[논문]적응거리 조건을 이용한 순차적 실험계획의 민감도법

정재준; 이태희

doi:10.3795/ksme-a.2005.29.9.1217

문제 정의

따라서 본 연구에서는 기존의 민감도법이 가지는 문제점을 해결하고, 다양한 함수의 근사화에서도 강건한 결과를 제공하기 위해 적응거리 조건을 이용한 민감도법을 제안한다. 공학문제의 다양한 특성을 반영할 수 있는 비선형 함수들을 검증함수로 채택하여 샘플링 개수에 따라 제안된 민감도 방법을 평균제곱오차 방법, 최소거리최대화 방법과 비교한다.
간단하게 표현한 근사모델이다. 메타모델의 목적은 최적설계 과정에서 긴 해석 시간이 소요되는 해석 모델을 대체함으로써 전체적인 최적 설계과정의 효율을 높이는 것이다. 메타모델과 관련된 핵심 연구 내용은, 좋은 메타모델을 얻기 위해서는 어떻게 샘플들을 선택해야 하는가, , , 정확한 메타모델은 어떤 것인가, , '메타모델의 정확성을 어떻게 판단할 것인가, 라는 세 가지 문제로 분류할 수 있다.

제안 방법

공학문제의 다양한 특성을 반영할 수 있는 비선형 함수들을 검증함수로 채택하여 샘플링 개수에 따라 제안된 민감도 방법을 평균제곱오차 방법, 최소거리최대화 방법과 비교한다. 각각의 샘플링 방법으로 생성한 메타모델을 이용하여 최적화를 수행하고 최적해의 정확성을 비교함으로써 제안된 민감도 방법의 우수성을 검증한다.
따라서 수정 민감도법에서는 평균제곱오차 방법을 최소거리최대화 방법으로 대체하였다.
메타모델의 최적화 결과와 실제 최적해의 거리를 최적해의 정확성을 평가하는 기준으로 채택하였다.
민감도 방법에서는 샘플점들을 추가하는 매 단계마다 메타모델의 극점이 중복적으로 선택되는 것을 방지하기 위해 기존 샘플점과 일정거리를 유지하고 있는 극점들을 선별하는 거리조건을 사용하였다. 거리조건 d, 은 기존의 민감도 방법에서 설계영역의 10~20% 사이의 값으로 초기에 결정하였다.
중요한 인자이다. 본 연구에서는 샘플점들을 0 과 1 사이의 영역으로 정규화 한 뒤, 이것을 다시 한번 샘플점과 응답의 평균 및 표준편차로 정규화하여 크리깅 모델을 생성하였다. 따라서 다양한 함수들에 대해서 샘플링과 응답값들은 일정한 범위를 형성하기 때문에 경험적으로 도출된 상관 파라미터의 범위를 설정하는 것이 가능하다.
수정 민감도법에서는 이러한 문제를 해결하기 위해 메타모델의 응답과 민감도를 이용하여 다수의 시작점에서 각각 민감도기반 최대최적화와 최소최적화를 수행하는 방식을 채택하였다.
적응 거리 조건을 이용한 순차적 실험 계획법의 민감 도법을 제안하였다. 다양한 공학문제의 특성을 반영하는 쳐증함수들에 대해 제안된 순차적 실험계획법과 成균제곱오차 방법 그리고 최소거리 최대화 방법을 서로 비교하였다.
지금까지는 일반적으로 행해지는 오차비교 방법을 통해 민감도 방법, 평균제곱오차 방법, 최소거리 최대화 방법을 비교하였다. 하지만 메타모델의 궁극적인 목적이 최적설계과정에서 시뮬레이션 모델을 대체하는 것이므로 메타모델을 이용하여 구해진 최적화 결과의 정확성이 각 방법의 우수성을 검증하는 중요한 비교기준으로 사용되어야 한다.
초기 샘플링 방법 및 샘플링 개수는 순차적 실험계획법의 최종 결과에 직접적인 영향을 미칠 수 있기 때문에 최소거리최대화 방법의 특성을 유지하고 각 순차적 실험계획법의 특성을 최대한 발휘하도록 하기 위해서 9 개의 격자배열(grid sampling) 방법을 채택하였다.

데이터처리

민감도법을 제안한다. 공학문제의 다양한 특성을 반영할 수 있는 비선형 함수들을 검증함수로 채택하여 샘플링 개수에 따라 제안된 민감도 방법을 평균제곱오차 방법, 최소거리최대화 방법과 비교한다. 각각의 샘플링 방법으로 생성한 메타모델을 이용하여 최적화를 수행하고 최적해의 정확성을 비교함으로써 제안된 민감도 방법의 우수성을 검증한다.
제안하였다. 다양한 공학문제의 특성을 반영하는 쳐증함수들에 대해 제안된 순차적 실험계획법과 成균제곱오차 방법 그리고 최소거리 최대화 방법을 서로 비교하였다. 그 결과, 메타모델의 전역적인 정확성 면에서 제안된 방법이 다른 두 방법보다 전반적으로 우수한 메타모델을 생성할 수 있는 실험계획법임을 검증하였다.
마지막으로 순차적 실험계획법의 민감도 방법에서 메타모델의 극점이 없는 경우와 탐색된 극점이 기존의 극점과 일치하는 경우는 평균 제곱 오차를 최대로 하는 해석점 를 추가하였다. 그러나 평균 제곱 오차는 해석점의 개수가 적은 경우 메타모델의 부정확성으로 인해 설계영역의 경계에 과도하게 해석점을 분포시키는 경향이 있다.
메타모델의 정확성은 3600 개의 격자 배열 샘플 링 점에서 실제값과 메타모델의 값을 비교함으로 써 평가하였다. 사용된 오차 비교 방법은 다음과 같은 평 균제 곱근오차와 최대 오차이다.
본 연구에서는 제안된 민감도법의 우수성을 검증하기 위해 다양한 특성을 가진 수학함수들에 대해서 평균제곱오차 방법, 최소거리최대화 방법의결과와 비교하였다.

이론/모형

본 연구에서는 민감도 방법을 구현하기 위해 다양한 메타모델 중에서 비선형성이 강한 함수에 대해서 좋은 예측성능을 가진 크리깅모델을 사용하였다.
초기의 충진실험계획법은 응답정보를 이용하지 않고 모든 해석점 들을 한번에 결정 하는, 한 단계 (one stage)' 방식을 사용하였다. 그 결과, 메타모델의 예측성능이 좋지 않을 경우 해석점의 변경 및 메타모델의 재생성이 용이하지 않았다.

성능/효과

지금까지 제안된 순차적 실험계획법으로는 크리깅모델의 예측오차를 이용하는 평균 제곱 오차(mean squared error: MSE)방법 , (1) 기 존 해 석 점 들과의 최소거리를 최대로하는 해석점을 추가하는 최소거리 최대화(maximin distance)방법, '少 엔트로피를 가장 크게 하는 점을 순차적으로 찾아나가는 엔트로피(entropy) 방법, °)설계영역의 적분평균제곱오차 (integrated mean squared error)를 최대로 하는 해석점들을 추가하는 적분평균제곱오차 방법 등이 있다.(4) 이러한 순차적 실험계획법은 한번에 모든 해석 점을 결정하는 큰 최적화 문제를 하나 또는 적은 수의 해석점 집 합을 결정 하는 작은 문제로 변환함으로써 계산비용을 현저히 줄일 수 있다는 장점이 있다.
Six-hump camelback 함수에 대해서는 전반적으로 최소거리최대화 방법이 최적해를 가장 정확하게 예측하는 것을 알 수 있다.
stage)' 방식을 사용하였다. 그 결과, 메타모델의 예측성능이 좋지 않을 경우 해석점의 변경 및 메타모델의 재생성이 용이하지 않았다. 또한 최적화 과정이 필요한 일부의 충진실험계획법은 샘플링 수가 많을 경우 최적화 비용이 많이 드는 문제점이 있다.
다양한 공학문제의 특성을 반영하는 쳐증함수들에 대해 제안된 순차적 실험계획법과 成균제곱오차 방법 그리고 최소거리 최대화 방법을 서로 비교하였다. 그 결과, 메타모델의 전역적인 정확성 면에서 제안된 방법이 다른 두 방법보다 전반적으로 우수한 메타모델을 생성할 수 있는 실험계획법임을 검증하였다. 다만 극점이 아니면서 함수값 변화가 큰 영역을 갖는 함수들에 대해서는 민감도 방법이 메타모델의 국부적인 오차를 다소 크게 발생시키는 것으로 나타났다.
대부분의 검증함수에 대해서 민감도 방법이 가장 전역적인 정확성이 뛰어난 것으로 나왔다. 하지만 국부적인 정확성에 있어서는 Branin 함수에 대해서 평균제곱오차 방법과 최소거리최대화방법보다 큰 오차를 가지는 것으로 나왔다. 이러한 이유는 민감도 방법의 특성 상, 응답 변화가 큰 영역이라 할지라도 그 영역이 극점이 아니면 적은 샘플점들이 분포되므로 이러한 영역에서는 국부적인 오차가 클 수 있기 때문이다.
다만 극점이 아니면서 함수값 변화가 큰 영역을 갖는 함수들에 대해서는 민감도 방법이 메타모델의 국부적인 오차를 다소 크게 발생시키는 것으로 나타났다. 하지만 적응 거리 조건을 이용한 민감도 방법은 최적해 주위에 보다 많은 샘플점들을 분포시킴으로써 최적해의 정확성 보장할 수 있는 우수한 샘플링 방법임을 보였다.
하지만 전반적으로 민감도 방법이 다른 두 방법보다 최적해의 예측성능면에서 우수한 성능을 발휘하는 것으로 나타났다.

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