[논문]이동최소제곱 유한차분법을 이용한 계면경계를 갖는 이종재료의 열전달문제 해석

윤영철; 김도완

이동최소제곱 유한차분법을 이용한 계면경계를 갖는 이종재료의 열전달문제 해석
Heat Transfer Analysis of Bi-Material Problem with Interfacial Boundary Using Moving Least Squares Finite Difference Method 원문보기

한국전산구조공학회논문집 = Journal of the computational structural engineering institute of Korea, v.20 no.6, 2007년, pp.779 - 787

초록
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본 연구는 계면경계에서 특이성을 갖는 이종재료 열전달문제를 효율적으로 해석할 수 있는 이동최소제곱 유한차분법을 제시한다 이동최소제곱 유한차분법은 격자망(grid)없이 절점만으로 이동최소제곱법을 이용하여 Taylor 다항식을 구성하고 차분식을 만들어 미분방정식을 직접 푼다. 초평면함수 개념에 근거한 쐐기함수를 이동최소제곱 센스(sense)로 근사식에 매입하여 쐐기거동과 미분 점프에 따른 계면경계 특성을 효과적으로 묘사하고 고속으로 미분을 근사하는 이동최소제곱 유한차분법의 강점을 발휘하도록 했다. 서로 다른 열전달계수를 갖는 이종재료 열전도문제 해석을 통해 이동최소제곱 유한차분법이 계면경계문제에서도 뛰어난 계산효율성과 해의 정확성을 확보할 수 있음을 보였다.

Abstract ▼ AI-Helper

This paper presents a highly efficient moving least squares finite difference method (MLS FDM) for a heat transfer problem of bi-material with interfacial boundary. The MLS FDM directly discretizes governing differential equations based on a node set without a grid structure. In the method, difference equations are constructed by the Taylor polynomial expanded by moving least squares method. The wedge function is designed on the concept of hyperplane function and is embedded in the derivative approximation formula on the moving least squares sense. Thus interfacial singular behavior like normal derivative jump is naturally modeled and the merit of MLS FDM in fast derivative computation is assured. Numerical experiments for heat transfer problem of bi-material with different heat conductivities show that the developed method achieves high efficiency as well as good accuracy in interface problems.

주제어

AI 본문요약
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문제 정의

본 논문은 이동최소제곱 유한차분법 (MLS FDM; Moving Least Squares Finite Difference Method) 이라는 새로운 수치해석기법을 이용하여 계면경계를 갖는 이종 재료 열전도 문제의 해석기법을 제시했다. 제안한 수치기법은 이동 최소제곱법을 이용해 Taylor 전개식을 구성하여 미분을 근사하는 계산의 효율성과 수치적분을 배제하고 미분방정식을 직접 이산화하는 계산의 간편함에 기인한 장점을 특이해를 갖는 계면경계문제에서도 성공적으로 발휘한다.
본 논문은 이종재료의 계면경계문제를 풀기 위한 이동 최소제곱 유한차분법을 제시한다. 본 연구는 격자망을 바탕으로 계면 경계의 특이성을 차분식에 반영한 IBM 또는 IIM과는 근본적으로 다른 절점만을 이용한 계면경계문제 해석법을 제안한다.
유한차분법을 제시한다. 본 연구는 격자망을 바탕으로 계면 경계의 특이성을 차분식에 반영한 IBM 또는 IIM과는 근본적으로 다른 절점만을 이용한 계면경계문제 해석법을 제안한다. 미분을 고속으로 근사하는 이동최소제곱 유한차분법의 장점을 잃지 않으면서 쐐기거동으로 인한 특이해(singular solution) 문제를 효과적으로 해석할 수 있는 수치 기법을 제시한다.
이동최소제곱법으로 Taylor 다항식을 구성할 때 계면경계의 기하학적 묘사가 복잡하면 함수의 미분 근사 과정이 복잡해진다. 본 절은 계면경계의 기하학적 정보와 쐐기거동을 동시에 반영할 수 있는 새로운 방법을 제시한다.

제안 방법

。는 함수값을계산하는 영향영역을 나타내며, 이동최소제곱법과 조합될 때 가중함수(weight function)의 반경을 의미한다. 미지의 미분계수("(另), 孙)(刁, …)를 계산하기 위해 근사에 포함된 절점들을 이용하여 다음과 같이 이동최소제곱 잔차식을 구성한다.
제안한 수치기법은 이동 최소제곱법을 이용해 Taylor 전개식을 구성하여 미분을 근사하는 계산의 효율성과 수치적분을 배제하고 미분방정식을 직접 이산화하는 계산의 간편함에 기인한 장점을 특이해를 갖는 계면경계문제에서도 성공적으로 발휘한다. 기존의 수치해석 방법에서 사용되지 않았던 초평면함수 개념를 이용하여 계면 경계의 기하학적 특성을 함수와 미분 근사식에 매입하는 방법을 새롭게 제안했다. 초평면함수를 이용한 쐐기 함수는 이동 최소제곱 유한차분법이 갖는 미분계산의 신속성에 대한 이점을 정확성의 손실 없이 계면경계문제에서 그대로 유지하도록 해 주었다.
본 연구는 격자망을 바탕으로 계면 경계의 특이성을 차분식에 반영한 IBM 또는 IIM과는 근본적으로 다른 절점만을 이용한 계면경계문제 해석법을 제안한다. 미분을 고속으로 근사하는 이동최소제곱 유한차분법의 장점을 잃지 않으면서 쐐기거동으로 인한 특이해(singular solution) 문제를 효과적으로 해석할 수 있는 수치 기법을 제시한다.
본 절에서는 앞 절의 정식화를 이용하여 이종재료의 열전달 문제를 해석한다(그림 6 참조). 식 (26)과 식 (27)은 각각 본 연구에서 고려하는 계면경계문제의 열원과 열전달 계수이다.
해석영역의 절점과 계면경계점에 대한 차분식을 정리하여계방정식을 구성한다. 계방정식을 풀면 절점해 场 와 계면경계점에서의 수직 미분점프 값 母 가 얻어진다.

이론/모형

만약, 초평면함수가 근사에 포함된 다른 절점들과 연관되면 미분계산이 복잡해져 실제 계산이 매우 어렵다. 본 연구에서 사용한 초평면함수에 대한 상세한 이론적 배경은 Kim 등(2007a)을 참조할 수 있다.
이동최소제곱법을 이용해 Taylor 전개식의 계수 즉, 주어진 함수의 미분근사값을 계산하는 수치기법은 윤영철 등 (2007a, 2007b)이 이미 제시한 바 있으며, 본 연구에서는 동일한 기법을 정규해 근사에 사용한다. 본 절에서는 자세한정규해 근사과정은 생략하고 최종적인 결과를 중심으로 간단히 언급한다.
미분과 절점해의 조합을 통해 얻는다. 편의상 다중지수 표기법 (multi-index notation)을 사용했고, 미분 연산자는 以:=旳堆, .啧로 표기한다.

성능/효과

그림 9에는 온도 그라디언트(temperature gra- dient, ) 로서의 加 y방향 미분값을 도시했다. 본 연구의 해석법이 미분값의 점프를 갖는 해를 성공적으로 묘사하고 있음을 알 수 있다. 날카로운(sharp) 미분점프를 묘사하지 못해 계면경계 주위에서 해가 떨리거나 smearing 되는 현상이 없는 것은 주목할 만하다.
서로 다른 열전도 계수를 갖는 이종재료 열전도문제를 해석하고 해의 수렴률을 조사한 결과, 본 연구에서 제안한 수치해석 기법이 2차 정확도를 갖는다는 것을 보였다. 특히, 두 재료간에 열전도계수 값의 차이가 큰 경우에도 정확도와 계산 효율성의 손실없이 날카로운 미분 점프를 안정적이고 정확하게 계산했다.
21 로서 열전도계수 비가 작은 경우와 거의 차이가 없으며, 본 연구의 해석법이 열전도계수의 크기비에 상관없이 2차 정확도를 보이는 것을 알 수 있다. 이는 매우 고무적인 결과로서 본 연구에서 제안한 수치 기법이 계산효율성 뿐만 아니라 정확도 면에서도 우수하다는 것을 보여준다.
해석기법을 제시했다. 제안한 수치기법은 이동 최소제곱법을 이용해 Taylor 전개식을 구성하여 미분을 근사하는 계산의 효율성과 수치적분을 배제하고 미분방정식을 직접 이산화하는 계산의 간편함에 기인한 장점을 특이해를 갖는 계면경계문제에서도 성공적으로 발휘한다. 기존의 수치해석 방법에서 사용되지 않았던 초평면함수 개념를 이용하여 계면 경계의 기하학적 특성을 함수와 미분 근사식에 매입하는 방법을 새롭게 제안했다.
특히, 두 재료간에 열전도계수 값의 차이가 큰 경우에도 정확도와 계산 효율성의 손실없이 날카로운 미분 점프를 안정적이고 정확하게 계산했다. 본 연구의 수치기법은 열전도문제 뿐만 아니라 복합구조재료의 응력해석문제나 서로 다른 유체의 흐름 문제 등에도 효율적으로 적용될 수 있을 것으로 기대된다.
보여준다. 해의 수렴률은 1.71, 미분 수렴률은 1.21 로서 열전도계수 비가 작은 경우와 거의 차이가 없으며, 본 연구의 해석법이 열전도계수의 크기비에 상관없이 2차 정확도를 보이는 것을 알 수 있다. 이는 매우 고무적인 결과로서 본 연구에서 제안한 수치 기법이 계산효율성 뿐만 아니라 정확도 면에서도 우수하다는 것을 보여준다.
점프값에 대한 수렴률을 보여준다. 해의 수렴률은 1.76, 그라디언트의 수렴률은 1.23으로 나타났으며 본 해석기법이 2차 정확도(second order accuracy)에 근접하는 것을 알 수 있다. 2차 정확도의 획득에 대한 수학적인 근거는 Kim 등(2007a)을 참조할 수 있다.

후속연구

특히, 두 재료간에 열전도계수 값의 차이가 큰 경우에도 정확도와 계산 효율성의 손실없이 날카로운 미분 점프를 안정적이고 정확하게 계산했다. 본 연구의 수치기법은 열전도문제 뿐만 아니라 복합구조재료의 응력해석문제나 서로 다른 유체의 흐름 문제 등에도 효율적으로 적용될 수 있을 것으로 기대된다.

참고문헌 (8)

윤영철, 김동조, 이상호 (2007a) 탄성균열해석을 위한 그리드 없는 유한차분법. 한국전산구조공학회 논문집, 20(3), pp.321-327

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윤영철, 김효진, 김동조, 윙 캠 리우, 테드 벨리체코, 이상호 (2007b) 이동최소제곱 유한차분법을 이용한 응력집중문제 해석 (I) : 고체문제의 정식화, 한국전산구조공학회 논문집, 20(4), pp.493-499

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윤영철, 김효진, 김동조, 윙 켐 리우, 테드 벨리체코, 이상호 (2007c) 이동최소제곱 유한차분법을 이용한 응력집중문제 해석 (II) : 균열과 국소화 밴드 문제로의 적용. 한국전산구조공학회 논문집, 20(4), pp.501-507

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Belvtschko , T., Lu, Y. Y., Gu, L. (1994) Elementfree galerkin methods. International Journal for Numerical Methods in Engineering, 37, pp.229-256

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Kim, D. W., Yoon, Y.-C., Liu, W. K., Belytschko, T. (2007a) Extrinsic Meshfree Approximation Using Asymptotic Expansion for Interfacial Discontinuity of Derivative, Journal of Computational Physics, 221, pp.370-394

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Kim, D. W., Yoon, Y.-C., Liu, W. K., Belytschko, T., Lee, S.-H. (2007b) Meshfree Collocation Method with Intrinsic Enrichment for Interface Problems, Computational Mechanics, 40(6), pp.1037-1052

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LeVeque, R. J., Li, Z. (1994) The immersed interface method for elliptic equations with discontinuous coefficients and singular sources. SIAM J. Numer. Anal., 31, pp.1019-1044

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Tu, C., Peskin, C. S. (1992) Stability and instability in the computation of flows with moving immersed boundaries: a comparison of three methods. SIAM J. SCi. Statist. Comput., 13, pp.1361 -1376

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저자의 다른 논문 :

표제어: PCR

동의어: Packet Collision Rate

용어 설명 출처 목록 (6)

용어 설명: PCR은 세균 특이성이 있는 primer를 이용하여 적은 수의 세균이 있을지라도 쉽게 검출할 수 있는 유용한 방법이며, 이를 이용하여 구강 내 치면세균막이나 타액에서 직접 세균을 검출할 수 있게 되었다[8].

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