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문제 정의
- 그러나 이 행렬식의 계수행렬은 매우 그고 비 구조적인 행렬 (large sparse matrix) 이므로 직접적으로 역행렬을 구하기가 매우 어렵고, 또한 반복적인 계산올 통해서 행렬식을 풀기에도 많은 시간이 걸린다. 따라서, 본 연구에서는 이 행렬식의 효율적인 계산을 위해, 속도와 압력, 그리고 각각의 속도 성분까지 분리하는 수치방법을 제시하였다.
- 본 연구에서는 완전내재적 시간전진방법을 사용할 경우, 각가의 모멘텀 방정식에서 내재적으로 결합된 속도 성분들을 n 시간 단계에서의 정보만올 가지 고, 2차의 정 확도롤 갖는 속도 성 분들의 분리 방법올 제시하였다. 즉, 식 (Ila)의 계수행렬의 근사적 인 LU decomposition 올 통해 시간에 대해 2 차의 정확도를 가지면서 각각의 속도 성분을 분리하여 독립적으로 계산하는 방법이다.
제안 방법
- Decaying vortex problem 올 계산하여 제시 된 수치방법이 시간에 대해 2차 정확도를 가짐을 조사하였고, Minimal channel flow unit 에 대한 직접 수치 모사를 수행하여 난류 치】널 유동 해석의 타당성을 조사하였다. 앞의 수치 계산들을 통하여 본 연구에서 제시된 완전내재적 속도-압력 분리 방법이 복잡한 난류 유동의 직접수치모사에서 정확성울 가질 뿐만 아니라, 완전내재적 방법의 사용시 결합되는 속도 성분의 반복적인 계산을 하지 않으므로 그에 상응하는 계산시간올 단축시키는 효율적인 수치방법올 제시 하였다.
- vortex 의 강도가 초기치의 약 1/2이 되는 시간 t = 0.35 일 때, 수치적으로 얻은 결과와 해석적인 해롤 비교하여 max I u - uexac, I 로 최대 오차를 정의 하였다.
- 내재적 분리방법이 제시되었다. 각각의 모멘텀 방정식에서 내재적으로 결합되어 있는 속도 성분올 반복적인 계산을 통하여 구하는 기존의 방법과는 달리, 속도 성분들을 분리하여 각각 독립적으로 계산하는 계산 단계를 제시함으로써, 보다 효율적인 수치 방법을 고안하였다. 본 연구에서 제시된 속도-압력 분리 방법이 시간에 대해 2차의 정확도를 가짐을 확인하였다.
- 경계조건과 초기조건을 위의 식으로 부여하여, 제시된 수치 방법으로 계산을 수행하였다. vortex 의 강도가 초기치의 약 1/2이 되는 시간 t = 0.
- 계산 시간 간격올 &%/<戸0.05로 하여 soom, 동안 시간 전진을 하는 경우, 중간 단계의 속도를 구하는 과정과 전체적인 계산 과정에 대한 시간을 비교하였다. 본 연구에서 제시된 분리 방법을 사용할 경우, 반복적인 계산올 통하여 중간단계의 속도를 구하는 방법에 비해, 전체적인 계산 시간에서는 대략 75%의 계산 시간이 단축됨을 화인하였고 중간 단계의 속도를 구하는 모멘텀 방정식에서는 대략 80%의 계산 시간 단축을 확인하였다.
- 계수행렬의 근사적인 처리를 통해 원래의 행렬식과 비교하여 시간에 대해 2차의 정확도를 갖는 근사식을 구성하여 속도와 압력을 분리하였다. 식 (7) 의 계수행렬의 근사적 LU decomposition 올 통해, 아래와 같이 식 (7)올 시간에 대해 2차의 정확도를 갖는 식으로 나타낼 수 있다.
- 주 흐름 방향과 채널 폭 방향으로는 동일한 격자 크기를 갖도록 하여, 각가의 격자의 크기는 /*=zzlz 妇恠5 이다. 그리고 벽면에 수직한 y 방향으로는 hyperbolic tangent 함수를 이용한 격자 분포를 사용하였다. y 방향외 첫번째 격자의 위치가 벽단위로 矿0 =四丿1瑚).
- 이러한 준 내재적 방법들은 CFL 조건으로 인하여 계산 시간 간격의 제한을 받게 된다. 또한, Akselvoll & MoiiMe CFL 수가 방향의 격자 밀집으로 가장 큰 영향을 받게 된다는 사실에 근거하여 y 방향의 미분항들만 내재적으로 처리하고 나머지 X, z 방향의 미분항들에 대해서는 외재적으로 처리하는 방법을 제시하였다. 이와 같은 준 내재적 방법은 복잡한 형상에서의 밀집된 계산 격자의 경우에 있어서 유동해석을 위해 요구되는 물리적인 시간간격보다 더 작은 계산시간 간격의 제한으로 그만큼 더 많은 계산 단계를 필요로 한다.
- 본 수치방법의 시간에 대한 정확도를 조사하기 위해 40 X 40 의 동일한 격자계에서 여러가지 계산 시간 간격에 대해 계산을 수행하였다. Fig.
- 본 연구에서 제시한 각각의 속도성분까지 분리하는 완전내재적 분리방법을 이용하고, 위에서 제시된 일정한 질량유량을 유지하는 평균압력 구배 결정법을 사용하여 공간에 대해 주기성올 가지는 난류 채 널 유동을 직 접수치모사 하였다. X 와 Z 방향으로 모두 주기성을 가지고 등 간격 격자를 사용할 경우, 푸리에 변환 (Fourier transform) 올 이용하면 部 에 대한 3차원 포아송 (Poisson) 방정식(20)은 1차원 방정식으로 유도된다.
- 앞 절들에서는 속도와 압력올 분리하는 방법과 완전 내재적 시간전진의 경우에 각각의 속도 성분들올 분리하는 분리방법을 제시하였다. 모든 미지수, 즉 압력, 각각의 속도 성분들이 분리된 부분단계법의 전체적인 계산 절차를 요약하면 아래와 같다.
- 앞서 제시된 수치해석기법의 정확도를 조사하기 위해서 Navier-Stokes 방정식의 해석적인 해가 존재하는 decaying vortex 문제를 수치적으로 풀어보았다. 아래의 속도와 압력은 2차원 비정상 Navier-Stokes 방정식올 Re=l 일 때 정확하게 만족하는 해석적인 해이다.
- 앞에서 구성된 행렬식에서 계수행렬의 근사적인 처리를 통해, 속도와 압력을 시간에 대해 2차의 정확도를 가지며 분리하고, 각각의 속도 성분 또한 시간에 대해서도 2차의 정확도를 가지며 분리하는 방법올 제시하였다.
- 앞의 수치 계산들을 통하여 본 연구에서 제시된 완전내재적 속도-압력 분리 방법이 복잡한 난류 유동의 직접수치모사에서 정확성울 가질 뿐만 아니라, 완전내재적 방법의 사용시 결합되는 속도 성분의 반복적인 계산을 하지 않으므로 그에 상응하는 계산시간올 단축시키는 효율적인 수치방법올 제시 하였다.
- 차분하여 행렬식올 구성하였다. 이렇게 구성된 행렬식에서 계수 행렬을 근사적인 block LU decomposition 올 이용하여 시간에 대하여 2차의 정확도를 유지하도록 속도와 압력올 분리하였다. 이에 더하여, 모멘텀 방정식에 해당하는 행렬식의계수행 렬 또한 근사적 인 block LU decomposition 을이용하여 대류항의 내재적인 처리로 인해 결합된 속도 성분들을 시간에 대한 2차의 정확도를 유시하면서 각각 분리하는 방법을 제시하였다.
- 이렇게 구성된 행렬식에서 계수 행렬을 근사적인 block LU decomposition 올 이용하여 시간에 대하여 2차의 정확도를 유지하도록 속도와 압력올 분리하였다. 이에 더하여, 모멘텀 방정식에 해당하는 행렬식의계수행 렬 또한 근사적 인 block LU decomposition 을이용하여 대류항의 내재적인 처리로 인해 결합된 속도 성분들을 시간에 대한 2차의 정확도를 유시하면서 각각 분리하는 방법을 제시하였다.
- 점성항과 대류항에 대하여 모두 내재적인 처리를 함으로써 완전내재적 시간 전진방법을 사용하였다. 완전 내재적 시간 전진방법은 비선형 항인 대류항의 내새적인 처리로 인하여 필연적으로 각 속도 성분들이 결합된 비선형 방정식을 유도한다.
- 충류유동의 중심 속도 切 과 채널 절반 두께의 길이 8 로 무차원화된 레이놀즈 수, Re;=4200 에서의 유동에 대한 직접수치모사를 수행하였다. 이 경우, 벽면 마찰 속도 uT 와 채널 절반 두께의 길이 5 로 무차원화된 레이놀즈 수(Re, )는 대략 Rer 시80이 된다.
대상 데이터
- 2897诂 (약 160 벽단위) 크기의 계산 영역에서 계산하였다. X, 北 z 방향으로 16 X 129 X 32개의 격자가 사용되었다. 주 흐름 방향과 채널 폭 방향으로는 동일한 격자 크기를 갖도록 하여, 각가의 격자의 크기는 /*=zzlz 妇恠5 이다.
데이터처리
- 난류 유동의 성질로 잘 알려져 있는 벽면 근처에서의 streaky structure 를 잘 나타내고 있다. 보다 정량적인 비교를 위하여 Choi & Moin。)의 minimal channel flow unit 의 결과와 비교하였다. 앞의 계산결과를(&=0.
- 5 정도이다. x, z 방향으로 평균한 물리량들이 통계적으로 정상상태에 도달한 후에, 여러 통계적인 물리량들의 시간 평균올 구하기 위해 1000^(7; 의 시간 동안 평균을 취하였다. Fig.
이론/모형
- 밝혔다. , 따라서 본 계산에서는 위의 레이놀즈 수에 해당하는 난류를 모사하기 위해서 JimEnez & Moin, ')의 최소한의 계산 영역보다 좀 큰 계산 영역인, 주 흐름 방향으로 ttS (약 570 벽단위), 채널 폭 방향으로는 0.2897诂 (약 160 벽단위) 크기의 계산 영역에서 계산하였다. X, 北 z 방향으로 16 X 129 X 32개의 격자가 사용되었다.
- 성분올 구해야 한다. 그러나 본 연구에서 제시한 방법은 속도 성분을 구함에 있어서 각각 단 한번의 간단한 TDMA (Tri-diagonal matrix algorithm) 형태의 행렬식만(식 (16a)-(16c))의 역행렬올 계산하게 되는 효율적인 방법이다.
- 4 로 제시하고 있다. 따라서 본 계산에서는 Choi & Moin(1)이 제시한 시간 간격이내의 시간 간격인 AtUe3=0.02(21^0.16) 으로 시간 전 진올 하였 다. 층류 속도 분포에 임의의 교란올 주고 난류 유동으로 발전해 가는 경우이다.
- 본 연구에서는 3차원 비정상 비압축성 유동을 해석하기 위해 Navier-Stokes 방정식의 모든 항들을 Crank-Nicolson 방법올 사용하여 완전 내재적인 (folly-implicit) 방법으로 시간과 공간에 대하여 동시에 차분하여 행렬식올 구성하였다. 이렇게 구성된 행렬식에서 계수 행렬을 근사적인 block LU decomposition 올 이용하여 시간에 대하여 2차의 정확도를 유지하도록 속도와 압력올 분리하였다.
- 엇갈림 격자계에서 공간에 대해 2차의 정확도를 가지는 중심 차분법을 이용하여 각 공간 차분 operator 를 결정하였다. 엇갈림 격자계롤 사용하였으므로, 차분된 식 의 미지수인 u"+, 와 严 는 계산 영역의 경계가 아닌 내부의 격자점에서 정외된다.
- 완전내재적 부분단계법에서 요구되는 이러한 속도 성분들의 반복적인 계산을 피하기 위호*) Rosenfeld 는 각각의 모멘텀 방정식에서 내재적으로 결합된 속도 성분들을 three-time level linearization scheme 을 사용하여 분리하였다. 그러나 이 방법은 n 시간단계에서의 유동장의 정보뿐만 아니라 „.
- 이러한 CFL 조건을 배제시키기 위해, 모멘텀 방정식에서 대류항과 점성항에 대해 모두 Crank- Nicolson 방법을 사용하여 내재적으로 처리하는 완진 내재적 부분단계법 (fiilly-implicit fractional step method) 이 제시되었다.("顶 또한, Choi & Moin("은 minimal channel flow unit 에 대한 직접 수치 모사를 통해 난류 유동 해석에 필요한 최대 시간 간격을 조사하여 난류 유동의 물리적인 현상을 모사하기 위해 요구되는 시간간격이 기존의 준 내재적 방법에서의 제한적인 계산 시간 간격보다 클 경우에는 완전 내재적 방법이 더 효율적임을 확인하였다.
- Perot(")은 계수행렬의 근사적인 block LU decoposition 올 이용하여 계산단계를 나누어 속도와 압력올 분리해 내는 부분단계법을 제시하였다. 이러한 방법은 행렬식의 구성시 원래의 Navier- Stokes 방정식의 경계조건올 소스항 (source term)에 포함시킴으로서, 계수 행렬의 근사적인 변형으로 계산 단계를 나눔에 있어서, 경계조건의 부가적인 고려를 배제시켰다.
성능/효과
- 6에서는 레이놀즈 전단웅력의 rms 값들을 나타내었다. Choi &Moin(1)의 결과와 거의 정확한 일치를 보이고 있으므로, 제시된 수치해석 방법이 복잡한 난류 유동의 해석에도 타당함올 알 수 있다. 본 연구에서 제시된 새로운 완전 내재적 분리방법으로서 난류 채널 유동의 직접 수치모사를 수행하여 타당한 결과를 얻었으며, 이로써 대류항의 선형화, 속도성분의 분리를 위한 계수행렬의 근사적인 LU decomposition 등의 과정이 타당함올 확인하였다.
- 본 연구에서 제시된 속도-압력 분리 방법이 시간에 대해 2차의 정확도를 가짐을 확인하였다. 난류채널유동에 대한 직섭 수치 모사를 통해 본 수치 방법 의 결과 또한 유동을 제대로 예측함을 확인하였다. 완전 내재적 시간 전진방법을 사용하면서 모멘텀 방정식의 반복적인 계산 없이, 직접적으로 중간 단계의 속도 성분들올 구해내는 본 수치 방법은 계산량이 방대한 직접수치모사 (DNS)나 대형와모사 (LES) 를 이용한 난류유동의 수치해석에 효율적인 방법이라 할 수 있다.
- 0이다. 대류항의 내재적인 처리로 인하여 CFL 수가 2 이상인 경우에서도 안정한 해를 얻을 수 있음올 확인하였고, 应=0.05 (应%0.4)이내의 시간 간격으로 계산을 수행할 경우, 난류량을 제대로 예측함올 확인하였다.
- X, z 방향으로 주기성을 지니는 채널 유동에서는 3차원 포아송 형태의 압력 방정식이 X, z 방향으로의 푸리에 변환을 통해, 단지 >> 방향오로의 TDMA 형태로 변환되므로 반복적인 계산이 필요 없게 되고, 상대적으로 모멘텀 방정식에서 요구되는 계산 시간이 전체 계산 시간에서 큰 비율을 차지하게 된다. 따라서 모멘텀 방정식올 분리하여 계산하는 본 분리 방법이 매우 효율적인 방법임을 확인하였다.
- 05로 하여 soom, 동안 시간 전진을 하는 경우, 중간 단계의 속도를 구하는 과정과 전체적인 계산 과정에 대한 시간을 비교하였다. 본 연구에서 제시된 분리 방법을 사용할 경우, 반복적인 계산올 통하여 중간단계의 속도를 구하는 방법에 비해, 전체적인 계산 시간에서는 대략 75%의 계산 시간이 단축됨을 화인하였고 중간 단계의 속도를 구하는 모멘텀 방정식에서는 대략 80%의 계산 시간 단축을 확인하였다. X, z 방향으로 주기성을 지니는 채널 유동에서는 3차원 포아송 형태의 압력 방정식이 X, z 방향으로의 푸리에 변환을 통해, 단지 >> 방향오로의 TDMA 형태로 변환되므로 반복적인 계산이 필요 없게 되고, 상대적으로 모멘텀 방정식에서 요구되는 계산 시간이 전체 계산 시간에서 큰 비율을 차지하게 된다.
- Choi &Moin(1)의 결과와 거의 정확한 일치를 보이고 있으므로, 제시된 수치해석 방법이 복잡한 난류 유동의 해석에도 타당함올 알 수 있다. 본 연구에서 제시된 새로운 완전 내재적 분리방법으로서 난류 채널 유동의 직접 수치모사를 수행하여 타당한 결과를 얻었으며, 이로써 대류항의 선형화, 속도성분의 분리를 위한 계수행렬의 근사적인 LU decomposition 등의 과정이 타당함올 확인하였다.
- 각각의 모멘텀 방정식에서 내재적으로 결합되어 있는 속도 성분올 반복적인 계산을 통하여 구하는 기존의 방법과는 달리, 속도 성분들을 분리하여 각각 독립적으로 계산하는 계산 단계를 제시함으로써, 보다 효율적인 수치 방법을 고안하였다. 본 연구에서 제시된 속도-압력 분리 방법이 시간에 대해 2차의 정확도를 가짐을 확인하였다. 난류채널유동에 대한 직섭 수치 모사를 통해 본 수치 방법 의 결과 또한 유동을 제대로 예측함을 확인하였다.
- 1은 계산 시간 간격에 따른 최대 오차의 변화를 나타내고 있다. 속도 “, V 에 대해서 log-log 그래프에서 기울기가 2인 직선올 나타내므로, 본 수치 방법이 시간에 대해 2차의 정확도를 가짐을 확인할 수 있다.
- 난류채널유동에 대한 직섭 수치 모사를 통해 본 수치 방법 의 결과 또한 유동을 제대로 예측함을 확인하였다. 완전 내재적 시간 전진방법을 사용하면서 모멘텀 방정식의 반복적인 계산 없이, 직접적으로 중간 단계의 속도 성분들올 구해내는 본 수치 방법은 계산량이 방대한 직접수치모사 (DNS)나 대형와모사 (LES) 를 이용한 난류유동의 수치해석에 효율적인 방법이라 할 수 있다.
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