[논문]인공위성 카메라 주반사경의 위상최적화

박강수; 장수영; 이응식; 윤성기

doi:10.3795/ksme-a.2002.26.6.1194

문제 정의

본 논문에서는 위상최적화 기법을 이용하여 인공위성 탑재용 고해상도 카메라의 주반사경에 자중과 폴리싱 압력이 작용하여 변형이 발생하는 경우, 주반사경 자체의 구조 변형에 대한 상의 열화와 관련하여 강체모드를 제거한 광학면의 수직 변위에 대한 제곱 평균 근호값을 목적함수로 설정하여 최적설계를 수행하였다.
의해 시도되었다. 이 논문에서 저자는 경량화 및 고 강성화를 위한 주반사경 설계 방법을 제시하였다. Cho, Richard와 Vukobratovich(2)는 주반사경 광학면의 파면 오차를 최소화하고 주반사경을 지지하기 위한 최적의 지지점 위치를 설계기준으로 설정하여 자중이 작용하는 경우 최적의 경량화 주반사경 설계를 위한 절차와 방법을 제시하였다.
이 논문에서는 이러한 문제점을 해결하기 위한 방법으로 위상최적화 기법을 이용한 주반사경의 경량화 및 강성화 설계방법을 제안하고자 한다.
질량 제한조건 하에서 주반사경의 광학적 물성치와 밀접한 관계를 가지는 강체모드를 제거한 광학 면의 수직변위에 대해 제곱 평균 근호값을 최소화시키는 목적함수와 제한조건식을 고려한다. 목적함수는 3차원 유한요소해석으로부터 얻어지는 광학면 변형의 수직성분 중 강체모드를 뺀 나머지 변위에 대한 제곱 평균 근호값으로 설정하였다.

가설 설정

3과 같다. 광학면이 존재하는 주반사경의 위 판과 원주방향으로는 주반사경의 조립 혹은 다른 기능상의 이유로 설계변경이 불가능하므로 이를 비 설계영역으로 설정하였다.

제안 방법

다음으로 자중과 함께 제작시 광학면의 폴리싱 과정에서 작용하는 압력을 고려하여 질량비 22%에 대해 최적화를 수행하였다. 최적형상은 Fig.
또한 높이 방향으로의 요소들 간의 그룹화를 통해 주반사경의 높이 방향으로 동일한 설계변수를 갖도록 하였다. 따라서 높이 방향으로 설계변수 즉 밀도가 동일하게 존재한다고 설정하여 최적화 후 밀도 분포가 2차원적인 형상이 되도록 하였다. 이는 또한 일반적인 3차원의 위상최적화를 수행할 경우 발생하게 되는 제작성의 곤란을 해결하기 위해 제시된 방법이기도 하다.
해석하였다. 또한 높이 방향으로의 요소들 간의 그룹화를 통해 주반사경의 높이 방향으로 동일한 설계변수를 갖도록 하였다. 따라서 높이 방향으로 설계변수 즉 밀도가 동일하게 존재한다고 설정하여 최적화 후 밀도 분포가 2차원적인 형상이 되도록 하였다.
목적함수는 3차원 유한요소해석으로부터 얻어지는 광학면 변형의 수직성분 중 강체모드를 뺀 나머지 변위에 대한 제곱 평균 근호값으로 설정하였다.
반사경의 대칭성을 고려하여 실제로는 경계조건을 포함하여 전체모델의 1/6 부분만 따로 유한 요소로 모델링하여 해석하였다. 주반사경의 1/6 모델은 Fig.
세부적인 실행 방법으로는 우선 실제로 사용되고 있는 주반사경의 질량 제한조건을 바탕으로 하여 기준 질량비를 설정해 두고 이보다 작은 값을 가질 때와 큰 값을 가질 때를 선정하여 수렴 후의 결과를 비교하였다.
우선 자중에 관해서 질량비를 10%, 15%, 22%, 30%, 40%, 50%로 바꾸어 가면서 최적화 과정을 수행하였다. Fig.
에 의해 이루어졌다. 이 논문에서 저자들은 무한히 반복되는 사각형 구멍을 가지는 미시 구조를 도입하여 주어진 재료의 밀도와 탄성계수 사이의 관계를 구하는 균질화법을 도입하였으며, 이를 이용하여 주어진 경계조건과 하중 하에서 구조물의 강성을 최대로 하는 밀도 분포를 구하였다. Suzuki와 Kikuchi⁽⁵⁾는 Bendsoe와 Kikuchi(4)에 의해 도입된 균질화법을 개선하여 사용하였으며, Bendsoe⁽⁶⁾는 사각형 구멍을 가지는 미시 구조 대신에 두 차례에 걸친 적층으로 얻어지는 2차 적층 재료를 도입하였다.
일반적인 정적인 문제와는 다른 하중 특성을 가지는 자중과 제작에 관련된 폴리싱 압력에 대한 위상최적화를 통해 발생하게 되는 문제점을 보안하고 고려해야 할 사항들을 직접 주반사경의 해석에 적용하였다.
이는 또한 일반적인 3차원의 위상최적화를 수행할 경우 발생하게 되는 제작성의 곤란을 해결하기 위해 제시된 방법이기도 하다. 재료의 물성치 함수로 제안된 식으로 복합재료의 물성치 하한에 근거한 분수 함수식을 이용하였다.(9)
주반사경 광학면의 변형을 광학적인 오차, 즉 광학 수차(optical aberration)로 분석하기 위해 제르니케 다항식 분할과정을 거친다. 제르니케 다항식은 단위원 상에서 정의된다.
주반사경에 작용하는 자체 무게의 경량화와 동시에 목적함수인 제곱 평균 근호값을 감소시키기 위해 구조적 강성을 줄 수 있는 최적의 주반사경 형상을 도출하였다. 구조물의 재료 제한에 대한 최적의 밀도 분포를 고려했을 때 재료의 사용제한이 강할수록 재료는 구조물을 지지하는 부분에 대부분 존재하게 됨을 확인하였다.
최종적으로는 실제 주반사경에서 적용된, 질량비가 22%인 경우에 대한 최적 밀도 분포와 광학면의 변형 형상을 구하였다. 우선 자중에 관해 위상 최적화를 통한 형상을 도출하였고 다음으로 주반사경의 광학면에 평균 폴리싱 압력이 0.
Genberg와 Cormany(3)는 비선형 계획법을 이용하여 주반사경 경량화를 위한 최적설계를 수행하였다. 치수 최적화를 통해 먼저 주반사경의 후 판에 사용될 코어의 최적 두께를 결정하고 여기서 얻어진 코어의 최적 배치를 찾는 형상 최적화를 수행하였다.

대상 데이터

주반사경의 3차원 변형 해석에서 사용된 요소는 8절점 선형 요소이며 요소의 수를 10080개로 하여 해석하였다. 또한 높이 방향으로의 요소들 간의 그룹화를 통해 주반사경의 높이 방향으로 동일한 설계변수를 갖도록 하였다.

이론/모형

따라서 극좌표계를 사용하면 용이하게 표현할 수 있고 원주방향 삼각함수와 반경방향의 다항식의 곱으로 표현된다. 본 논문에서의 제르니케 다항식은 놀(Noll)의 직교화 방법을 이용한 다항식이다.⁽¹¹⁾
⁽¹⁰⁾ Ma, Kikuchi와 Hagiwara⁽¹⁰⁾는 이동 변수를 도입하여 라그랑지안 함수를 내부적으로 변형한 후 라그랑지안 함수가 각 축차과정에서 항상 볼록하도록 근사화하는 과정과 이 중 방법(dual method)을 도입하여 새 알고리듬을 제안하였다. 본 연구에서는 Ma, Kikuchi와 Hagiwara⁽¹⁰⁾에 의해 제안된 알고리듬을 이용하였다.
주반사경의 후 판에 대한 위상 최적화를 위해 수행되어야 할 연속체 구조물의 위상최적화는 Bendsoe와 Kikuchi⁽⁴⁾에 의해 이루어졌다. 이 논문에서 저자들은 무한히 반복되는 사각형 구멍을 가지는 미시 구조를 도입하여 주어진 재료의 밀도와 탄성계수 사이의 관계를 구하는 균질화법을 도입하였으며, 이를 이용하여 주어진 경계조건과 하중 하에서 구조물의 강성을 최대로 하는 밀도 분포를 구하였다.

성능/효과

(4) 이런 문제를 해결하기 위해 첫 접근 방법으로 복합 재료의 개념을 도입하여 요소 내에 재료가 일부만 존재하는 상태를 포함시켜 요소 내의 지시 함수가 0과 1사이의 값을 연속적으로 가질 수 있도록 완화시켰다. 여기서 복합재료라는 것은 차 있는 재료와 빈 공간으로 이루어진 재료를 의미한다.
도출하였다. 구조물의 재료 제한에 대한 최적의 밀도 분포를 고려했을 때 재료의 사용제한이 강할수록 재료는 구조물을 지지하는 부분에 대부분 존재하게 됨을 확인하였다. 또한 광학면에 작용하는 폴리싱 압력에 대해 주반사경의 가운데 부분으로 재료분포가 존재함을 알 수 있었다.
구조물의 재료 제한에 대한 최적의 밀도 분포를 고려했을 때 재료의 사용제한이 강할수록 재료는 구조물을 지지하는 부분에 대부분 존재하게 됨을 확인하였다. 또한 광학면에 작용하는 폴리싱 압력에 대해 주반사경의 가운데 부분으로 재료분포가 존재함을 알 수 있었다. 자중과 폴리싱 압력을 고려하였을 때 경량화주반사경이 광학면의 변형을 줄일 수 있는 최적 형상으로부터 개선된 광학적인 특성을 얻을 수 있었다.
변형 형상을 구하였다. 우선 자중에 관해 위상 최적화를 통한 형상을 도출하였고 다음으로 주반사경의 광학면에 평균 폴리싱 압력이 0.2068 kPa(0.3psi)로 작용하는 경우 최적 형상을 얻었다. 여기서 주반사경의 광학면에 작용하는 폴리싱 압력은 현재 인공위성에 장착되어 있는 인공위성용 카메라 주반사경의 반사면을 지상에서 제작할 때 적용되는 실제 압력을 고려한 값이다.
또한 광학면에 작용하는 폴리싱 압력에 대해 주반사경의 가운데 부분으로 재료분포가 존재함을 알 수 있었다. 자중과 폴리싱 압력을 고려하였을 때 경량화주반사경이 광학면의 변형을 줄일 수 있는 최적 형상으로부터 개선된 광학적인 특성을 얻을 수 있었다. 마지막으로 이러한 위상최적화 방법이 인공위성 카메라의 주반사경 뿐만 아니라 다른 광학 부품의 경량화 설계에도 적용 가능하다고 판단된다.

후속연구

자중과 폴리싱 압력을 고려하였을 때 경량화주반사경이 광학면의 변형을 줄일 수 있는 최적 형상으로부터 개선된 광학적인 특성을 얻을 수 있었다. 마지막으로 이러한 위상최적화 방법이 인공위성 카메라의 주반사경 뿐만 아니라 다른 광학 부품의 경량화 설계에도 적용 가능하다고 판단된다.

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