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[국내논문] 3차원 MT 역산에서 CG 법의 효율적 적용
Conjugate Gradient Least-Squares Algorithm for Three-Dimensional Magnetotelluric Inversion 원문보기

물리탐사 = Geophysical exploration, v.10 no.2, 2007년, pp.147 - 153  

김희준 (부경대학교 환경탐사공학과) ,  한누리 (서울대학교 지구환경시스템공학부) ,  최지향 (서울대학교 지구환경시스템공학부) ,  남명진 ,  송윤호 (한국지질자원연구원 지하수지열연구부) ,  서정희 (서울대학교 지구환경시스템공학부)

초록
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CG (conjugate gradient) 법은 선형 연립방정식을 반복적으로 푸는 가장 효율적인 해법 중 하나이고, 또한 비선형 최소자승문제에도 적용할 수 있다. 자기지전류(MT) 역산 문제를 풀 때에는 최소자승문제의 목적함수 자체의 최소화에 직접 CG 법을 적용하거나, Gauss-Newton 법에 기초한 반복역산의 각 반복단계에서 모형의 변화량 계산에 CG 법을 이용할 수 있다. CG 법을 적용할 경우, 임의의 벡터에 대한 감도행렬의 영향 및 그 전치행렬의 전치행렬의 영향을 감도행렬을 직접 구하지 않고 계산할 수 있다는 장점이 있기 때문에 감도행렬의 계산 규모가 방대한 3차원 역산 문제에서 계산시간을 월등히 줄일 수 있다.

Abstract ▼ AI-Helper 아이콘AI-Helper

The conjugate gradient (CG) method is one of the most efficient algorithms for solving a linear system of equations. In addition to being used as a linear equation solver, it can be applied to a least-squares problem. When the CG method is applied to large-scale three-dimensional inversion of magnet...

Keyword

#최소자승법   #자기지전류   #역산   #감도  

AI 본문요약
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* AI 자동 식별 결과로 적합하지 않은 문장이 있을 수 있으니, 이용에 유의하시기 바랍니다.

문제 정의

  • 이 절에서는 연립방정식의 해법으로서 CG 법을 이용하여 양의 정부호(positive-definite) 대칭행렬 A에 대한 연립방정식 Ax = b를 푸는 방법을 알아보고자 한다. 아래 2차식의 최적화 문제를 생각해보자.
  • CGLS 법을 이용하여 MT 역산 문제를 풀기 위해서, 먼저 최소자승법을 이용하여 MT 역산 문제의 정규방정식을 구성하는 방법을 설명한다. 다음으로 역산과정에서 감도행렬을 계산하는 일반적인 방법과 LCG 역산법 혹은 NLCG 역산법을 이용하여 감도행렬을 직접 계산하지 않고 역산을 수행하는 방법을 설명하고자 한다.
  • 최소자승 역산 문제는 측정자료와 예측자료의 차를 최소화하는 해를 구하며, 종종 역산과정을 안정시키기 위한 제한조건을 가진다. 여기서는 역산의 악조건을 제거하기 위한 Tikhonov 정규화 제한을 가진 역산 문제에 대해 다루겠다. 이런 제한조건 하에서 역산 문제는 주어진 λ, Wd, Wm에 대해 아래의 목적함수를 최소화시키는 최적화 문제가 된다.

가설 설정

  • 는 매질의 전기 송신원으로써 MT 문제에서는 보통 지표면으로부터 멀리 떨어진 곳에서의 일정한 평면파 송신원으로 표현한다. 매질의 전기전도도가 δσ만큼 변화하면 이에 따라 전기장 및 자기장도 각각 δE, δH만큼 변화할 것이다.
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질의응답

핵심어 질문 논문에서 추출한 답변
CG 법의 장점은? 자기지전류(MT) 역산 문제를 풀 때에는 최소자승문제의 목적함수 자체의 최소화에 직접 CG 법을 적용하거나, Gauss-Newton 법에 기초한 반복역산의 각 반복단계에서 모형의 변화량 계산에 CG 법을 이용할 수 있다. CG 법을 적용할 경우, 임의의 벡터에 대한 감도행렬의 영향 및 그 전치행렬의 전치행렬의 영향을 감도행렬을 직접 구하지 않고 계산할 수 있다는 장점이 있기 때문에 감도행렬의 계산 규모가 방대한 3차원 역산 문제에서 계산시간을 월등히 줄일 수 있다.
CG (conjugate gradient) 법은 무엇인가? CG (conjugate gradient) 법은 선형 연립방정식을 반복적으로 푸는 가장 효율적인 해법 중 하나이고, 또한 비선형 최소자승문제에도 적용할 수 있다. 자기지전류(MT) 역산 문제를 풀 때에는 최소자승문제의 목적함수 자체의 최소화에 직접 CG 법을 적용하거나, Gauss-Newton 법에 기초한 반복역산의 각 반복단계에서 모형의 변화량 계산에 CG 법을 이용할 수 있다.
Newton 법의 형태는 무엇인가? 물리탐사에서 비선형 역산 문제를 푸는 가장 일반적인 방법은 이를 선형화하여 반복적 해법으로 푸는 것이다. 즉, 모델링 함수를 임의의 기준 모형에 대해 1차 Taylor 전개한 함수로 근사하고 이 선형화된 역산 문제를 푼 다음, 그 해를 새로운 기준 모형으로 하여 위의 과정을 반복한다. 이와 같은 방법은 Gauss-Newton 법, Marquardt-Levenberg 법 등으로 대표되는 Newton 법의 한 형태이다.
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참고문헌 (8)

  1. 김희준, 남명진, 한누리, 최지향, 이태종, 송윤호, 서정희, 2004, MT 자료의 3차원 역산 개관, 물리탐사, 7, 207-212 

  2. Golub, G. H., and Van Loan, C. F., 1996, Matrix Computations, 3rd ed., Johns Hopkins Univ. Press, Baltimore and London 

  3. Kong, J. A., 1986, Electromagnetic Wave Theory, John Wiley & Sons, New York 

  4. Mackie, R. L., and Madden, T. R., 1993, Three-dimensional magnetotelluric inversion using conjugate gradients, Geophys. J. Int., 115, 215-229 

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  5. Madden, T. R., and Mackie, R. L., 1989, Three-dimensional magnetotelluric modeling and inversion, Proc. IEEE, 77, 318-333 

  6. Newman, G. A., and Alumbaugh, D. L., 2000, Three-dimensional magnetotelluric inversion using non-linear conjugate gradients, Geophys. J. Int., 140, 410-424 

    상세보기 crossref

  7. Rodi, W., and Mackie, R. L., 2001, Nonlinear conjugate gradients algorithm for 2-D magnetotelluric inversion, Geophysics, 66, 174-187 

    상세보기 crossref

  8. Zhang, J., Mackie, R. L., and Madden, T. R., 1995, 3-D resistivity forward modeling and inversion using conjugate gradients, Geophysics, 60, 1313-1325 

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