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갈루아 이론의 관점을 바꾸어 접근하는 역갈루아 문제 중 하나로, 주어진 유한군 G를 갈루아 군으로 갖는 다항식족을 찾아볼 수 있다. 다만, 해당 다항식족에 대하여 일부 다항식의 갈루아 군은 군 H⊂G(H≠G)에 대응할 수도 있으므로 주의해야 한다. 본 연구는 예외 없이 G가 갈루아 군이 되는 다항식족을 ‘보편-G-다항식’이라 하고, 이를 구할 것이다. 한편 n차 다항식의 대부분은 갈루아 군이 대칭군 S_n과 동형이므로, 본 연구에서는 갈루아 군으로서 비교적 일반적이지 않은 G⊂S_n(G≠S_n)에 관한 보편-G-다항식이 유의미하다고 판단하였다. 그리하여 대칭군의 진부분군 G의 보편-G-다항식을 얻기 위한 목적으로 합성 다항식 f(g(x))의 갈루아 군은 이른바 ‘화환곱’의 ...

갈루아 이론의 관점을 바꾸어 접근하는 역갈루아 문제 중 하나로, 주어진 유한군 G를 갈루아 군으로 갖는 다항식족을 찾아볼 수 있다. 다만, 해당 다항식족에 대하여 일부 다항식의 갈루아 군은 군 H⊂G(H≠G)에 대응할 수도 있으므로 주의해야 한다. 본 연구는 예외 없이 G가 갈루아 군이 되는 다항식족을 ‘보편-G-다항식’이라 하고, 이를 구할 것이다. 한편 n차 다항식의 대부분은 갈루아 군이 대칭군 S_n과 동형이므로, 본 연구에서는 갈루아 군으로서 비교적 일반적이지 않은 G⊂S_n(G≠S_n)에 관한 보편-G-다항식이 유의미하다고 판단하였다. 그리하여 대칭군의 진부분군 G의 보편-G-다항식을 얻기 위한 목적으로 합성 다항식 f(g(x))의 갈루아 군은 이른바 ‘화환곱’의 부분군과 동형이라는 사실에 주목했다.
따라서 본 연구는 합성 다항식의 갈루아 군에 관한 개념을 바탕으로 연구 문제를 설정하고 탐구해보았다. 그 결과 합성 다항식족의 갈루아 군이 항상 특정한 화환곱 G와 동형이 될 수 있는 군론적 조건을 찾고 증명하였다. 또한 이 정리를 응용하여 합성 다항식 f(g(x))의 형태로 계산한 보편-G-다항식을 제시한다.

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