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문제 정의
- 지구물리 역산은 대부분의 경우 불안정성을 내포하고 있으므로 이와 같은 점을 개선하고자 라그랑지 곱수를 사용하여 역산에 의하여 계산되는 해에 제한을가하고자 한다. 제한 조건의 부가 정도는 라그랑지 곱수의 크기로 정의 되며, 많은 경우 최적의 라그랑지 곱수의 값을 정하는 것이 역산의 분해능을 좌우하는 요소로서 작용한다.
제안 방법
- 본 연구에서는 Constable et al.(1987)이 제시한 바와같이 역산과정에 있어서 각 반복횟수 마다 라그랑지곱수의 값을 변화 시키면서 최소자승근 오차가 가장 적은 최적의 라그랑지 곱수를 선택하여 역산의 분해능을 향상시키는 방법으로 제안하였다. 최적의 라그랑지곱수는 로그 공간 내에서 일정 비율의 간격을 가진 3점의 라그랑지 곱수에 대한 최소자승근 오차를 2차 포물선 방정 식으로 이용하여 오차의 최소값으로 나타나는 지점의 값이다(Fig.
- Fig, 3. Plan, section, and 3-D views of a model to generate synthetic data for investigating the effect of irregular topography. A 3-D body of 5 ohm-m and a 10 ohm-m dyke exist in the middle part of the model.
- 식 ⑴을 그린 정리(Green's theorem)로 이용하여 3차원 영역에서의 면적분 값은 포텐셜 φ(x, y, z)이 연속적이어야 한다. 그러므로 경계 조건에서 지표의 경우에는 Neumann 조건에 의하여 포텐셜의 직교 미분이 0이 되며, 무한거리의 인위적인 경계면은 혼합경계조건(mixed boundary condition)으로 설정하였다.
- , 1980). 그러므로 불규칙한 지형에 대한 효과를 포함한 해석은 지형기복에 따라 유한요소의 격자망을 변형하는 방식으로 하였다.
- 역산 방법은 선정된 3점의 라그랑지 곱수들에 대한 최소자승근 오차를 2차 포물선 방정식에 이용하여 오차가 최소로 되는 최적의 라그랑지 곱수를 찾는 방식으로 하였다. 또한 본 연구에서는 역산과정에서 모델 변수 갱신이 너무 지나치게 이루어지지 않도록 제한하는 방법을 사용하였다.
- 자료 획득으로는 3차원 유한요소법을 이용한 모델링에서 전체 6개 측선에서 570개의 겉보기 비저항 자료를 얻었다. 모델 블록은 X, y 방향에 대하여 4개의 절점을 한 개의 블록으로 하여 전체 16×11(=176)개로 나누었으며, z 방향에 대하여 6개 블록으로 감도가 큰 천부의 경우에 역산 블록의 크기를 작게 설정하였으며 감도의 정도가 낮은 심부의 경우에 블럭의 크기를 크게 하였다.
- 하였다. 모델에서의 측정 방법은 쌍극자 배열의 측선 수를 6개, 각 측선에 대한 전극 개수를 16개로 전체 96개의 전극으로 각 측선마다 n을 10까지로 하였다. 또한 각 측선의 간격은 8개의 절점 간격으로 동일하게 배열하였으며, 각 전극 간격이 4의 절점 간격으로 하여 각 측선마다 64개의 절점을 이용하였다.
- 본 연구에서는 Fig.3에서 제시하는 모형에 대하여 지형의 기복을 포함하여 얻어진 이론자료를 가지고 역산에서 균질모형에 대한 지형 기복을 무시한 효과, 전도성 이상체를 포함한 모형에서 지형의 기복을 무시한 효과 및 지형 기복을 포함하여 얻어진 결과를 비교하였다. 균질모형에서 지형의 기복을 무시하여 얻어진 역산 결과는 전반적으로 지형의 기복에 따른 전기비저항의 영상들로 제시되었다.
- 전기비저항 탐사에 있어서 지형 효과에 대한 해석은 지형 기복을 포함한 이론 자료를 가지고 역산 과정에서 균질모형에 대한 지형기복을 무시한 효과, 전도성 이상체를 포함한 모형에서 지형 기복을 무시한 효과 및 지형 기복을 포함한 효과를 비교하여 지형에 의한 전기비 저항의 왜곡된 영상들을 파악하여 보았다.
- 지형 효과를 포함하여 구성된 요소들은 육면체를 5개의 사면체로 분활하여 각 절점에 대한 미지함수인 포텐셜값을 계산하도록 하였다. 지형 효과에 대한 해석은 지형 기복을 포함한 이론 자료를 가지고 역산과정에서 균질모형에 대한지형기복을 무시한 효과, 전도성 이상체를 포함한모형에서 지형 기복을 무시한 효과 및 지형 기복을 포함한 효과를 비교하여 지형에 의한 전기비저항의 왜곡된 영상들을 파악하여 보았다.
- 지형 효과를 포함하여 구성된 요소들은 육면체를 5개의 사면체로 분활하여 각 절점에 대한 미지함수인 포텐셜값을 계산하도록 하였다. 지형 효과에 대한 해석은 지형 기복을 포함한 이론 자료를 가지고 역산과정에서 균질모형에 대한지형기복을 무시한 효과, 전도성 이상체를 포함한모형에서 지형 기복을 무시한 효과 및 지형 기복을 포함한 효과를 비교하여 지형에 의한 전기비저항의 왜곡된 영상들을 파악하여 보았다. 역산 방법은 선정된 3점의 라그랑지 곱수들에 대한 최소자승근 오차를 2차 포물선 방정식에 이용하여 오차가 최소로 되는 최적의 라그랑지 곱수를 찾는 방식으로 하였다.
대상 데이터
- 모델 블록은 Fig. 3에서 제시하는 모형으로 배경치가 100 ohm-m의 균질한 전기비저항을 갖는모형에 대하여 5 ohm-m와 y 방향으로 주향을 갖는 10 ohm-m 전도성 블록들로 구성된다. 이러한 모델 블록에 대하여 역산에서는 전기비저항 블록을 16×11×6(=1,056)개로 나누었으며, 200 ohm-m의 전기비저항 값을 초기모델에 이용 하였다.
- 본 연구에는 지표가 불규칙한 지형을 가진 3차원 모델을 77×57×30(=131,670)개의 유한요소 절점들로 구성 하였다. 모델에서의 측정 방법은 쌍극자 배열의 측선 수를 6개, 각 측선에 대한 전극 개수를 16개로 전체 96개의 전극으로 각 측선마다 n을 10까지로 하였다.
- 3). 자료 획득으로는 3차원 유한요소법을 이용한 모델링에서 전체 6개 측선에서 570개의 겉보기 비저항 자료를 얻었다. 모델 블록은 X, y 방향에 대하여 4개의 절점을 한 개의 블록으로 하여 전체 16×11(=176)개로 나누었으며, z 방향에 대하여 6개 블록으로 감도가 큰 천부의 경우에 역산 블록의 크기를 작게 설정하였으며 감도의 정도가 낮은 심부의 경우에 블럭의 크기를 크게 하였다.
이론/모형
- Sasaki(1992)는 라그랑지 곱수들의 변화에 대한 rms 잔여의 변화를 파악한 바, 최적의 라그랑지 값에 대한 선택의 중요함을 제시 하였다. 모델 보정의 크기와 평활함을 조절하는 Marquardt 제한자의 가중치는 이로 하였다. 이러한 가중치는 대각선행렬에 곱하여져 계산이 된다.
- 본 연구에서는 수치적 모델링에서 유한요소법을 이용하였다. 지형 효과를 포함하여 구성된 요소들은 육면체를 5개의 사면체로 분활하여 각 절점에 대한 미지함수인 포텐셜값을 계산하도록 하였다.
- 비선형 최소자승 역산은측정자료와 이론모델 반응치의 차에 대한 목적함수를 최소화하는 방식으로 얻어지며, 전기전도도로 구성된 블록의 모델 변수 벡터를 최적화하기 위하여 모델 블록의 전기비저항에 관한 측정자료의 미분법을 사용한다. 즉, i차 쌍극자 배열의 전류전극과 전위전극에 대한 모델링 반응값 ρa(i,m)은 비선형 벡터함수로 초기 모델 변수벡터 m0에 접근한 모델 변수벡터 m에 대한 응답을 Taylor 급수로 전개하여 그 중에서 1차 항까지 이용하여 선형화하면 다음과 같이 제시할 수 있다.
- 지형 효과에 대한 해석은 지형 기복을 포함한 이론 자료를 가지고 역산과정에서 균질모형에 대한지형기복을 무시한 효과, 전도성 이상체를 포함한모형에서 지형 기복을 무시한 효과 및 지형 기복을 포함한 효과를 비교하여 지형에 의한 전기비저항의 왜곡된 영상들을 파악하여 보았다. 역산 방법은 선정된 3점의 라그랑지 곱수들에 대한 최소자승근 오차를 2차 포물선 방정식에 이용하여 오차가 최소로 되는 최적의 라그랑지 곱수를 찾는 방식으로 하였다. 또한 본 연구에서는 역산과정에서 모델 변수 갱신이 너무 지나치게 이루어지지 않도록 제한하는 방법을 사용하였다.
- 이러한 행렬방정식은 지배방정식에 대한 블록의 형상과 전기 전도도의 함수로 나타난다. 행렬 방정식의 해법은 3차원의 경우 직접법보다 컴퓨터 용량이 작게 필요로 하는 반복법이 유리하므로 그 중에서 비교적수렴속도가 빠른 ICCG (Incomplete Cholesky Conjugate Gradient; Dey and Morrison, 1979) 법으로하였다.
성능/효과
- 7은 지형효과를 무시한 결과와 포함한 경우의 반복과정마다 얻어진 최적의 라그랑지 곱수에 대한 최소자승근 오차의 관계를 나타내고 있다. 6번의 반복 역산과정 에서 얻은 라그랑지 곱수에 대 한 최소자승근 오차의 관계는 지형효과를 포함한 경우에서 7.6%, 지형효과를 무시한 경우에서 34.4%를 나타냈다. 즉, 역산과정 에서 지형 효과를 포함한 경우는 지형 효과를 무시한 경우 보다 최소자승근 오차가 훨씬 적게 나타났으며, 또한 신속하게 수렴하는 것을 알 수 있다.
- 4%를 나타냈다. 즉, 역산과정 에서 지형 효과를 포함한 경우는 지형 효과를 무시한 경우 보다 최소자승근 오차가 훨씬 적게 나타났으며, 또한 신속하게 수렴하는 것을 알 수 있다.
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