한국의 지질 환경은 암석 분포가 매우 다양하고 복잡한 구조 활동의 영향을 받아 지하매질의 이방성 특성이 국부적으로 심하게 변화한다. 기존의 이방성 주시 모델링의 경우 지질 모델을 2차원으로 단순화시킴으로써 이러한 복잡한 지질 환경을 제대로 고려할 수 없었다. 또한 약 이방성 가정을 사용하여 실제로 나타날 수 있는 지하 매질의 심각한 이방성 영향을 주시 모델링에서 고려할 수 없었다. 이에 이 연구에서는 보다 실제적이고 복잡한 3차원 횡등방성 매질(transversely isotropic media)에서 q-P파의 초동 주시 양상을 모사할 수 있는 주시 모델링 알고리듬을 개발하였다. 이 알고리듬에서는 2차원 비선형 주시 내삽(2D nonlinear traveltime interpolation) 기법과 주시의 3차원 격자 채움법(mapping)을 이용한 직접 전파법(direct calculation)을 통해 급격한 물성의 변화에도 주시 계산이 가능하도록 하였다. 또한, 최소 주시 계산과정에서 수치 미분을 통한 최대 경사법(steepest descent method)을 사용하여 약 이방성 가정을 극복하였다. 개발된 알고리듬은 해석해와 비교하여 그 타당성을 검증하였고 3차원 2층구조에 대한 주시 계산을 수행하여 물성이 급격히 변화하는 모델에 대해서도 안정적으로 주시 계산이 이루어짐을 확인하였다. 이 연구에서 개발한 3차원 주시 모델링 알고리듬은 향후 구조보정이나 토모그래피 알고리듬 개발에 사용될 수 있을 것으로 기대한다.
한국의 지질 환경은 암석 분포가 매우 다양하고 복잡한 구조 활동의 영향을 받아 지하매질의 이방성 특성이 국부적으로 심하게 변화한다. 기존의 이방성 주시 모델링의 경우 지질 모델을 2차원으로 단순화시킴으로써 이러한 복잡한 지질 환경을 제대로 고려할 수 없었다. 또한 약 이방성 가정을 사용하여 실제로 나타날 수 있는 지하 매질의 심각한 이방성 영향을 주시 모델링에서 고려할 수 없었다. 이에 이 연구에서는 보다 실제적이고 복잡한 3차원 횡등방성 매질(transversely isotropic media)에서 q-P파의 초동 주시 양상을 모사할 수 있는 주시 모델링 알고리듬을 개발하였다. 이 알고리듬에서는 2차원 비선형 주시 내삽(2D nonlinear traveltime interpolation) 기법과 주시의 3차원 격자 채움법(mapping)을 이용한 직접 전파법(direct calculation)을 통해 급격한 물성의 변화에도 주시 계산이 가능하도록 하였다. 또한, 최소 주시 계산과정에서 수치 미분을 통한 최대 경사법(steepest descent method)을 사용하여 약 이방성 가정을 극복하였다. 개발된 알고리듬은 해석해와 비교하여 그 타당성을 검증하였고 3차원 2층구조에 대한 주시 계산을 수행하여 물성이 급격히 변화하는 모델에 대해서도 안정적으로 주시 계산이 이루어짐을 확인하였다. 이 연구에서 개발한 3차원 주시 모델링 알고리듬은 향후 구조보정이나 토모그래피 알고리듬 개발에 사용될 수 있을 것으로 기대한다.
Due to the long tectonic history and the very complex geologic formations in Korea, the anisotropic characteristics of subsurface material may often change very greatly and locally. The algorithms commonly used, however, may not give sufficiently precise computational results of traveltime data part...
Due to the long tectonic history and the very complex geologic formations in Korea, the anisotropic characteristics of subsurface material may often change very greatly and locally. The algorithms commonly used, however, may not give sufficiently precise computational results of traveltime data particularly for the complex and strong anisotropic model, since they are based on the two-dimensional (2D) earth and/or weak anisotropy assumptions. This study is intended to develope a three-dimensional (3D) modeling algorithm to precisely calculate the first arrival time in the complex anisotropic media. Considering the complex geology of Korea, we assume 3D TTI (tilted transversely isotropy) medium having the arbitrary symmetry axis. The algorithm includes the 2D non-linear interpolation scheme to calculate the traveltimes inside the grid and the 3D traveltime mapping to fill the 3D model with first arrival times. The weak anisotropy assumption, moreover, can be overcome through devising a numerical approach of the steepest descent method in the calculation of minimum traveltime, instead of using approximate solution. The performance of the algorithm developed in this study is demonstrated by the comparison of the analytic and numerical solutions for the homogeneous anisotropic earth as well as through the numerical experiment for the two layer model whose anisotropic properties are greatly different each other. We expect that the developed modeling algorithm can be used in the development of processing and inversion schemes of seismic data acquired in strongly anisotropic environment, such as migration, velocity analysis, cross-well tomography and so on.
Due to the long tectonic history and the very complex geologic formations in Korea, the anisotropic characteristics of subsurface material may often change very greatly and locally. The algorithms commonly used, however, may not give sufficiently precise computational results of traveltime data particularly for the complex and strong anisotropic model, since they are based on the two-dimensional (2D) earth and/or weak anisotropy assumptions. This study is intended to develope a three-dimensional (3D) modeling algorithm to precisely calculate the first arrival time in the complex anisotropic media. Considering the complex geology of Korea, we assume 3D TTI (tilted transversely isotropy) medium having the arbitrary symmetry axis. The algorithm includes the 2D non-linear interpolation scheme to calculate the traveltimes inside the grid and the 3D traveltime mapping to fill the 3D model with first arrival times. The weak anisotropy assumption, moreover, can be overcome through devising a numerical approach of the steepest descent method in the calculation of minimum traveltime, instead of using approximate solution. The performance of the algorithm developed in this study is demonstrated by the comparison of the analytic and numerical solutions for the homogeneous anisotropic earth as well as through the numerical experiment for the two layer model whose anisotropic properties are greatly different each other. We expect that the developed modeling algorithm can be used in the development of processing and inversion schemes of seismic data acquired in strongly anisotropic environment, such as migration, velocity analysis, cross-well tomography and so on.
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문제 정의
이 연구에서는 3차원 불균질 횡등방성 매질에서의 탄성파 주시 모델링 알고리듬을 개발하였다. 개발된 알고리듬은 직접 전파법을 사용하여 급격한 물성 변화에 대해서도 안정적으로 주시 계산이 가능하도록 하였는데 이를 위해 2차원 비선형 주시 내삽법과 3차원 주시 격자 채움법을 제안하였다.
이 연구에서는 Schneider et al. (1992)의 2차원 주시 모델링에서 사용된 비선형 내삽 방법을 기본으로 하여 3차원 주시 모델링을 위한 주시계산 알고리듬을 개발하였다. 설명의 편의를 위해 주시 계산에 대한 예는 Fig.
가설 설정
(a) 송신 격자점으로부터 인접한 격자점에 대해 직선 파선으로 가정하여 주시를 계산한다. 송신점을 둘러싸는 육면체 격자수는 8개, 그리고 이들은 27개의 격자점으로 정의된다.
1과 같이 y 축 방향으로 전파하는 경우에 대해 설명한다. y = yi 평면상의 모든 격자점의 초기도달주시가 계산되어 있다고 가정하자. 이 가정에 의해 주시 계산 문제는 y = yi 평면상의 초기도달주시로부터 y = yi 평면에 인접하는 격자면인)= * 평면상의 격자점 도달 주시를 계산하는 문제로 귀착된다.
이 연구에서의 대상 매질이 이방성이므로 식 (3)에서 군속도 Vg는 이방성을 고려하여 표현되어야 한다. 이 연구에서 대상 매질을 횡둥방성매질로 가정하고 군속도값은 q-P파의 위상속도식으로부터 도출하였다. Thomsen (1986)에 의해 이방성 계수 α0, β0, ε, δ*로 구성된 위상속도식은 다음과 같다.
제안 방법
(2004)이 고안한 횡등방성매질에서의 2차원 초동주시 계산 알고리듬을 3차원으로 확장하여 복잡한 3차원 이방성 매질에 대한 주시 계산 알고리듬을 개발하였다. 개발된 알고리듬은 급격한 물성 변화에도 안정적으로 주시 계산을 수행하기 위해 직접 전파법(direct calculation)을 사용하였는데 이 방법은 2차원 비선형 내삽과 3차원 격자채움(mapping)법으로 구성된다. 2차원 비선형 내삽법은 4개의 격자점 내부의 임의의 점에 대한 주시를 계산하는 방법으로 Kumar et al.
모델링 알고리듬을 개발하였다. 개발된 알고리듬은 직접 전파법을 사용하여 급격한 물성 변화에 대해서도 안정적으로 주시 계산이 가능하도록 하였는데 이를 위해 2차원 비선형 주시 내삽법과 3차원 주시 격자 채움법을 제안하였다. 또한, 약 이방성 근사를 사용하지 않고 위상 속도식을 그대로 사용함으로써 약이방성 매질이 아닌 일반적인 횡등방성 매질에서도 정확한 주시 계산이 가능하도록 하였다.
개발된 알고리듬을 검증하기위해 균질 TTI 모델에 대해 수치실험을 수행하였다. 격자 크기가 0.
수행하였다. 구성된 모델은 상부 1층과 하부 2층의 최저 속도의 비는 2배이며, 각 층은 강한 이방성을 나타낼 뿐만 아니라, 1층은 VTI, 2층은 HTI로 이방성이 서로 판이한 매질로 구성하였다. 모델의 크기는 X 방향으로 50 m, y 방향으로 50 m, z 방향으로 25m이며, 송신원은 X = 25 m, y = 25 m, z = 0 m 위치에 두었다.
5 이일 때 계산된 주시 결과와 해석해의 최대 주시 오차가 55 /zsec로 정밀한 주시 계산이 가능함을 확인하였다. 또한, 속도와 이방성이 상이한 2층 모델에 대한 수치 실험을 수행하였는데 주시 등고선이 각 층 및 층 경계에서 이방성 특성을 잘 반영함을 확인함으로써 복잡한 3차원 이방성 매질에 대한 본 알고리듬의 적용성과 효용성을 검증하였다.
개발된 알고리듬은 직접 전파법을 사용하여 급격한 물성 변화에 대해서도 안정적으로 주시 계산이 가능하도록 하였는데 이를 위해 2차원 비선형 주시 내삽법과 3차원 주시 격자 채움법을 제안하였다. 또한, 약 이방성 근사를 사용하지 않고 위상 속도식을 그대로 사용함으로써 약이방성 매질이 아닌 일반적인 횡등방성 매질에서도 정확한 주시 계산이 가능하도록 하였다. 이를 위해 이분 검색법을 사용하여 위상 속도식으로부터 군속도를 구하였고 수치적으로 계산된 구배를 이용한 최대 경사법을 사용하여 최소 도달 주시를 구하였다.
상, 하부층의 속도의 차이가 매우 크며 이방성도 매우 다른 수평 2층 모델(Table 2)에 대해 주시 모형 실험을 수행하였다. 구성된 모델은 상부 1층과 하부 2층의 최저 속도의 비는 2배이며, 각 층은 강한 이방성을 나타낼 뿐만 아니라, 1층은 VTI, 2층은 HTI로 이방성이 서로 판이한 매질로 구성하였다.
이러한 단점을 보완하고자 이 연구에서는 식 (3)에 대한 편미분을 수치적인 방법으로 구해 함수 t(x0, zo)의 구배를 계산하고 이를 이용하여 최대경사법 (steepest descent method)을 통해 최소 주시 t와 (x0, zo)를 계산하였다. 이 방법은 보다 많은 계산 시간을 요구하지만 횡등방성 매질에서 일반적인 이방성에 대한 주시 계산을 가능하게 해준다.
또한, 약 이방성 근사를 사용하지 않고 위상 속도식을 그대로 사용함으로써 약이방성 매질이 아닌 일반적인 횡등방성 매질에서도 정확한 주시 계산이 가능하도록 하였다. 이를 위해 이분 검색법을 사용하여 위상 속도식으로부터 군속도를 구하였고 수치적으로 계산된 구배를 이용한 최대 경사법을 사용하여 최소 도달 주시를 구하였다.
이에 이 연구에서는 Kumar et al. (2004)이 고안한 횡등방성매질에서의 2차원 초동주시 계산 알고리듬을 3차원으로 확장하여 복잡한 3차원 이방성 매질에 대한 주시 계산 알고리듬을 개발하였다. 개발된 알고리듬은 급격한 물성 변화에도 안정적으로 주시 계산을 수행하기 위해 직접 전파법(direct calculation)을 사용하였는데 이 방법은 2차원 비선형 내삽과 3차원 격자채움(mapping)법으로 구성된다.
대상 데이터
(a) Schematic diagram of 2-layered model. Model size of x, y and z direction are 50 m, 50 m and 25 m. Source is positioned at (x = 25, y = 25, z = 0).
구성된 모델은 상부 1층과 하부 2층의 최저 속도의 비는 2배이며, 각 층은 강한 이방성을 나타낼 뿐만 아니라, 1층은 VTI, 2층은 HTI로 이방성이 서로 판이한 매질로 구성하였다. 모델의 크기는 X 방향으로 50 m, y 방향으로 50 m, z 방향으로 25m이며, 송신원은 X = 25 m, y = 25 m, z = 0 m 위치에 두었다. Fig.
적용 모델은 Table 1의 그림과 같은 50 mX50 mX50 m의 정육면체의 균질 매질이며, 송신 위치는 모델의 중앙인 X = 25 m, z = 25 m, y = 25 m이다. 주시 모델링을 위한 격자는 1 m × I mXl 이에 8개의 격자가 놓이도록 X, y, z 방향 격자 간격을 0.
데이터처리
알고리듬의 타당성을 검증하기위해 균질 횡등방성 매질에 대해 해석해 (analytic solution)와 이 연구에서 제안한 알고리듬을 이용한 수치 모델링 결과를 비교하였다. 해석해는 식 (4)를 이용하여 계산하였는데, 각 격자점에서 군각을 위상각으로 변환하여 식 (9)를 이용하여 군속도를 계산하였다.
이론/모형
군각 S를 위상각 0로 변환하여야한다. 그러나 위상각 θ에 대한 식 (10)의 해석적인 해가 존재하지 않으므로, 이 연구에서는 이분 검색법 (bisection method)을 이용하여 군각 Φ를 만족하는 θ를 수치적으로 구하였다.
성능/효과
수행하였다. 격자 크기가 0.5 mX0.5 mX0.5 이일 때 계산된 주시 결과와 해석해의 최대 주시 오차가 55 /zsec로 정밀한 주시 계산이 가능함을 확인하였다. 또한, 속도와 이방성이 상이한 2층 모델에 대한 수치 실험을 수행하였는데 주시 등고선이 각 층 및 층 경계에서 이방성 특성을 잘 반영함을 확인함으로써 복잡한 3차원 이방성 매질에 대한 본 알고리듬의 적용성과 효용성을 검증하였다.
이러한 급격한 물성 변화를 보이는 이방성 매질에 대해 주시 모형 실험을 수행하여 특징적인 주시분포를 확인함으로써 개발된 주시 계산 알고리듬이 복잡한 이방성 3차원 모델에 적용 가능함을 확인하였다.
이와 같은 균질 이방성 매질에 대한 해석해와 수치해의 비교에 의해, 이 연구에서 제안한 알고리듬을 이용하여 3차원 횡등방성 매질에 대한 초동 주시를 적절한 수준의 오차 한계 내에서 계산할 수 있음을 확인할 수 있었다.
후속연구
향후, 이 연구에서 개발된 3차원 주시 모델링 알고리듬은 이방성의 변화가 심한 지질 환경이나 강한 이방성을 보이는 지질 조건에서 정확한 주시 계산을 필요로 하는 주시 토모그래피와 같은 탐사나 자료처리에 적용될 수 있을 것으로 판단된다.
참고문헌 (11)
Alkhalifah, T., 2002, Traveltime computation with the linearized eikonal equation for anisotropic media, Geophysical Prospecting, 50, 373-382
Ettrich, N., and Gajewski, D., 1998, Traveltime computation by perturbation with FD-eikonal solvers in isotropic and weakly anisotropic media, Geophysics, 63, 1066-1078
Kumar, D., Sen, M., and Ferguson, R. J., 2004, Traveltime calculation and prestack depth migration in tilted transversely isotropic media, Geophysics, 69, 37-44
Schneider, W. A, Ranzinger, K. A, Balch, A H., and Kruse, C; 1992, A dynamic programming approach to first arrival traveltime computation in media with arbitrarily distributed velocities, Geophysics, 57, 39-50
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