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문제 정의
- 현행 미분과 적분 교과서와 같은 맥락에서 제시될 수 있는 다른 증명방법들은 원의 넓이를 사용하지 않고 삼각함수의 미분을 구함으로 써 순환논법을 형식상 드러나지 않도록 하고 있으나 이 증명들은 다시 기하학적 직관에 의 존하고 있었다. 결국, 이 순환논법은 완비순서 체와 극한에 대한 엄밀한 정의를 바탕으로 하는 현대수학의 방법 하에서 비로소 해결될 수 있음을 살펴보았다.
- 본 논문에서는 학교수학에서 발견되는 순환 논법의 예로서, 원의 넓이공식 증명 과정에서 의 순환논법을 제시하고 수학적으로 분석하였 다. 이 과정은 원의 넓이를 가정하고 원의 넓이를 구한다는 점에서 순환논법을 이루고 있었 다.
- 또한 원의 넓이에 대한 고 대 그리스 수학자 아르키메데스의 증명을 이 순환논법과 관련하여 살펴보고, 특히 그가 이 증명에서 공리로 삼은 원리를 고찰하여 국소적 조직화 활동의 의미와 가치에 대한 시사점을 찾는다. 이러한 고찰을 바탕으로 학교수학에서 순환논법과 공리화의 문제를 교육내용으로서 다루는 것의 가능성과 의미를 간략히 논의하고자 한다.
- 그러나 학교수학에서 순환논법의 구체적인 실례를 발견하여 분석하고, 여러 가지 증명방법을 비교하는 것은 그 명제의 내용과 증명과 정에 대한 논의구조를 풍부히 함으로써 교과내 용에 대한 깊은 이해를 제공한다는 점에서 현장 교사와 연구자들에게 의미가 있을 것이며, 그 논의 결과는 학생들에게 수학의 학문적 특 성으로서 순환논법과 공리화의 문제를 소개하는 수업 주제로 활용될 수 있을 것이라 기대된다. 이러한 관점에서, 본 논문에서는 고등학교 미분과 적분 교과서를 검토하여 원의 넓이공식 유도과정 속의 순환논법을 발견하고, 이를 수학적으로 분석한다. 또한 원의 넓이에 대한 고 대 그리스 수학자 아르키메데스의 증명을 이 순환논법과 관련하여 살펴보고, 특히 그가 이 증명에서 공리로 삼은 원리를 고찰하여 국소적 조직화 활동의 의미와 가치에 대한 시사점을 찾는다.
- 그러나 미적분학의 기본정리를 통한 정 적분의 일반적인 계산법을 다룬 이후에 그 응 용문제로서 원의 넓이를 제시하고 있는 현행 교과서의 맥락에 비추어, 아르키메데스의 증명을 교과서의 증명과 같은 선상에서 비교하는 것은 적당하지 못할 것이다. 이에, 여기서는 원 의 넓이와 관련하여 교과서와 같은 맥락에서 제시할 수 있는 다른 증명들을 소개하고 현행 교과서의 증명과 비교함으로써 학교수학에서 순환논법과 공리화의 문제를 어떻게 받아들여야 할 것인가에 대해 간략히 논의하고자 한다.
- 학교수학 내에서의 이러한 분석에 이어, 엄밀하게 전개되는 현대수학의 방법을 이용한다 면 어떻게 순환논법의 문제를 피하여 원의 넓이를 다룰 수 있는지 고찰하고자 한다.
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