[논문]타원 상대운동 여러 궤도 해의 단주기 비교

조중현; 이우경; 백정호; 최남미

doi:10.5140/jass.2007.24.4.315

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최근에 제안된, 이웃하는 타원 궤도의 상대운동에 대한 몇 가지 양함수형 해를 분석하였다. 이 해를 이용한 상대운동 결과를 일반 선형화 운동 방정식의 해석적 해와 비교했다. 수치계산 결과를 위한 초기 조건은 Hill-Clohessy-Wiltshire(HCW) 운동방정식에 의한 해의 역함수로 구했다. 기준 궤도의 차이에도 불구하고 상대적으로 작은 이심률의 궤도 일 경우에는 타원 상대운동 궤도와 원 상대운동 궤도의 결과는 근접했다. 주위성의 궤도가 상대적으로 큰 이심률을 가질 경우에는, 기본 궤도로 원 궤도를 이용하는 HCW 운동방정식은 다른 타원 상대운동 궤도 방정식의 해보다 상대적으로 큰 오차를 갖는다.

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Recently introduced, several explicit solutions of relative motion between neighboring elliptic satellite orbits are reviewed. The performance of these solutions is compared with an analytic solution of the general linearized equation of motion. The inversion solution by the Hill-Clohessy-Wiltshire ...

Recently introduced, several explicit solutions of relative motion between neighboring elliptic satellite orbits are reviewed. The performance of these solutions is compared with an analytic solution of the general linearized equation of motion. The inversion solution by the Hill-Clohessy-Wiltshire equations is used to produce the initial condition of numerical results. Despite the difference of the reference orbit, the relative motion with the relatively small eccentricity shows the similar results on elliptic case and circular case. In case of the 'chief' satellite with the relatively large eccentricity, HCW equation with the circular reference orbit has relatively larger error than other elliptic equation of motion does.

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식 (11, 12, 13)의 선형화 미분 연립방정식의 완전한 해 집합도 또한 존재한다고 했다. Brouckee 주위성과 부위성이 유사한 특성을 갖는 Keplerian 궤도 요소를 갖는다고 가정했다. 그리고 네 개의 고전 궤도 요소(a, eWo, 3)의 변분과 임의의 변수 a에 대한 극좌 표계를 도입하면 식(14) 와 같이 표현할 수 있다.

제안 방법

수 있다. Broucke과 Meltone 타원 상대 운동 궤도방정식을 풀기 위해서 서로 다른 접근 방법을 사용했다. 결과적으로 Broucke의 방법은 행렬 A와 A-1의 편분 요소들의 곱에서 상태 전이 행렬을 구한다.
동력학적인 문제 해결뿐만 아니라 새로운 좌표계의 도입도 이루어졌다. 주로 위성의 좌표를 기술하는 지구 기준 좌표계는 위성 간의 동력학 문제를 기술하기에는 적합하지 않다.
이 중 몇 가지 특정한 경우에서 HCW의 해와 다른 해를 비교했다. 모든 경우를 식(11, 12, 13)의 일반 선형화 타원 기준 궤도 운동 방정식의 직접 적분(전파) 결과와 비교 검증하였고, 세 가지 다른 해의 결과를 HCW의 해와 서로 비교하여 상대적인 정밀도를 검토하였다.
그림 4. 실험 예 2의 조건에 따른 각 운동방정식 해에 의해 계산된 radial 속도 성분의 비교.
그림 5. 실험 예 2의 조건에 따른 각 운동방정식 해에 의해 계산된 transverse 속도 성분의 비교.
그 중에서 Melton(2000), Broucke (2003), Yamanakafc Ankerson(2002)에 의해 도입된 해법이 주목을 받고 있다. 이 연구에서는Broucke 과 Melton의 해법을 분석하고, 해의 결과 및 일반 선형화 타원 궤도해, 그리고 HCW 해로부터 도출한 결과와 비교했다.
이러한 문제를 해결하기 위해서 Brouckee 행렬 A2의 첫 번째 열벡터와 두 번째 열벡터의 선형조합으로 첫 번째 열벡터를 대치했다. 이러한 치환을 통해 원 궤도 경우의 새로운 유효 무특이(nonsingular) 기본해 행렬을 구할 수 있다.
지금까지의 운동방정식 해법을 비교하기 위해서 표 1에 제시한 임의의 위성 궤도 요소를 사용하여 수치계산 초기 조건을 구했다.

이론/모형

대다수의 근접 상대 궤도 문제에 관한 연구는 잘 알려진 Hill-Clohessy-Wiltshire(HCW) 운동방정식을 사용했다(Melton 2000, Vallado 2001). 기본적인 HCW 운동방정식은 간단하기 때문에 널리 이용되고 있다.
이 연구에서는 랑데부 초기 조건을 구하기 위해 가장 간단한 HCW 운동방정식의 해(Vallado 2001, 이우경 등 2005)를 선형근 사방법으로 사용하였다. 표2는 이렇게 구한네 가지의 시험예 초기조건이다.

성능/효과

이 같은 제약 요소로 인해 하나의 위성을 제작할 때 대부분 한 가지 이상의 임무를 부여하게 된다. 여러 임무의 탑재체를 장착하고 임무를 수행하기 위해서 위성체의 용량(크기, 전력)이 확대되고 관제시스템의 성능이 향상되었다. 그러나 위성 발사기술의 향상으로 중소형 위성의 경우에는 한 번의 발사에 다수의 위성을 동시 발사할 수 있게 됐고, GRACE(http:〃www.
이 연구에서 검토된 두 개의 타원 상대 궤도 운동 방정식은 초기 조건의 변화(이 심율, 초기 이격거리) 에도 불구하고 일반 선형화 타원궤도 운동방정식과 매우 근접한 해를 갖고 있다. 따라서 두 방법(Broucke과 Melton)의 계산 정 밀도 차이는 크지 않다.
Radial 방향과 transverse 방향 모두에서 속도 차이가 크지 않음을 알 수 있다. 일반선형화 방정식, Broucke의 방법, Melton의 방법 모두가 매우 근접한 수치 결과를 갖는 것을 확인할 수가 있다. HCW 방정식은 타원궤도가 아닌 원 궤도를 가정하기 때문에, 동일한 초기 조건에서도 나머지 방법들과 다른 결과를 보여준다.

참고문헌 (8)

최규홍 1997, 천체역학 (서울: 민음사), pp.34-81
이우경, 유성문, 박상영, 최규홍, 장영근 2005, 한국우주과학회지, 22, 21

원문보기 상세보기
Battin, R. H. 1987, An Introduction to the Mathematics and Methods of Astrodynamics, AIAA Education Series (Washington, DC: AIAA), pp.199-202
Broucke, R. J. 2003, J. Guidance, Control, and Dynamics, 26, 615

상세보기
Jo, J. H., Cochran, J. E., & Choe, N. J. 2005, 15th AAS/AIAA Space Flight Mechanics Conference, Copper Mountain, Colorado, AAS05-293
Melton, R. G. 2000, J. Guidance, Control, and Dynamics, 23, 604

상세보기
Vallado, D. 2001, Fundamentals of Astrodynamics and Applications, 2nd Ed. (El Segundo: Microcosm Press), pp.374-397
Yamanaka, K. & Ankerson, F. 2002, J. Guidance, Control, and Dynamics, 25, 60

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