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문제 정의
- 즉 변환 수준이 낮을수록 잡음의 영향이 줄어드는 것을 볼 수 있다. 따라서 본연구에서는 웨이블릿 계수의 분산 차이를 이용하여 잡음의 영향을 최소화하면서 주기 신호 형태를 잘 반영하는 웨이블릿 계수를 선택하는 방법을 제안한다.
- 본 연구에서는 Haar 웨이블릿 변환을 통해 계산된 웨이블릿 계수 중에서 잡음에 영향을 받는 계수들을 제거하고 신호의 전 구간의 형태를 잘 반영할 수 있는 계수들을선택하여 주기 신호 데이터의 이상 탐지 성능을 향상시키고자 한다.
- 선택되지 않는다. 본 연구에서는 잡음의 영향을 줄이고, 주기의 전 구간 걸쳐 발생하는 다양한 이상 상황을 효과적으로 탐지할 수 있는 웨이블릿 계수를 이용한 이상 탐지 방법을 제시하고자 한다. 이를 위해 웨이블릿 잡음 제거 방법(wavelet denoise method)과 Haar 웨이블릿 계수의 분산 차이를 이용한 중요 계수 선택 알고리즘을 제안하고 시뮬레이션을 통해 효용성을 확인하고자 한다.
- 본 연구에서는 주어진 신호의 잡음을 가장 잘 제거 할 수 있는 웨이블릿 기저함수와 변환 수준을 찾기 위하여 다양한 기저함수와 변환 수준에 대하여 MSE(Mean Squared Error)를 비교한다. 비교를 위한 MSE는 식 (9)와 같이 정의된다.
제안 방법
- 따라서 본 시뮬레이션에서는 다양한 상황에 대한 성능 평가를 위해 그림 3과 같이 패턴의 형태와 구간의 크기에 따라 발생할 수있는 이상 상황을 5가지로 구분하였다. 1) 전체 구간, 2) 변화가 존재하는 넓은 구간, 3) 평평한 넓은 구간, 4) 변화가 존재하는 좁은 구간, 5) 평평한 좁은 구간으로 분류하각 구간의 평균을 0.1 단위로 0에서 2까지 변화시켜평균 변화에 대한 검출 성능을 비교하였다. 성능 평가는각 이상 상황에 대해 10000개의 데이터를 생성한 후 각경우에 적용하여 이상 상황을 탐지한 수의 비율로 평가하였다.
- Daubechies 2~20와 Coiflet 1~4를 변환 수준별로 soft thresholding 방법을 통하여 MSE를 계산하였다. 결과는 표 1과 같다.
- 구한다. Haar 웨이블릿 계수들의 분산을 계산하고계수들 간의 분산 차이를 비교한다. 본 연구에서는 두 계수간의 분산 차이를 측정하기 위한 척도 Di을 식 (10)으로 정의하였다.
- 변수로 보고 분석하는 방법이 제안되었다. 각 시점 별로 Shewhart 차트나 EWMA, CUSUM 차트를 사용하여 공정의 이상을 탐지하였다. 이 방법은 한 주기의 데이터가 길 경우 관리해야 할 차트가 많아져 비효율적이다.
- 이러한 주기 신호 데이터 안에서 공정의이상은 다양한 구간에서 발생할 수 있다. 따라서 본 시뮬레이션에서는 다양한 상황에 대한 성능 평가를 위해 그림 3과 같이 패턴의 형태와 구간의 크기에 따라 발생할 수있는 이상 상황을 5가지로 구분하였다. 1) 전체 구간, 2) 변화가 존재하는 넓은 구간, 3) 평평한 넓은 구간, 4) 변화가 존재하는 좁은 구간, 5) 평평한 좁은 구간으로 분류하각 구간의 평균을 0.
- 05 이하의 값을 갖는 16개의 Haar 웨이블릿 계수가 선택되었다. 따라서 본 실험에서는 제안된 알고리즘을 통해 선택된 16개의 Haar 웨이블릿 계수로 1024의 시점 갖는 주기 신호 데이터의 이상을 탐지하였다.
- 4로 계산되고 정상 신호에 대한 T2 차트는 그림 6과 같이 계산된다. 모두 정상 상태로 파악되므로 phase Ⅱ의 관리한계선(UCL2 = 29.5)을 사용하여 이상 상황에 대한 평가를 수행하였다.
- 본 시뮬레이션에 사용된 데이터는 곡선 형태의 데이터이므로 잡음 제거를 위한 웨이블릿 기저함수로 Daubechies, Coiflet 함수를 사용하여 잡음제거를 실시하였다. Daubechies 2~20와 Coiflet 1~4를 변환 수준별로 soft thresholding 방법을 통하여 MSE를 계산하였다.
- 본 연구에서는 주기 신호 데이터의 이상을 탐지하기위해 웨이블릿 잡음 제거와 Haar 웨이블릿 계수의 분산차이를 이용하여 데이터의 형태를 반영하는 중요 계수를선택하고, 선택된 계수로 SPC 차트를 구축하였다. 잡음제거 시에 다양한 웨이블릿 기저함수와 변환 수준을 적용하고 이들의 MSE 비교를 통해 신호의 형태에 적합한 잡음제거를 시행하였다.
- Jeong 등(2006)은 adaptive threshold# 제안하여 threshold 이상의 값을 가지는 웨이블릿 계수들을 통해 주기 신호 데이터의 변화를 탐지 하는 방법을 제안하였다[7]Zhou 등(2006)은 Haar 웨이블릿을 이용하여웨이블릿 계수를 구하고 특정 수준 이하의 계수들을 분석에 사용하였다[8]. 선택된 계수에 T2 차트를 적용하여 이상을 탐지하고, 이상이 탐지됐을 경우 각 계수별 SPC 차트를 통해 이상 상황을 분석하였다.
- 1 단위로 0에서 2까지 변화시켜평균 변화에 대한 검출 성능을 비교하였다. 성능 평가는각 이상 상황에 대해 10000개의 데이터를 생성한 후 각경우에 적용하여 이상 상황을 탐지한 수의 비율로 평가하였다.
- 이 방법은 주기 신호 데이터의 전체 평균이나 최대값, 최소값 등을 대표값으로 정하고, 이 값을 사용하여 공정의이상을 탐지하였다. 이 방법은 탐지하기 어려운 이상요인이 많고 이상이 탐지되어도 원인 분석에 어려움이 있다.
- Q값을 5%로 하였을 때 시뮬레이션 데이터에 적용한 결과, 7 수준이 선택되었고 7 수준 이하의 128개의 웨이블릿 계수가 선택되었다. 이 세 가지 방법과 본 연구에서 제시한 알고리즘을통해 얻은 16개의 웨이블릿 계수를 사용하는 방법을 (4) 로 하여 다양한 이상 상황에 대하여 검출 성능을 비교하였다. 네 방법 모두 a 수준은 0.
- 있다. 이러한 영역 에서 발생하는 이상 상황의 성능 평가를 위해 시점 800에서 950까지 구간의 평균을 변화 시켜 검출 능력을 평가하였다. 결과는 그림 9와 같다.
- 이를 극복하는 방법으로 데이터가 관찰되는 각 시점을하나의 변수로 보고 분석하는 방법이 제안되었다. 각 시점 별로 Shewhart 차트나 EWMA, CUSUM 차트를 사용하여 공정의 이상을 탐지하였다.
- 본 연구에서는 잡음의 영향을 줄이고, 주기의 전 구간 걸쳐 발생하는 다양한 이상 상황을 효과적으로 탐지할 수 있는 웨이블릿 계수를 이용한 이상 탐지 방법을 제시하고자 한다. 이를 위해 웨이블릿 잡음 제거 방법(wavelet denoise method)과 Haar 웨이블릿 계수의 분산 차이를 이용한 중요 계수 선택 알고리즘을 제안하고 시뮬레이션을 통해 효용성을 확인하고자 한다. 본 연구에서 제시한 방법은 잡음에 영향을 최소화하는 방법이기 때문에 이상 탐지 성능이 기존 방법들보다 우수하며, 신호를 반영하는 중요 계수들만을 사용하기 때문에 자료를 크게 축약할 수 있어서 주기 신호를 가지는 공정의 이상탐지에 효과적인 방법이다.
- 잡음제거 시에 다양한 웨이블릿 기저함수와 변환 수준을 적용하고 이들의 MSE 비교를 통해 신호의 형태에 적합한 잡음제거를 시행하였다. 제안된 방법은 시뮬레이션을 통하여 동일 신뢰 수준에서 기존방법들보다 다양한 구간, 다양한 크기의 평균 변화에 대하여 뛰어난 이상 탐지 능력을 가짐을 확인하였다.
- 주기 신호 데이터의 형태를 잘 반영하는 웨이블릿 계수를 얻기 위하여 원 신호와 앞장에서 구한 잡음이 제거된 신호에 각각 Haar 웨이블릿 변환을 시행하고 웨이블릿계수를 구한다. Haar 웨이블릿 계수들의 분산을 계산하고계수들 간의 분산 차이를 비교한다.
대상 데이터
- 본 연구에는 계수 선택을 위한 웨이블릿 변환의 기저 함수로 Haar 웨이블릿을 사용하였다. Haar 웨이블릿은 계산이 매우 빠르고 간단하며 시간 정보에 대한 해석이용이 하다.
- 시뮬레이션에 사용한 주기 신호 데이터는 Johnson Su 분포 JSU(0, 20, 2, 6)과 JSU(-2, 5, 5, 2)와 JSU(-3, 6, 6, 4) 분포 3개가 합해진 1024의 길이를 가지는 신호로 그림 4와 같은 형태를 지니고 있다. 이 데이터는 구간의 모양에 따라 100에서 300의 구간, 300에서 800 구간, 800에서 1000구간으로 분류할 수 있다.
- 이 데이터는 구간의 모양에 따라 100에서 300의 구간, 300에서 800 구간, 800에서 1000구간으로 분류할 수 있다. 정상신호의 데이터는 평균이 0이고 분산이 1 인 정규분포를 가지는 노이즈를 더하여 200개를 생성하였다.
데이터처리
- 패턴 변화가 크면서 좁은 구간에서의 성능 평가를 위해 가장 급격하게 변하는 시점 100에서 150까지의 구간에 평균 변화를 주어 검출 능력을 평가하였고 결과는 그림 10과 같이 나타났다. 0.
이론/모형
- 잡음 제거 방법을 사용한다. 효과적인 잡음 제거를 위해 Donoho and Johnstone''기이 제시한 soft thresholding 방법을 토대로 잡음 제거 절차를 진행한다. 방법은 다음과 같다.
- 본 연구에서는 원 신호의 잡음을 제거하기 위하여 웨이블릿 잡음 제거 방법을 사용한다. 효과적인 잡음 제거를 위해 Donoho and Johnstone''기이 제시한 soft thresholding 방법을 토대로 잡음 제거 절차를 진행한다.
성능/효과
- 10과 같이 나타났다. 0.7 이전의 평균 변화에는 본 알고리즘이 우수한 성능을 보였고 0.8 이상의 평균 변화에 대해서는 대안 2에서 제안한 알고리즘의 성능이 우수하였다. 대안 2의 알고리즘은 변화가 큰 계수들을 선택하므로 변화가 큰 구간에서 보다 우수한 성능을 보임을 볼 수 있었다.
- 결과는 표 1과 같다. MSE 비교를 통하여 Daubechies 14의 6 수준으로 잡음 제거 하는 것이 가장 효과적인 방법으로 선택되었다.
- 구간이 좁아질수록 더 좋은 성능을 보였고, 특히 평평하고변화가 작은 구간의 이상 탐지에 탁월한 성능을 보였다. 또한, 본 알고리즘을 통해 선택된 계수의 수는 16개로 네가지 방법 중에서 가장 작았다.
- 8 이상의 평균 변화에 대해서는 대안 2에서 제안한 알고리즘의 성능이 우수하였다. 대안 2의 알고리즘은 변화가 큰 계수들을 선택하므로 변화가 큰 구간에서 보다 우수한 성능을 보임을 볼 수 있었다. Case 5.
- 또한, 본 알고리즘을 통해 선택된 계수의 수는 16개로 네가지 방법 중에서 가장 작았다. 따라서 본 알고리즘은 이상 탐지의 성능뿐만 아니라 데이터 축소 효과 또한 뛰어남을 볼 수 있었다.
- MSE 값이 작다는 것은 이상적인 데이터와 차이가 작다는 것, 즉 잡음이 가장 잘 제거된 신호를 의미한다. 따라서 적용한 함수와 수준 중에서 MSE 값이 최소가되는 웨이블릿 기저함수와 변환 수준을 선택하여 가장 잡음이 잘 제거된 신호를 얻는다.
- 제안된 방법은 시뮬레이션을 통하여 동일 신뢰 수준에서 기존방법들보다 다양한 구간, 다양한 크기의 평균 변화에 대하여 뛰어난 이상 탐지 능력을 가짐을 확인하였다. 또한 잡음의 영향을 최소화하는웨이블릿 계수 선택을 통해 데이터의 길이를 급격하게 줄이는 효과도 확인하였다.
- 구간이 좁아질수록 더 좋은 성능을 보였고, 특히 평평하고변화가 작은 구간의 이상 탐지에 탁월한 성능을 보였다. 또한, 본 알고리즘을 통해 선택된 계수의 수는 16개로 네가지 방법 중에서 가장 작았다. 따라서 본 알고리즘은 이상 탐지의 성능뿐만 아니라 데이터 축소 효과 또한 뛰어남을 볼 수 있었다.
- 1024개의 시점을 각각의 변수로 보고 를 계산한다. 방법 (2)는 Jin and Shi가 제안한 threshold를 넘는 계수들을 중요 계수를 사용하는 방법이다시뮬레이션 데이터에 적용한 결과, 웨이블릿 계수의절대값이 threshold 값 2.44를 초과하는 32개의 계수가선택되었다. 방법 (3)은 Zhou 등이 제안한 Q index를 통해 중요 계수를 결정하는 방법이다岡.
- 평평한 좁은 구간의 평균 변화평평하면서 좁은 구간의 성능은 시점 900에서 950까지의 구간에 평균 변화를 주어 검출 능력을 비교하였고 결과는 그림 11과 같다. 본 알고리즘이 다양한 평균 변화에 대해서 다른 방법들 보다 월등한 성능을 보였다. 반면에 대안 2의 방법은 가장 낮은 성능으로 보였다.
- 이를 위해 웨이블릿 잡음 제거 방법(wavelet denoise method)과 Haar 웨이블릿 계수의 분산 차이를 이용한 중요 계수 선택 알고리즘을 제안하고 시뮬레이션을 통해 효용성을 확인하고자 한다. 본 연구에서 제시한 방법은 잡음에 영향을 최소화하는 방법이기 때문에 이상 탐지 성능이 기존 방법들보다 우수하며, 신호를 반영하는 중요 계수들만을 사용하기 때문에 자료를 크게 축약할 수 있어서 주기 신호를 가지는 공정의 이상탐지에 효과적인 방법이다.
- 다양한 크기의 평균 변화를 네 가지 방법에 적용해 본 결과는 그림 7과 같다. 본 연구에서 제안한 방법은 0.1에서 0.5까지의 평균 변화에 대해 다른 방법들보다 우수한 검출 성능을 보였다. 0.
- 이번 경우에서는 변화가 크면서 넓은 구간에서의 성능을 평가하기 위해 시점 300에서 800까지의 구간에 평균 변화를 주어 평가하였고 결과는 그림 8로 표현된다. 본 연구에서 제안한 방법이 0.1에서 0.7까지의 평균변화에 대해 다른 방법들보다 우수한 검출 성능을 보였다.
- 결과는 그림 9와 같다. 본 연구에서 제안한 방법이 0.1에서 1.2까지의 평균 변화에 대해 다른 방법들보다 우수한 검출 성능을 보였다.
- 시뮬레이션 결과를 정리하면 본 연구에서 제안한 방법이 동일한 신뢰 수준에서 Case 4의 일부 구간을 제외한모든 경우에서 가장 우수한 이상 탐지 능력을 보였다. 구간이 좁아질수록 더 좋은 성능을 보였고, 특히 평평하고변화가 작은 구간의 이상 탐지에 탁월한 성능을 보였다.
- 이상의 연구들은 잡음의 크기가 크거나 변동이 적은 특성을 가지는 주기 신호 데이터에는 효과적인 웨이블릿 계수가 선택되지 않는다. 본 연구에서는 잡음의 영향을 줄이고, 주기의 전 구간 걸쳐 발생하는 다양한 이상 상황을 효과적으로 탐지할 수 있는 웨이블릿 계수를 이용한 이상 탐지 방법을 제시하고자 한다.
- 잡음제거 시에 다양한 웨이블릿 기저함수와 변환 수준을 적용하고 이들의 MSE 비교를 통해 신호의 형태에 적합한 잡음제거를 시행하였다. 제안된 방법은 시뮬레이션을 통하여 동일 신뢰 수준에서 기존방법들보다 다양한 구간, 다양한 크기의 평균 변화에 대하여 뛰어난 이상 탐지 능력을 가짐을 확인하였다. 또한 잡음의 영향을 최소화하는웨이블릿 계수 선택을 통해 데이터의 길이를 급격하게 줄이는 효과도 확인하였다.
후속연구
- 필요하다. 또한 이상을 탐지한 후 문제가 되는 웨이블릿 계수를 통해 이상의 형태를 파악하고 원인을 진단할 수 있는 연구가 필요하다.
- 추후 연구 과제로는 실제 공정에 적용하여 실제로 발생하는 다양한 이상 상황에 대한 효과를 검증해보는 연구가 필요하다. 또한 이상을 탐지한 후 문제가 되는 웨이블릿 계수를 통해 이상의 형태를 파악하고 원인을 진단할 수 있는 연구가 필요하다.
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