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가설 설정
- 경계 Γ로 둘러싸인 영역 Ω 내의 선형탄성 구성방정식과 미소변형을 가정하는 고체역학 문제를 고려한다(그림 1 참조) . 지배 미분방정식은 변위 u와 체적력 b를 이용하여 표현하면 다음과 같다.
제안 방법
- 또한, 필수경계조건 만족을 위한 특수기법도 필요 없으며, 균열성장과 같은 기학학적 형상이 변하는 문제에 대해서도 무요소법이 갖고 있는 요소망을 사용하지 않는 장점을 발휘한다. 본 논문에서는 고체역학의 응력집중문제 특히 균열전파문제를 정식화하는 과정을 중심으로 서술하고, 본 논문의 후속 편에서는 제안된 수치기법의 강건성, 정확성, 효율성의 검증을 위해 국소화 밴드 문제와 균열성장 문제를 해석한다.
- 이 기법들은 무요소 근사함수의 미분계산비용을 대폭 감소시키고 경계 조건처리를 단순화하는 등 기존 무요소법의 단점을 극복했다는 점에서 큰 의미를 갖는다. 본 연구는 강정식화(strong formulation) 에 근거하여 적분방정식의 도입없이 지배 미분방정식을 직접 이산화함으로써 이와 같이 연구들과 맥을 같이한다. 본 연구에서 제시하는 수치기법의 핵심은 이동 최소제곱법에 근거한 Taylor 전개와 콜로케이션법에 근거한 차분식 구성에 있다.
- 본 연구는 강정식화(strong formulation) 에 근거하여 적분방정식의 도입없이 지배 미분방정식을 직접 이산화함으로써 이와 같이 연구들과 맥을 같이한다. 본 연구에서 제시하는 수치기법의 핵심은 이동 최소제곱법에 근거한 Taylor 전개와 콜로케이션법에 근거한 차분식 구성에 있다. 이는 약정식화를 사용하지 않기 때문에 수치적분이 필요치 않으며 약정식화에 근거한 수치기법들보다 개선된 수렴률을 보여준다.
- 콜로케이션법의 잔차식 개념에 근거하여 Taylor 다항식의 계수들을 적용함으로써 지배 미분방정식을 직접 이산화하였다. 약형식이나 적분방정식의 구성없이 해석대상 내의 각 절점에서 유한차분법의 차분식과 유사한 형태의 계방정식을 구성하였다. 계방정식을 풀어서 얻어진 절점해와 Taylor 다항식에서 얻은 미분근사를.
- 이제 미지의 미분계수#를 계산하기 위해 해석대상 내에 분포시킨 절점들 중 국부근사함수의 근사에 포함시킬 절점들을 결정하고 이 절점들에 대해 이동최소제곱법을 적용하여 다음과 같은 잔차식을 구성한다.
- 매우 우수한 근사함수와 그 미분값을 제공한다. 콜로케이션법의 잔차식 개념에 근거하여 Taylor 다항식의 계수들을 적용함으로써 지배 미분방정식을 직접 이산화하였다. 약형식이나 적분방정식의 구성없이 해석대상 내의 각 절점에서 유한차분법의 차분식과 유사한 형태의 계방정식을 구성하였다.
이론/모형
- 스케일링 계수(scaling factor)이다. 본 연구에서 Taylor 다항식과 이동최소제곱법을 이용하여 주어진 함수의 미분을 근사하는 기법은 '분산미분(diffuse derivative)'을 이용하여 동일한 결과를 얻을 수 있다(윤영철 등, 2005).
- 유한차분법에서 Taylor 전개식을 이용하여 차분식을 구성하는 것과 유사하게 본 연구에서는 콜로케이션법 (collocation method)의 잔차(residual)개념을 이용하여 지배 미분방정식을 직접 이산화한다. 이동최소제곱법으로 계산한 Taylor 다항식의 첫 번째 계수는 근사함수로, 나머지 계수들은 고려하는 함수의 미분에 대한 근사값으로 활용한다.
- 공간으로 그대로 확장될 수 있다. 편의상, 다중지수(multi-index) notation을 사용한다. 벡터의 제곱연산을 다중지수로 표현하면 다음과 같다.
성능/효과
- 결과적으로 본 연구의 근사기법은 격자망(grid)의 구성이 필요하고 근사함수를 갖고 있지 못한 유한차분법과 달리 적절히 배치된 절점만으로 근사함수와 그 미분을 간단히 계산해준다. 기존의 무요소법과 비교하면, 복잡한 형상함수의 미분계산이 근사함수를 계산하는 수고만으로 근사함수와 동시에 얻어지는 장점이 있어서 미분방정식을 직접 이산화하여 고차 미분이 요구되는 수치기법에 효과적으로 적용될 수 있고, 약형식 적분을 위한 계산비용도 절약할 수 있다.
- 위 식의 계수행렬 K는 banded 되어있으나 대칭은 아니다. 그러나 고려하는 이산화방정식의 미분 차수에 따라 팽창계수 ρ를 적절하게 곱해주면 K 의 특성을 효과적으로 개선(conditioning)할 수 있고, 결과적으로 행렬 K 의 조건수(condition number)를 향상시킬 수 있다.
- 더욱이, 기존의 무요소법은 필수경계조건을 만족시키기 위해 Penalty 기법이나 Lagrange 확대계수법과 같은 추가의 구속조건식을 동원해야 하고, 대부분 약형식 (weak form)에 근거하기 때문에 다항식(polynomial)이 아닌 형상 함수의 미분값을 적분할 때 정확도를 확보하기 어렵고 적분식을 계산하는 시간이 오래 걸리는 단점이 있었다. 그러나 본 연구에서 개발된 수치기법은 이러한 단점을 훌륭히 보완하면서 동시에 균열전파와 같이 불연속면의 기하학적 형상이 변하는 문제에 유리한 무요소법의 장점을 유지해준다.
- 균열의 응력확대계수 계산시, 임의의 위치에서의 응력값이 필요한데 이와 같은 특성은 매우 유용하다. 또한 개발된 해석기법은 격자망(grid)이나 요소망(mesh)에 의존적인 유한차분법, 유한요소법과 달리, 경계를 포함한 해석영역 내에 적절하게 배치된 절점들만으로 근사함수를 포함한 원하는 차수의 미분을 손쉽게 계산할 수 있는 장점이 있다. 더욱이, 기존의 무요소법은 필수경계조건을 만족시키기 위해 Penalty 기법이나 Lagrange 확대계수법과 같은 추가의 구속조건식을 동원해야 하고, 대부분 약형식 (weak form)에 근거하기 때문에 다항식(polynomial)이 아닌 형상 함수의 미분값을 적분할 때 정확도를 확보하기 어렵고 적분식을 계산하는 시간이 오래 걸리는 단점이 있었다.
- 본 연구에서 개발된 해석기법은 근사함수를 갖고 있기 때문에 기존의 유한차분법과 달리 임의의 위치에서 함수값이나 그 미분값을 자유롭게 계산할 수 있게 되며, 이는 응력확대계수 계산을 위해 임의의 위치에서의 응력값의 계산을 필요로 하는 균열문제에도 효과적으로 적용될 수 있게 해준다. 유한차분법이 격자망(grid)에 매우 의존적이고 근사함수식이 없어 임의의 위치에서 함수값의 계산이 어려웠던 단점을 극복할 수 있다.
후속연구
- 본 해석기법은 특정한 미분방정식에만 적합한 수치기법이 아니고 유한요소법이나 유한차분법과 같이 어떤 문제에도 적용될 수 있는 수치기법이 되며, 다양한 특수 공학적 문제에도 효과적으로 적용될 수 있을 것으로 기대된다. 본 연구의 후속 편은 수치 예제의 해석을 통해 탄성론 문제뿐만 아니라 균열과 같이 불연속면과 응력의 특이성을 갖는 문제에서도 높은 정확도를 갖는 해를 얻을 수 있음을 보여준다.
- 더욱이 근사함수를 계산하는 비용만으로 근사함수의 미분값까지 얻을 수 있기 때문에 근사함수의 미분계산에 많은 비용이 들었던 기본 무요소법을 획기적으로 개선할 수 있다. 본 해석기법은 특정한 미분방정식에만 적합한 수치기법이 아니고 유한요소법이나 유한차분법과 같이 어떤 문제에도 적용될 수 있는 수치기법이 되며, 다양한 특수 공학적 문제에도 효과적으로 적용될 수 있을 것으로 기대된다. 본 연구의 후속 편은 수치 예제의 해석을 통해 탄성론 문제뿐만 아니라 균열과 같이 불연속면과 응력의 특이성을 갖는 문제에서도 높은 정확도를 갖는 해를 얻을 수 있음을 보여준다.
- 이동최소제곱법으로 계산된 Taylor 다항식의 계수를 사용하는 근사함수와 미분근사는 '재생성'을 갖기 때문에 미분방정식을 직접 이산화하는 본 연구의 정식화 과정에 잘 적용될 수 있다. 그러나 수학적으로 엄밀하게 유도된 미분값이 아니기 때문에 약형식 (weak form) 에 근거한 정식화를 하는 경우 형상함수 미분값의 적분을 수행하는 과정에서 오차가 다소 크게 발생할 수 있기 때문에 주의할 필요가 있다(Krongauz 등, 1997).
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