회전원판의 동적 불안정성은 회전속도를 제한하는 가장 중요한 요인이다. 복합재료를 회전원판에 적용시킬 경우 동적 안정성을 증가시킬 수 있어 경량화와 고속화를 동시에 이룰 수 있다. 티모쉔코 효과라고 불리는 횡전단변형과 회전관성이 판 구조물의 동적거동에 미치는 영향은 많은 연구가 진행되어왔으나 원판의 회전이 이 효과에 미치는 영향에 대한 연구는 극히 제한적이며 복합재료 원판의 경우는 전무한 실정이다. 본 연구에서는 티모쉔코 효과를 고려한 직교이방성 회전원판의 동적 방정식을 유도하였으며 상용 유한요소 프로그램인 MSC/NASTRAN을 이용하여 진동해석을 수행하였다. 해석결과에 따르면 특정 모드에서는 일반적으로 알려진 바와는 달리 회전수의 증가에 따라 티모쉔코 효과가 감소하다 증가하는 현상을 보였다. 또한 데이터만을 기초로 회전증가에 따른 티모쉔코 효과의 감소는 두께비가 작아질수록 증가하고, 반경비, 탄성계수 대 전단계수 비, 진동 모드 수가 커질수록 증가하는 것으로 결론지을 수 있다.
회전원판의 동적 불안정성은 회전속도를 제한하는 가장 중요한 요인이다. 복합재료를 회전원판에 적용시킬 경우 동적 안정성을 증가시킬 수 있어 경량화와 고속화를 동시에 이룰 수 있다. 티모쉔코 효과라고 불리는 횡전단변형과 회전관성이 판 구조물의 동적거동에 미치는 영향은 많은 연구가 진행되어왔으나 원판의 회전이 이 효과에 미치는 영향에 대한 연구는 극히 제한적이며 복합재료 원판의 경우는 전무한 실정이다. 본 연구에서는 티모쉔코 효과를 고려한 직교이방성 회전원판의 동적 방정식을 유도하였으며 상용 유한요소 프로그램인 MSC/NASTRAN을 이용하여 진동해석을 수행하였다. 해석결과에 따르면 특정 모드에서는 일반적으로 알려진 바와는 달리 회전수의 증가에 따라 티모쉔코 효과가 감소하다 증가하는 현상을 보였다. 또한 데이터만을 기초로 회전증가에 따른 티모쉔코 효과의 감소는 두께비가 작아질수록 증가하고, 반경비, 탄성계수 대 전단계수 비, 진동 모드 수가 커질수록 증가하는 것으로 결론지을 수 있다.
Dynamic instability of rotating disks is the most significant factor to limit its rotating speed. Application of composite materials to rotating disks may enhance the dynamic stability leading to a possible design of rotating disks with lightweight and high speed. Whereas much work has been done on ...
Dynamic instability of rotating disks is the most significant factor to limit its rotating speed. Application of composite materials to rotating disks may enhance the dynamic stability leading to a possible design of rotating disks with lightweight and high speed. Whereas much work has been done on the effect of transverse shear and rotary inertia, called Timoshenko effect, on the dynamic behavior of plates, there is little work on the correlation between the effect and the rotation of disk, especially nothing in case of composite disks. The dynamic equations of a rotating composite disk are formulated with the Timoshenko effect and the vibrational analysis is performed by using a commercial package MSC/NASTRAN. According to the results, the Timoshenko effect goes seesaw in some modes, unlike the well-known fact that the effect decreases as the rotating speed increases. And it can be concluded, based only on the present results, that decrement of the Timoshenko effect by disk rotation grows larger as the thickness ratio decreases, the diameter ratio increases, the modulus ratio increases, and the mode number increases.
Dynamic instability of rotating disks is the most significant factor to limit its rotating speed. Application of composite materials to rotating disks may enhance the dynamic stability leading to a possible design of rotating disks with lightweight and high speed. Whereas much work has been done on the effect of transverse shear and rotary inertia, called Timoshenko effect, on the dynamic behavior of plates, there is little work on the correlation between the effect and the rotation of disk, especially nothing in case of composite disks. The dynamic equations of a rotating composite disk are formulated with the Timoshenko effect and the vibrational analysis is performed by using a commercial package MSC/NASTRAN. According to the results, the Timoshenko effect goes seesaw in some modes, unlike the well-known fact that the effect decreases as the rotating speed increases. And it can be concluded, based only on the present results, that decrement of the Timoshenko effect by disk rotation grows larger as the thickness ratio decreases, the diameter ratio increases, the modulus ratio increases, and the mode number increases.
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문제 정의
본 연구에서는 C6t<j의 결론의 타당성을 확인하고 복합재료 원판에 대해서도 회전수와 티모쉔코 효과의 관계를 알아본다. 이를 위해 회전수에 따른 원판의 고유진동수를 등방성재료와 복합재료에 대해 원판의 내경 대 외경비, 두께비, 진동 모드별로 계산하였다.
본 연구에서는 원판의 회전에 따라 티모쉔코 효과가 고유진동수에 미치는 영향을 살펴보았다. 일반적으로 회전에 의한 강성화 효과로 티모쉔코 효과가 줄어드는 것으로 알려져 있었으나 본 연구를 통해 특정 모드에서는 회전수가 증가함에 따라 티모쉔코 효과가 감소하다 증가하는 경향을 특별한 현상을 발견할 수 있었다.
제안 방법
2는 유한요소 모델링을 보여준다. 경계조건은 내경 원주를 따라 고정지지, 외경 원주를 따라 자유운동을 할 수 있도록 설정하였다.
상용 유한요소해석 프로그램인 MSC/ NASTRAN을 이용하여 진동해석을 수행하였다. 등방성 재료와 극직교 이방성 회전원판의 두께비와 회전속도에 따라 티모쉔코 효과를 제시 비교하였다. 등방성 재료로는 일반 CD의 기판 재료인 폴리라보네이트(polycarbonate)를, 복합재료로는 대표적인 유리섬유복합재료(GFRP)인 E-glass /Epoxy를 사용하였다.
복합재료 원판에 대한 연구는 전무한 실정이다. 따라서 본 연구에서는 복합재료 원판이 회전할 때 지배방정식을 유도하였다. 상용 유한요소해석 프로그램인 MSC/ NASTRAN을 이용하여 진동해석을 수행하였다.
본 연구에서는 내경 대 외경비(b/a)에 따른 변화를 살펴보기 위해 b/a = 0.25, 0.5 두 가지 경우를 선택하였다. 유한요소 모델은 원통좌표계에서 CQUAD4 요소를 이용하였다.
유한요소해를 구하는 것이 효율적이다. 식 (1)의 유한요소 정식화 및 수치해를 구하는 것은 어려운 작업은 아니지만, 보다 안정적이고 정확한 해를 구하는 것이 바람직하다고 판단되어 본 연구에서는 검증된 상용 프로그램인 MSCVNASTRAN 을 이용하여 유한요소해를 구한다. 조화운동에 대한 식 (1)의 유한요소 식은 다음과 같이 고유치 방정식이 된다.
본 연구에서는 C6t<j의 결론의 타당성을 확인하고 복합재료 원판에 대해서도 회전수와 티모쉔코 효과의 관계를 알아본다. 이를 위해 회전수에 따른 원판의 고유진동수를 등방성재료와 복합재료에 대해 원판의 내경 대 외경비, 두께비, 진동 모드별로 계산하였다.
대상 데이터
등방성 재료와 극직교 이방성 회전원판의 두께비와 회전속도에 따라 티모쉔코 효과를 제시 비교하였다. 등방성 재료로는 일반 CD의 기판 재료인 폴리라보네이트(polycarbonate)를, 복합재료로는 대표적인 유리섬유복합재료(GFRP)인 E-glass /Epoxy를 사용하였다.
복합재료의 섬유각의 변화에 따른 티모쉔코의 효과를 알아보기 위해서 반경강화(radially reinforced: RR)원판과 원주강화 (circumferentially reinforced: CR) 원판을 고려하였다. 반경강화 (RR) 원판과 원주강화(CR) 원판은 (r, 6) 좌표계에서 반경 방향을 기준으로 각각 0도와 90도의 섬유각을 갖는 단층판(lamina)이다.
유한요소 모델은 원통좌표계에서 CQUAD4 요소를 이용하였다. 수렴성 시험을 거쳐 b/a = 0.25인 원판은 반경방향으로 30개와 원주 방향으로 120개, b/a = 0.5 인 원판은 반경방향으로 15개와 원주방향으로 120개의 요소를 사용하였으며 각각 총 3, 600 개와 1, 800개의 요소를 사용하였다. Fig.
5 두 가지 경우를 선택하였다. 유한요소 모델은 원통좌표계에서 CQUAD4 요소를 이용하였다. 수렴성 시험을 거쳐 b/a = 0.
데이터처리
따라서 본 연구에서는 복합재료 원판이 회전할 때 지배방정식을 유도하였다. 상용 유한요소해석 프로그램인 MSC/ NASTRAN을 이용하여 진동해석을 수행하였다. 등방성 재료와 극직교 이방성 회전원판의 두께비와 회전속도에 따라 티모쉔코 효과를 제시 비교하였다.
이론/모형
회전에 의한 하중은 RFORCE 필드를 이용하여 회전수를 부과하였으며 비선형 해법인 SOL 106을 이용하여 회전시의 고유진동해 석을 수행하였다.
성능/효과
5(b)를 보면 비교적 얇은 원판(a/h = 40)일 때 전체적인 티모쉔코 효과의 크기가 5% 미만으로 작게 나타나고 있다. (0, 0)모드에서 a/h = 10일 때처럼 회전속도의 증가에 따라 티모쉔코 효과가 감소하다가 증가하는 경향이 모든 원판에서 뚜렷이 나타나고 있다. 또한 등방성(PC) 원판의 (0, 2) 모드도 회전수 증가에 따라 그 효과가 감소하다 미세하나마 증가하는 경향을 보인다.
25일 때와는 다르게 회전속도의 증가에 따라 티모쉔코 효과가 감소하다가 증가하는 경향이 전혀 나타나지 않으며 회전속도의 증가에 따라 티모쉔코 효과가 연속적으로 감소하는 것을 알 수 있다. (0, 2)모드에 대한 티모쉔코 효과를 보면 회전속도의 증가에 따른 티모쉔코 효과가 연속적으로 감소하고 있으며 회전속도가 증가할수록 그 감소량이 줄어들었던 b/a = 0.25일 때와는 다르게 티모쉔코 효과가 거의 일정하게 감소하고 있다. 그리고 (0, 2)모드에서의 회전에 의한 무차원 고유진동수의 증가율이 원주강화(CR) 원판에서 크게 나타나는 결과로 회전속도의 증가에 따른 티모쉔코 효과의 감소량도 원주강화(CR) 원판에서 조금 더 크게 나타나고 있지만 회전속도의 증가에 따른 전체적인 효과의 감소 경향이 반경강화(RR) 원판과 비슷하게 나타나고 있다.
또한 등방성(PC) 원판의 (0, 2) 모드도 회전수 증가에 따라 그 효과가 감소하다 미세하나마 증가하는 경향을 보인다. (2, 0) 모드에서는 회전속도의 증가에 따라 티모쉔코 효과가 감소량이 두꺼운 원판에 비해 현저히 줄어듦을 확인할 수 있다.
그리고 (0, 2)모드에서의 회전에 의한 무차원 고유진동수의 증가율이 원주강화(CR) 원판에서 크게 나타나는 결과로 회전속도의 증가에 따른 티모쉔코 효과의 감소량도 원주강화(CR) 원판에서 조금 더 크게 나타나고 있지만 회전속도의 증가에 따른 전체적인 효과의 감소 경향이 반경강화(RR) 원판과 비슷하게 나타나고 있다. (2, 0)모드를 보면 회전속도의 증가에 따라 티모쉔코 효과가 연속적으로 감소하고 있으며 그 감소량이 b/a = 0.25일 때보다 작게 나타나고 있고 반경강화(RR) 원판과 원주강화(CR) 원판에서 그 감소량이 거의 동일하게 나타나고 있다. 그리고 (2, 2)모드는 (2, 0)모드와 거의 동일한 경향성을 나타내고 있다.
25일 때처럼 반경강화(RR) 원판에서 회전속도의 증가에 따라 티모쉔코 효과가 감소하다가 증가하는 경향성이 나타나는 것을 알 수 있다. (2, 0)모드에서 b/a = 0.25일 때보다 회전속도의 증가에 따라 티모쉔코 효과가 더 일정하게 감소하고 있음을 알 수 있다.
수 m이 증가할수록 증가하고 있다. 그러나 특이하게 절경 모드의 경우는 a/h < 40 인 영역에서 모드 수 n이 증가할수록 그 효과가 반드시 증가하지 않음을 확인할 수 있다. 그 이유는 절경 모드에서 원주방향을 뿐만 아니라 반경방향으로의 횡변위 운동이 티모쉔코 효과에 영향을 미치기 때문이다.
회전수에 따른 티모쉔코 효과는 두께비, 반경비, 이방성, 진동 모드에 따라 그 경향성이 다르게 나타나고 있다. 본 연구에서 얻는 해석 데이터를 기초로 판단하면 회전증가에 따른 티모쉔코 효과가 증가하는 현상은 두께비 (a/h)가 클수록, 반경비(b/a)가 작을수록, 이방성이 작을수록, 그리고 진동 모드수가 낮을수록 강하게 나타나는 것으로 결론지을 수 있다.
미치는 영향을 살펴보았다. 일반적으로 회전에 의한 강성화 효과로 티모쉔코 효과가 줄어드는 것으로 알려져 있었으나 본 연구를 통해 특정 모드에서는 회전수가 증가함에 따라 티모쉔코 효과가 감소하다 증가하는 경향을 특별한 현상을 발견할 수 있었다. 회전수에 따른 티모쉔코 효과는 두께비, 반경비, 이방성, 진동 모드에 따라 그 경향성이 다르게 나타나고 있다.
3과 4는 각각 두께비 (a/h) 의 변화에 따른 GFRP 반경강화(RR) 원판과 원주강화(CR) 원판의 티모쉔코 효과를 보여준다. 티모쉔코 효과는 반경강화 원판과 원주강화 원판 모두 절경 모드(diametrical mode)보다는 절원 모드에서 월등히 많이 존재함을 확인할 수 있다. 절원 모드에서는 예상한 대로 원주강화 원판보다 반경강화 원판에서 티모쉔코 효과가 크게 나타나고 있다.
회전과 극직교 이방성 원판의 형상에 대한 위의 결과를 종합해 보면 동일한 반경 대 두께비(a/h)와 동일한 강성을 갖고 있는 극직교 이방성 원판의 내경 대 외경비(b/a)의 변화로 인한 형상변화는 전체적인 티모쉔코 효과와 무차원 고유진동수의 크기, 그리고 회전에 의한 무차원 고유진동수의 증가율을 변화시킨다는 것을 알 수 있다. 그리고 회전에 의한 무차원 고유진동수의 증가율 변화의 주된 효과는 반경강화(RR) 원판과 원주강화(CR) 원판의 회전에 의한 절대적인 무차원 고유진동수의 증가율을 변화시키는 것이라기보다는 상대적인 증가율의 차이를 변화시키는 것이며 3/a의 증가는 그 상대적인 증가율의 차이를 작게 만든다.
후속연구
특정 모드에서 회전이 증가수록 티모쉔코 효과가 감소하다 증가하는 현상에 대한 원인은 회전에 의한 응력상태의 변화라고 판단되며 본 연구에서 유도한 지배방정식인 식 (1)을 이용하여 원인을 규명하는 연구를 진행할 예정이다.
Du, H., Lim, M. K., and Liew, K. M., 'A Power Series Solution for Vibration of a Rotating Timoshenko Beam,' Journal of Sound and Vibration, Vol. 175, No. 4, 1994, pp. 505-523
Banerjee, J. R., 'Dynamic Stiffness Formulation and Free Vibration Analysis of Centrifugally Stiffened Timoshenko Beams,' Journal of Sound and Vibration, Vol. 247, No. I, 2001, pp. 97-115
Kaya, M. O., 'Free Vibration Analysis of a Rotating Timoshenko Beam by Differential Transform Method,' Aircraft Engineering and Aerospace Technology: An International Journal, Vol. 78, No.3, 2006, pp, 194-203
Sinha, S. K., 'Determination of Natural Frequencies of a Thick Spinning Annular Disk Using a Numerical Rayleigh-Ritz's Trial Function,' Journal of the Acoustical Society of America, Vol. 81, No. 2, 1987, pp. 357-369
Cote, A., Atalla, N., and Nicolas, J., 'Effects of Shear Deformation and Rotary Inertia on the Free Vibration of a Rotating Annular Plate,' Journal of Vibration and Acoustics, Vol. 119, 1997, pp. 641-643
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