 를 만족한다는 것은 실함수 가 상수이거나 방정식 ( 는 상수)을 만족한다는 사실을 알 수 있었다. 3) 공간곡선의 각 점에서 의 접성분과 법성분의 크기의 비가 일정한 곡선이 있는데 이를 constant ratio curve 라고 한다. 이 곡선이 우리가 연구하는 조건 을 만족하는 것으로 관찰되었다.
4) 조건 를 만족하는 surface 에 대한 연구결과이다. 만일 이 2-type surface 이고, 의 위치벡터 에 대하여 를 만족하면 은 null 2-type surface 즉 은 원기둥의 일부분이라는 사실을 알 수 있었다.
5) 2차 초곡면 (quadric hypersurface) 중 조건 를 만족하는 곡면은 다음 중 하나와 같다는 사실을 알 수 있었다. 첫째, 최소 2차 초곡면(minimal quadric hypersurface) 이거나,둘째, 최소 2차 초곡면(nminimal quadric hypersurface)이 아닌 경우 대각행렬 에 대하여 에 의해 묘사되는 2차 초곡면(quadric hypersurface)이거나, 셋째, 초구(hypersphere)이거나, 넷째, 원형실린더(spherical cylinder) 중 하나이다.
유클리드 -공간에서 차원 부분다양체 에 대한 가장 기본적이고 자연적인 기하학적인 대상 중에 하나가 바로 의 위치벡터이다. 많은 기하학자들이 위치벡터와 관련된 조건을 만족하는 유클리드 부분다양체를 연구해 왔다. 예를들어 위치벡터 에 Laplacian()을 적용한 가 0벡터가 되는 최소부분다양체(minimal submanifold)에 대한 이론은 2세기 동안 많은 수학자들의 관심을 받았다. 우리는 위치벡터 대신 의 square norm () 에 Laplacian()을 적용해 보고 그 결과를 바탕으로 조건 ( 는 상수)를 만족하는 부분다양체에 대하여 연구하고자 하였다. 먼저 1장에서는 도입과 예비지식에 대하여 언급하였다. 2장에서는 조건 를 만족하는 평면곡선을 분류하였고 또 이 조건을 만족하는 공간 곡선에 대한 부분적인 결과를 소개하였다. 3장에서는 조건 를 만족하는 2-type surface(곡면) 에 대하여 연구하였고, 또 이 조건을 만족하는 quadric hypersurface (2차 초곡면) 를 분류하였다. 그 결과는 다음과 같다. 1) 조건 를 만족하는 단위속력 평면곡선은 [Theorem 2.1.1]와 같이 5가지의 곡선형태로 분류됨을 알 수 있었다.
2) 조건 를 만족하는 공간곡선에 대한 부분적인 결과로 을 만족 할 필요충분조건에 대하여 알아보았다. 를 원점을 지나지 않는 정칙곡선이라 하면 곡선 는 단위구 위의 단위곡선 와 음이아닌 실함수 를 이용하여 로 재매개화 할 수 있다. 이 때, 를 만족한다는 것은 실함수 가 상수이거나 방정식 ( 는 상수)을 만족한다는 사실을 알 수 있었다. 3) 공간곡선의 각 점에서 의 접성분과 법성분의 크기의 비가 일정한 곡선이 있는데 이를 constant ratio curve 라고 한다. 이 곡선이 우리가 연구하는 조건 을 만족하는 것으로 관찰되었다.
4) 조건 를 만족하는 surface 에 대한 연구결과이다. 만일 이 2-type surface 이고, 의 위치벡터 에 대하여 를 만족하면 은 null 2-type surface 즉 은 원기둥의 일부분이라는 사실을 알 수 있었다.
5) 2차 초곡면 (quadric hypersurface) 중 조건 를 만족하는 곡면은 다음 중 하나와 같다는 사실을 알 수 있었다. 첫째, 최소 2차 초곡면(minimal quadric hypersurface) 이거나,둘째, 최소 2차 초곡면(nminimal quadric hypersurface)이 아닌 경우 대각행렬 에 대하여 에 의해 묘사되는 2차 초곡면(quadric hypersurface)이거나, 셋째, 초구(hypersphere)이거나, 넷째, 원형실린더(spherical cylinder) 중 하나이다.
For an -dimensional submanifold in the Euclidean -space , let and be it's the Laplacian and the induced metric from that of , The purpose of this thesis is to study submanifolds satisfying the condition for a constant , where is the position vector field of . Chapter 1 is devoted to introduction and...
For an -dimensional submanifold in the Euclidean -space , let and be it's the Laplacian and the induced metric from that of , The purpose of this thesis is to study submanifolds satisfying the condition for a constant , where is the position vector field of . Chapter 1 is devoted to introduction and preliminaries. In Chapter 2 we classified palne curves satisfying the condition for a constant and found some partial results on space curves satisfying this condition. In Chapter 3, we studies 2-type surfaces satisfying for a constant and classified quadric hypersurfaces for a constant .
For an -dimensional submanifold in the Euclidean -space , let and be it's the Laplacian and the induced metric from that of , The purpose of this thesis is to study submanifolds satisfying the condition for a constant , where is the position vector field of . Chapter 1 is devoted to introduction and preliminaries. In Chapter 2 we classified palne curves satisfying the condition for a constant and found some partial results on space curves satisfying this condition. In Chapter 3, we studies 2-type surfaces satisfying for a constant and classified quadric hypersurfaces for a constant .
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