현재 학교수학에서는 탱그램의 몇 조각을 변끼리 서로 깔끔하게 붙여 특정한 다각형을 만드는 활동을 소개하고 있다. 이 연구는 이러한 활동을 심화하는 것에 초점을 맞추고 있다. 이 연구에서는 탱그램 뿐만 아니라, 그것과 유사한 정사각형 칠교판인 청소납언(淸少納言)의 칠교판과 피타고라스 퍼즐의 각각의 일곱 조각으로 만들 수 있는 볼록 다각형을 피크의 정리와 화 초(和 草)(2007)의 방법으로 모두 구하고 있다. 먼저 피크의 정리를 이용하여, 다음에는 화 초(和 草)(2007)의 방법을 변의 길이 조건을 만족하는 정사각형 칠교판의 경우로 일반화시켜, 정사각형 칠교판의 일곱 조각으로 만들 수 있는 볼록 다각형은 20개를 넘을 수 없다는 것을 보였다. 실제로 확인한 결과, 탱그램, 청소납언(淸少納言)의 칠교판, 피타고라스 퍼즐의 각각의 일곱 조각으로 만들 수 있는 볼록 다각형은 각각 13개, 16개, 12개이다.
현재 학교수학에서는 탱그램의 몇 조각을 변끼리 서로 깔끔하게 붙여 특정한 다각형을 만드는 활동을 소개하고 있다. 이 연구는 이러한 활동을 심화하는 것에 초점을 맞추고 있다. 이 연구에서는 탱그램 뿐만 아니라, 그것과 유사한 정사각형 칠교판인 청소납언(淸少納言)의 칠교판과 피타고라스 퍼즐의 각각의 일곱 조각으로 만들 수 있는 볼록 다각형을 피크의 정리와 화 초(和 草)(2007)의 방법으로 모두 구하고 있다. 먼저 피크의 정리를 이용하여, 다음에는 화 초(和 草)(2007)의 방법을 변의 길이 조건을 만족하는 정사각형 칠교판의 경우로 일반화시켜, 정사각형 칠교판의 일곱 조각으로 만들 수 있는 볼록 다각형은 20개를 넘을 수 없다는 것을 보였다. 실제로 확인한 결과, 탱그램, 청소납언(淸少納言)의 칠교판, 피타고라스 퍼즐의 각각의 일곱 조각으로 만들 수 있는 볼록 다각형은 각각 13개, 16개, 12개이다.
In school mathematics, activities to make particular convex polygons by attaching edgewise some pieces of tangram are introduced. This paper focus on deepening these activities. In this paper, by using Pick's Theorem and 和 草's method, all the convex polygons by attaching edgewise seven pieces of tan...
In school mathematics, activities to make particular convex polygons by attaching edgewise some pieces of tangram are introduced. This paper focus on deepening these activities. In this paper, by using Pick's Theorem and 和 草's method, all the convex polygons by attaching edgewise seven pieces of tangram, Sei Shonagon(淸少納言)'s tangram, and Pythagoras puzzle are found out respectively. By using Pick's Theorem to the square seven-piece puzzles satisfying conditions of the length of edge, it is showed that the number of convex polygons by attaching edgewise seven pieces of them can not exceed 20. And same result is obtained by generalizing 和 草's method. The number of convex polygons by attaching edgewise seven pieces of tangram, Sei Shonagon's tangram, and Pythagoras puzzle are 13, 16, and 12 respectively.
In school mathematics, activities to make particular convex polygons by attaching edgewise some pieces of tangram are introduced. This paper focus on deepening these activities. In this paper, by using Pick's Theorem and 和 草's method, all the convex polygons by attaching edgewise seven pieces of tangram, Sei Shonagon(淸少納言)'s tangram, and Pythagoras puzzle are found out respectively. By using Pick's Theorem to the square seven-piece puzzles satisfying conditions of the length of edge, it is showed that the number of convex polygons by attaching edgewise seven pieces of them can not exceed 20. And same result is obtained by generalizing 和 草's method. The number of convex polygons by attaching edgewise seven pieces of tangram, Sei Shonagon's tangram, and Pythagoras puzzle are 13, 16, and 12 respectively.
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문제 정의
이런 과정을 거쳐 학생들이 만든 볼록다각형을 모두 모아 그 종류를 분류하면, 예를 들어 탱그램의 경우, 어렵지 않게 13개의 서로 다른 볼록 다각형이 있다는 것을 확인할 수 있을 것이다. 그러나 학생들이 찾아낸 볼록 다각형이 13개임을 확인하는 것으로 수업을 마치는 대신, 학생들에게 더 이상의 볼록 다각형이 없다는 것을 어떻게 알 수 있는지 질문한다. 이러한 질문은 탱그램의 일곱 조각으로 만들 수 있는 볼록 다각형이 모두 13개뿐이라는 것을 정당화하도록 요구하는 것이다,
맞추고 있다. 이 연구에서는 이러한 활동을 심화시켜, 학교수학에서 탱그램을 비롯한 정사각형 칠교판의 일곱 조각을 서로 깔끔하게 붙여 만들 수 있는 볼록 다각형을 탐색하고 있다. 이러한 탐색을 위해, 먼저 학생들에게 정사각형 칠교판의 일곱 조각을 모두 사용해서 나름대로 여러가지 볼록 다각형을 만들어 보도록 요구한다.
그러나 학생들이 찾아낸 볼록 다각형이 13개임을 확인하는 것으로 수업을 마치는 대신, 학생들에게 더 이상의 볼록 다각형이 없다는 것을 어떻게 알 수 있는지 질문한다. 이러한 질문은 탱그램의 일곱 조각으로 만들 수 있는 볼록 다각형이 모두 13개뿐이라는 것을 정당화하도록 요구하는 것이다,
이 연구에서는 탱그램을 비록한 정사각형 칠교판의 수학교육적 활용을 가능하게 하기 위한 한 방법으로, 일곱 조각으로 구할 수 있는 볼록 다각형의 수에 대한 수학적 탐색에 초점을 맞추고 있기 때문이다. 즉, 이 연구는 정사각형 칠교판의 일곱 조각으로 만들 수 있는 볼록 다각형의 탐색이라는 수업 아이디어의 가능성을 실제 수업에 앞서 확인하는 것을 목적으로 하는 것이다. 그런 만큼 학생들을 대상으로 이러한 탐색을 구체적으로 시도하고, 그 효용성을 논하는 것은 후속 연구를 통해 이루어질 수 있을 것이다.
제안 방법
이 연구에서는 피크의 정리와 和々 草(2007) 의 방법을 각각 이용하여 탱그램, 淸少納言의 칠교판, 피타고라스의 각각의 일곱 조각으로 만들 수 있는 볼록 다각형을 모두 구하였다. 탱그램의 일곱 조각으로 만들 수 있는 볼록 다각형은 13개이고, 淸少納言의 칠교판의 일곱 조각으로 만들 수 있는 볼록 다각형은 16개이다.
이 연구에서는, 피크의 정리(Pick's Theorem)' 와 和力草(2007)가 사용한 방법을 이용하여 '정사각형 칠교판'(박교식, 2004)의 일곱 조각으로 만들 수 있는 볼록 다각형을 탐색한다. 그러나 이 연구에서는 각 조각의 내각의 크기가 45°, 90。, 또는 135。인 정사각형 칠교판으로 한정한다.
이것은 일곱 조각을 모두 깔끔하게 붙여 만든 볼록 다각형의 내각의 크기도 또한 45°, 90°, 또는 135。임을 의미한다. 특히 이 연구에서는 이러한 정사각형 칠교판으로, 탱그램과 박교식(2004)이 소개하고 있는 '淸少納言 (Sei Shonagon)의 칠교판, 및, 피타고라스 퍼즐'을 대상으로, 그것들의 각각의 일곱 조각으로 만들 수 있는 볼록 다각형을 탐색한다. 이러한 탐색은 학교수학에서 소개하고 있는 탱그램의 수학교육적 활용성을 더 높일 수 있을 것이다.
각 조각의 특성에 따라 어떤 특정한 볼록 다각형을 만들 수 없는 경우도 있기 때문이다. 학생들은 이 두가지를 탱그램, 淸少納言의 칠교판, 피타고라스 퍼즐의 각각의 일곱 조각의 특징을 비교하여 확인할 수 있다.
대상 데이터
45°, 90。, 또는 135。인 정사각형 칠교판으로 한정한다. 이것은 일곱 조각을 모두 깔끔하게 붙여 만든 볼록 다각형의 내각의 크기도 또한 45°, 90°, 또는 135。임을 의미한다.
이론/모형
이 연구에서는 특히 탱그램뿐만 아니라, 그것과 유사한 정사각형 칠교판인 淸少納言'의 칠교판과 피타고라스 퍼즐의 각각의 일곱 조각으로 만들 수 있는 볼록 다각형을 피크의 정리와 和々 草(2007)의 방법으로 모두 구하고 있다. 변의 길이 조건(또는 내각의 크기가 45°, 90° 또는 135。라는 조건)을 만족하는 정사각형 칠교판의 경우, 이 두 방법으로 구한 결과는 완전히 일치한다.
성능/효과
이 연구에서 제시한 두 방법과 관련해서 학생들은 먼저 변의 길이 조건을 만족하는 정사각형 칠교판의 경우, 일곱 조각으로 만들 수 있는 볼록 다각형의 수는 많아야 20개를 넘을 수 없다는 것을 알아야 한다. 다음으로는 일곱 조각으로 만들 수 있는 실제 볼록 다각형은 일곱 조각을 구성하는 각 조각의 특성에 좌우된다는 것을 알아야 한다.
그리고 이어서 탱그램의 일곱 조각으로 그 중 네 개를 만들 수 없다는 것을 보였다. 이에 비해, 이 연구에서는 和々草(2007)의 방법을 변의 길이 조건을 만족하는 정사각형 칠교판의 경우로 일반화시켜, 그것의 일곱 조각으로 만들 수 있는 볼록 다각형은 20개를 넘을 수 없다는 것을 보였다. 그리고 이에 앞서 먼저 피크의 정리를 이용하여 동일한 결과를 얻었다.
지금까지의 결과를 종합하면, 변의 길이 조건을 만족하면서 (8, 5), (10, 4), (12, 3), (18, 0)을 만족하는 CLP는 모두 20개뿐이다. 이것을 함께 나타내면 [그림 Ⅱ-7]과 같다.
후속연구
즉, 이 연구는 정사각형 칠교판의 일곱 조각으로 만들 수 있는 볼록 다각형의 탐색이라는 수업 아이디어의 가능성을 실제 수업에 앞서 확인하는 것을 목적으로 하는 것이다. 그런 만큼 학생들을 대상으로 이러한 탐색을 구체적으로 시도하고, 그 효용성을 논하는 것은 후속 연구를 통해 이루어질 수 있을 것이다.
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