[논문]1차원 자유경계문제의 해석을 위한 Implicit 이동최소제곱 차분법

윤영철

doi:10.7734/coseik.2012.25.5.439

1차원 자유경계문제의 해석을 위한 Implicit 이동최소제곱 차분법
Implicit Moving Least Squares Difference Method for 1-D Moving Boundary Problem 원문보기

한국전산구조공학회논문집 = Journal of the computational structural engineering institute of Korea, v.25 no.5, 2012년, pp.439 - 446

초록
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본 논문은 1차원 자유경계문제 해석의 정확도 향상을 위해 이동최소제곱 차분법을 이용하여 이동경계의 위상변화를 implicit하게 추적하는 기법을 제시한다. 기존의 이동최소제곱 차분법은 이동경계의 위치를 explicit하게 진전시켜 반복계산은 필요없지만 해의 정확도 감소를 피할 수 없었다. 그러나 본 연구에서 제시한 implicit 기법은 전체 계방정식이 비선형 시스템이 되어 반복계산 과정이 필요하지만, 실제로 수치예제를 통해 검증해 본 결과 계산량의 큰 증가없이 해석의 정확도를 획기적으로 향상시켰다. 이동하는 미분불연속 특이성을 갖는 융해(melting)문제를 수치계산한 결과, implicit 이동최소제곱 차분법을 통해 2차정확도를 얻을 수 있음을 보였다.

Abstract ▼ AI-Helper

This paper presents an implicit moving least squares(MLS) difference method for improving the solution accuracy of 1-D free boundary problems, which implicitly updates the topology change of moving interface. The conventional MLS difference method explicitly updates the moving interface; it requires no iterative solution procedure but results in the loss of accuracy. However, the newly developed implicit scheme makes the total system nonlinear involving iterative solution procedure, but numerical verification show that it dramatically elevates the solution accuracy with moderate computation increase. Through numerical experiments for melting problems having moving singularity, it is verified that the proposed method can achieve the second order accuracy.

주제어

AI 본문요약
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문제 정의

본 연구에서는 1차원 자유경계문제를 보다 정확하게 풀기위해 implicit(음해적) 방법으로 계면경계를 진전시키는 이동최소제곱 차분법을 제안했다. 자유경계문제를 수치계산 할때, 매 해석단계에서 열전달 방정식의 해인 온도뿐만 아니라 이동경계의 위치까지 미지값이 되면서 전체 계방정식이 비선형 시스템이 되기 때문에 반복해석기법을 도입했다.
본 연구에서는 해석의 정확도를 향상시키고 최적의 오차수렴률을 얻기 위해 현재 단계의 자유경계 속도를 이용하여 계면경계의 위치를 implicit한 방법으로 진전시키는 기법을 정식화한다. 현재의 해석단계에서 절점해(nodal solution)와 함께 계면경계의 위치도 미지값이기 때문에 결과적으로 반복계산을 통한 비선형 시스템을 풀어야 한다.
현재의 해석단계에서 절점해(nodal solution)와 함께 계면경계의 위치도 미지값이기 때문에 결과적으로 반복계산을 통한 비선형 시스템을 풀어야 한다. 효과적인 implicit 알고리즘의 개발을 통해 계산 효율성을 크게 떨어뜨리지 않으면서도 explicit한 계면경계 진전으로 인해 얻을 수 없었던 2차정확도(second order accuracy)를 얻을 수 있는 기법을 제시하고자 한다.

제안 방법

본 절에서는 Stefan 상수 α =0.2, f(t) =1(Dirichlet 조건)로 주어지는 반무한 공간에서의 융해문제를 고려한다.
본 연구에서는 1차원 자유경계문제를 보다 정확하게 풀기위해 implicit(음해적) 방법으로 계면경계를 진전시키는 이동최소제곱 차분법을 제안했다. 자유경계문제를 수치계산 할때, 매 해석단계에서 열전달 방정식의 해인 온도뿐만 아니라 이동경계의 위치까지 미지값이 되면서 전체 계방정식이 비선형 시스템이 되기 때문에 반복해석기법을 도입했다. 연구결과, implicit(음해적) 알고리즘의 도입을 통해 계산량 증가는 크지 않은 반면, 해의 정확도는 획기적으로 향상되었다.

이론/모형

열전달방정식을 기반으로 하는 자유경계문제의 평형방정식을 시간적분하기 위해 본 연구에서는 안정성(stability)의 문제가 없는 implicit법(음해법)인 Backward Euler법을 이용하여 다음과 같이 차분식을 구성한다.
이 문제에 대한 이론해는 열전단 문제의 해석적 접근에서 빈번하게 사용되는 상사법(Similarity Method)을 이용하여 계산할 수 있으며, 0< x < s(t) 영역에 대해 시간에 따른 온도와 계면경계의 위치는 다음과 같다.

성능/효과

수치예제들을 통해 본 연구의 해석기법이 계산효율성의 큰 희생 없이도 기존의 explicit update기법보다 더 정확한 해를 준다는 것을 구체적으로 보였으며, 체계적인 오차평가에 근거한 수렴률 산정을 통해 특이성을 갖는 자유경계문제에 대해 2차정확도에 거의 근접하는 높은 수렴률을 얻을 수 있음을 보였다.
연구결과, implicit(음해적) 알고리즘의 도입을 통해 계산량 증가는 크지 않은 반면, 해의 정확도는 획기적으로 향상되었다. 시간적분이 진행됨에 따라 비록 오차가 발산은 하지 않았으나 그 크기를 줄이기 어려웠던 기존의 explicit update(양해적 진전) 방법과 달리, 본 연구의 implicit update(음해적 진전) 방법은 매 해석단계에서 일정한 오차기준 이내에서 수렴한 해를 찾은 후 다음 단계로 넘어가기 때문에 정해와 매우 잘 일치하는 수치해를 얻을 수 있었다. 특히, 절점의 개수가 증가해도 반복계산 횟수가 거의 증가하지 않고 정확도를 잘 유지하는 것으로부터 본 연구의 수치기법이 자유경계문제의 해석에 있어서 수학적 특성이 우수한 이산화 방정식을 만들어내고, 또 비선형 시스템을 매우 안정적으로 풀어낸다는 것을 알 수 있었다.
자유경계문제를 수치계산 할때, 매 해석단계에서 열전달 방정식의 해인 온도뿐만 아니라 이동경계의 위치까지 미지값이 되면서 전체 계방정식이 비선형 시스템이 되기 때문에 반복해석기법을 도입했다. 연구결과, implicit(음해적) 알고리즘의 도입을 통해 계산량 증가는 크지 않은 반면, 해의 정확도는 획기적으로 향상되었다. 시간적분이 진행됨에 따라 비록 오차가 발산은 하지 않았으나 그 크기를 줄이기 어려웠던 기존의 explicit update(양해적 진전) 방법과 달리, 본 연구의 implicit update(음해적 진전) 방법은 매 해석단계에서 일정한 오차기준 이내에서 수렴한 해를 찾은 후 다음 단계로 넘어가기 때문에 정해와 매우 잘 일치하는 수치해를 얻을 수 있었다.
시간적분이 진행됨에 따라 비록 오차가 발산은 하지 않았으나 그 크기를 줄이기 어려웠던 기존의 explicit update(양해적 진전) 방법과 달리, 본 연구의 implicit update(음해적 진전) 방법은 매 해석단계에서 일정한 오차기준 이내에서 수렴한 해를 찾은 후 다음 단계로 넘어가기 때문에 정해와 매우 잘 일치하는 수치해를 얻을 수 있었다. 특히, 절점의 개수가 증가해도 반복계산 횟수가 거의 증가하지 않고 정확도를 잘 유지하는 것으로부터 본 연구의 수치기법이 자유경계문제의 해석에 있어서 수학적 특성이 우수한 이산화 방정식을 만들어내고, 또 비선형 시스템을 매우 안정적으로 풀어낸다는 것을 알 수 있었다. 물론, 자유경계의 기하학적 형상이 복잡해지고 절점의 개수가 상당히 늘어나는 2차원 문제에 대해서 추가적인 검증이 필요하지만, 본 연구에서 개발한 해석 알고리즘은 문제의 차원에 의존하는 ad hoc한 기법이 없기 때문에 2차원 또는 3차원 문제에도 자연스럽게 확장될 수 있을 것으로 판단된다.

후속연구

더욱이, 식 (13)~(15)에서 유도한 미분근사식은 계면경계의 특이성(미분 불연속)과 이동경계의 kinetics를 동시에 모델링할 수 있다는 장점을 갖는다. 따라서 본 연구의 해석기법은 Level Set Method(Osher 등, 1988)나 FrontTracking Method(Juric 등, 1996)와 같이 계면경계의 kinetics와 형상변화(topology change)를 모델링하기 위한 별도의 지배방정식이 필요 없다. 다만, 미분근사에 새롭게 도입된 자유경계의 이동속도 v는 미지값이므로 계면경계에서 상변화가 일어날 때 온도가 규정값(u(x = s(t),t) =0)이어야 한다는 조건(식 (3))으로부터 필요한 조건식을 얻는다.
특히, 절점의 개수가 증가해도 반복계산 횟수가 거의 증가하지 않고 정확도를 잘 유지하는 것으로부터 본 연구의 수치기법이 자유경계문제의 해석에 있어서 수학적 특성이 우수한 이산화 방정식을 만들어내고, 또 비선형 시스템을 매우 안정적으로 풀어낸다는 것을 알 수 있었다. 물론, 자유경계의 기하학적 형상이 복잡해지고 절점의 개수가 상당히 늘어나는 2차원 문제에 대해서 추가적인 검증이 필요하지만, 본 연구에서 개발한 해석 알고리즘은 문제의 차원에 의존하는 ad hoc한 기법이 없기 때문에 2차원 또는 3차원 문제에도 자연스럽게 확장될 수 있을 것으로 판단된다.
본 연구에서 제시하는 implicit 이동 최소제곱 차분법은 bΓ(x,t)의 정의를 위해 현재 시점에서 미지값인 자유경계의 이동속도 vn+1을 사용하기 때문에 전체계방정식을 비선형 시스템으로 만드는데, 반복계산시 bΓ(x,t)값이 매번 바뀌므로 계속적인 갱신이 필요하다.
고체의 용융(melting) 현상을 모사하기 위한 Stefan 문제를 고려한다. 본 절에서는 편의상, 가정을 통해 재료의 밀도, 비열, 열전도율에 대한 표현을 방정식으로부터 효과적으로 제거했으나, 본 연구의 방법은 재료의 밀도, 비열, 열전도율을 모두 포함한 방정식에도 동일하게 적용될 수 있다. 식 (1)~(4)에는 반무한 영역에 대한 1차원 자유경계문제를 기술하는 지배방정식과 경계조건, 계면경계조건을 기술했다.

질의응답

핵심어	질문	논문에서 추출한 답변
	자유경계문제는 어떠한 분야의 응용문제와 연관이 깊은가?	자유경계문제(Free Boundary Problem)는 고체의 용융(melting), 액체의 고체화(solidification, freezing), twophase 흐름(flow), 생체필름(bio film) 성장 등 다양한 분야의 응용문제와 연관이 깊다. 자유경계문제는 기본적으로 확산(diffusion) 또는 열전도 방정식과 같은 포물형(parabolic) 미분방정식 형태를 갖는데, 해석영역 내부에 존재하는 계면경계(interface)의 위치가 시간에 따라 바뀌고, 그 위치는 필드해(field solution, 주로 온도를 의미)와 함께 해(solution)의 일부로 구해야 하기 때문에 일반적으로 비선형 시스템을 수반하고 고난이도의 수치해석이 필요하다.
	자유경계문제는 기본적으로 어떠한 형태를 가지는가?	자유경계문제(Free Boundary Problem)는 고체의 용융(melting), 액체의 고체화(solidification, freezing), twophase 흐름(flow), 생체필름(bio film) 성장 등 다양한 분야의 응용문제와 연관이 깊다. 자유경계문제는 기본적으로 확산(diffusion) 또는 열전도 방정식과 같은 포물형(parabolic) 미분방정식 형태를 갖는데, 해석영역 내부에 존재하는 계면경계(interface)의 위치가 시간에 따라 바뀌고, 그 위치는 필드해(field solution, 주로 온도를 의미)와 함께 해(solution)의 일부로 구해야 하기 때문에 일반적으로 비선형 시스템을 수반하고 고난이도의 수치해석이 필요하다. 또한, 평형방정식 자체는 확산하는 특성을 갖고 있지만, 계면경계의 위상변화 추적을 위해 Level Set 방정식과 같이 쌍곡형(hyperbolic) 미분방정식 특성을 나타내는 추가적인 지배방정식을 도입하는 경우가 많기 때문에 수치해석에 어려움이 많다.
	자유경계문제의 수치해석이 어려운 이유는 무엇인가?	자유경계문제는 기본적으로 확산(diffusion) 또는 열전도 방정식과 같은 포물형(parabolic) 미분방정식 형태를 갖는데, 해석영역 내부에 존재하는 계면경계(interface)의 위치가 시간에 따라 바뀌고, 그 위치는 필드해(field solution, 주로 온도를 의미)와 함께 해(solution)의 일부로 구해야 하기 때문에 일반적으로 비선형 시스템을 수반하고 고난이도의 수치해석이 필요하다. 또한, 평형방정식 자체는 확산하는 특성을 갖고 있지만, 계면경계의 위상변화 추적을 위해 Level Set 방정식과 같이 쌍곡형(hyperbolic) 미분방정식 특성을 나타내는 추가적인 지배방정식을 도입하는 경우가 많기 때문에 수치해석에 어려움이 많다. 특히, 시간이 경과하면서 계면경계의 형상이 점점 복잡해지는 dendritic 고체화 문제의 경우, 자유경계의 모델링이 해석영역의 이산화를 위해 필요한 요소망(mesh)이나 그리드(grid) 구조와 계속적으로 문제를 일으키기 때문에 수치해석은 더욱 어려워진다(Yang, 1996; Chessa 등, 2002).

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표제어: PCR

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용어 설명: PCR은 세균 특이성이 있는 primer를 이용하여 적은 수의 세균이 있을지라도 쉽게 검출할 수 있는 유용한 방법이며, 이를 이용하여 구강 내 치면세균막이나 타액에서 직접 세균을 검출할 수 있게 되었다[8].

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