[논문]지반의 공간적 변동성을 고려한 확률론적 해석기법에 관한 연구

조성은; 박형춘

doi:10.7843/kgs.2008.24.8.111

지반의 공간적 변동성을 고려한 확률론적 해석기법에 관한 연구
A Study on the Probabilistic Analysis Method Considering Spatial Variability of Soil Properties 원문보기

韓國地盤工學會論文集 = Journal of the Korean geotechnical society, v.24 no.8, 2008년, pp.111 - 123

조성은 (한국수자원공사 수자원연구원) , 박형춘 (충남대학교 토목공학과)

초록
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지반공학 문제는 많은 불확실한 요인을 내포한다. 이러한 불확실성 중 일부는 해석 수행과정에 필요한 지반 물성의 변동성과 관련이 있다. 본 연구에서는 지반물성의 공간적 변동성을 고려한 확률론적 해석을 수행할 수 있는 절차를 제시하였다. 제시된 방법은 유한차분 해석기법과 랜덤필드 이론을 확률론적 해석기법에 통합하게 된다. 지정된 입력 확률분포함수와 자기상관함수를 따르는 non-Gaussian 랜덤필드를 생성하기 위하여 Karhunen-$Lo{\grave{e}}ve$ 전개법을 사용하였다. 생성된 랜덤필드를 이용하여 확률론적 응답을 얻기 위해 Monte Carlo 시뮬레이션을 수행하였다. 지반의 공간적인 변동성에 기인하는 불확실성의 효과를 연구하기 위하여 대상 기초의 침하량과 지지력에 대한 일련의 해석을 수행하였다. 해석결과는 지반공학 문제에서 불확실성을 고려할 수 있는 관점을 제시하며 확률론적 평가의 결과에 미치는 지반물성의 공간적 변동성의 중요성을 보여준다.

Abstract ▼ AI-Helper

Geotechnical engineering problems are characterized by many sources of uncertainty. Some of these sources are connected to the uncertainties of soil properties involved in the analysis. In this paper, a numerical procedure for a probabilistic analysis that considers the spatial variability of soil properties is presented to study the response of spatially random soil. The approach integrates a commercial finite difference method and random field theory into the framework of a probabilistic analysis. Two-dimensional non-Gaussian random fields are generated based on a Karhunen-$Lo{\grave{e}}ve$ expansion in a fashion consistent with a specified marginal distribution function and an autocorrelation function. A Monte Carlo simulation is then used to determine the statistical response based on the random fields. A series of analyses were performed to study the effects of uncertainty due to the spatial heterogeneity on the settlement and bearing capacity of a rough strip footing. The simulations provide insight into the application of uncertainty treatment to the geotechnical problem and show the importance of the spatial variability of soil properties with regard to the outcome of a probabilistic assessment.

주제어

AI 본문요약
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문제 정의

다수의 랜덤 필드를 생성하고 생성된 랜덤 필드를 이용하여 Monte Carlo 시뮬레이션을 수행함으로써 지반구조물의 거동에 대한 확률분포 및 파괴확률을 평가할 수 있었다. 본 연구에서는 제시된 기법의 지반 공학 문제에의 적용성을 검토하기 위하여 얕은 기초의 침하량 및 비 배수 점성 지반에서의 지지력 문제에 적용하였다. 해석 결과에 따르면 지반물성을 나타내는 변수를 단지 하나의 랜덤변수로 고려하는 기존의 확률론적 해석법과 달리 지반 물성을 확률분포와 자기 상관구조를 만족하는 랜덤 필드로 모델링하여 공간적 변동을 고려하는 방법은 결정론적 해석이나 지반물성을 하나의 랜덤변수로 고려하는 경우에 나타나지 않는 다양한 지반의 파괴 메카니즘을 반영할 수 있었다.
본 연구에서는 확률론적 해석에 지반 물성의 변동성을 고려하기 위한 수치적인 절차를 제시하였다. 제시된 방법은 유한차분 해석기법과 랜덤 필드 이론을 확률론적 해석기법에 통합하게 된다.
본 연구에서는 확률론적 해석에 지반의 공간적 변동성을 고려하기 위한 해석 절차를 제시하였다. 제시된 방법은 유한차분 해석기법과 랜덤 필드 이론을 확률론적 해석기법에 통합하게 된다.

제안 방법

지반의 자기 상관 거리에 대해서는 축적된 자료가 많지 않아 더 많은 연구가 필요한 실정이지만 El-Ramly 등(2003)이 수행한 문헌연구의 결과에 따르면 수평방향의 자기상관거리는 10-40m의 범위이고 연직방향의 자기상관거리는 l-3m 정도인 것으로 알려져 있다. 본 연구에서는 기초의 즉시침하에 대한 적용을 위하여 수평 자기 상관 거리 10m와 연직 자기 상관 거리 Im를 적용하였으며 5000 회의 랜덤필드를 생성하여 이에 대한 기초 바닥 중앙에서의 즉시침하량을 유한차분 해석으로 구하였다. 각각의 생성된 랜덤 필드는 해석영역에 대하여 가능한 하나의 지반물성 분포를 나타낸다.
본 연구에서는 제안된 절차를 얕은 기초의 즉시침하와점성토 지반위의 얕은 기초의 지지력 문제에 적용하였다. 한계상태함수를 계산하기 위하여 유한차분해석 프로그램인 FLAC을 이용하여 침하와 지지력을 구하였다 확률론적 해석은 랜덤변수의 확률분포가 대수 정규분포(log-normal distribution)인 경우를 고려하였다.
예제 1과 마찬가지로 랜덤필드를 나타내기 위하여 100개의 성분을 사용하였다. 본 예제에서는 수평 자기 상관 거리 10m와 연직 자기 상관 거리 2m를 적용하였으며 5000회의 랜덤 필드를 생성하여 이에 대한 해석을 수행하였다. 탄성계수와포아송비 등 변형에 관련된 변수는 지지력에 큰 영향을 미치지 않으므로 지반의 점착력만을 랜덤변수로 고려하였다.
위한 수치적인 절차를 제시하였다. 제시된 방법은 유한차분 해석기법과 랜덤 필드 이론을 확률론적 해석기법에 통합하게 된다. 공간적으로 변하는 지반 물성은 랜덤 필드 이론에 의해 모델링 되며 물성의 공간적 변동성이 지반의 거동에 미치는 영향을 평가하기 위하여 유한차분 해석이 수행된다.
제안된 기법을 기초의 침하량과 지지력 문제에 적용하여 지반의 공간적 변동성이 확률론적 평가에 미치는 영향을 예시하였다
본 예제에서는 수평 자기 상관 거리 10m와 연직 자기 상관 거리 2m를 적용하였으며 5000회의 랜덤 필드를 생성하여 이에 대한 해석을 수행하였다. 탄성계수와포아송비 등 변형에 관련된 변수는 지지력에 큰 영향을 미치지 않으므로 지반의 점착력만을 랜덤변수로 고려하였다. 해석에 사용된 지반의 물성치는 표 2에 나타내었다.
적용하였다. 한계상태함수를 계산하기 위하여 유한차분해석 프로그램인 FLAC을 이용하여 침하와 지지력을 구하였다 확률론적 해석은 랜덤변수의 확률분포가 대수 정규분포(log-normal distribution)인 경우를 고려하였다. 입력 물성의 확률분포는 변수 X의 평균 奴와 표준편차 g로 표현된다.
해석에서 기초에 작용하는 하중은 기초가 위치하게 되는 지표면의 절점에 증가하는 연직 방향의 변위를 작용시킴으로써 표현하였고(FLAC의 경우 매 단계마다변위증분인 작은 연직 속도 성분을 작용시킴) 거친 기초를 나타내기 위해 기초를 나타내는 절점의 수평변위가 0이 되게 하였다. 이때 지반의 비선형거동을 나타내기 위해 Mohr-Coulomb 파괴규준을 사용하였다.

대상 데이터

그림에서 알 수 있듯이 고유치는 단조 감소하는 경향을 보이며 자기 상관 거리가 작을수록 고유치의 감소하는 정도가작으므로 랜덤필드를 정확하게 나타내기 위해 더 많은 항이 필요함을 알 수 있다. 본 연구에서는 랜덤 필드를 나타내기 위하여 100개의 성분을 사용하였다. 지반의 자기 상관 거리에 대해서는 축적된 자료가 많지 않아 더 많은 연구가 필요한 실정이지만 El-Ramly 등(2003)이 수행한 문헌연구의 결과에 따르면 수평방향의 자기상관거리는 10-40m의 범위이고 연직방향의 자기상관거리는 l-3m 정도인 것으로 알려져 있다.
해석에 사용된 영역은 예제 1에서 사용된 것과 같다. 예제 1과 마찬가지로 랜덤필드를 나타내기 위하여 100개의 성분을 사용하였다. 본 예제에서는 수평 자기 상관 거리 10m와 연직 자기 상관 거리 2m를 적용하였으며 5000회의 랜덤 필드를 생성하여 이에 대한 해석을 수행하였다.
침하량의 경우 탄성계수와 포아송비가 영향을 미치는 주요변수이지만 포아송비의 경우 침하량의 크기에 큰 영향을 미치지 않는 것으로 알려져 있으므로 탄성계수만을 랜덤변수로 고려하였다(Paice 등, 1996). 해석에 사용된 지반의 물성치는 표 1에 나타내었으며 기초에 작용하는 하중은 0.2MPa/m2 을 사용하였다.

데이터처리

지정된 입력 확률분포함수와 자기상관함수를 따르는 non-Gaussian 랜덤 필드를 생성하기 위하여 Karhunen-Loeve 전개법을 사용하여 Gaussian 랜덤필드를 생성한 후 non-Gaussian 랜덤 필드로 변환하였다. 다수의 랜덤 필드를 생성하고 생성된 랜덤 필드를 이용하여 Monte Carlo 시뮬레이션을 수행함으로써 지반구조물의 거동에 대한 확률분포 및 파괴확률을 평가할 수 있었다. 본 연구에서는 제시된 기법의 지반 공학 문제에의 적용성을 검토하기 위하여 얕은 기초의 침하량 및 비 배수 점성 지반에서의 지지력 문제에 적용하였다.

이론/모형

따라서 보다 작은 수의 샘플링으로 확률분포의 넓은 영역을 망라할 수 있는 효율적인 샘플링기법이다. "개의 랜덤변수 &, &, 頒에 대해 규정된 확률분포함수로부터 凡血번의 샘플링을 Latin hypercube 샘플링 기법으로 수행하기 위하여 본 연구에서는 랜덤변수들 사이의 상관성을 고려한 샘플링을 수행할 수 있는 방법(Stein, 1987)을 적용하였다.
Liu와 Der Kiureghian(1986)은 non-Gaussian 다변량 분포를 표준정규분포로 변환하기 위하여 Nataf 모델을 사용하였다. Nataf 모델을 적용하기 위하여 non-Gaussian 변수들의 각 쌍들 사이의 상관계수는 Gaussian 변수들의 각 쌍들 사이의 상관계수 (3), 를 구성하기 위하여 조정되어야 한다.
샘플링해야 한다. 본 연구에서는 g를 생성하기 위하여 Latin hypercube 샘플링 기법을 사용한다. Random 샘플링은 표본들이 모집단 전체의 경향을 정확하게 나타낼 수 있도록 주어진 확률분포로부터 무작위로 추출하는 방법이다.
본 연구에서는 지반 물성의 비등방 랜랜덤 필드를이산화하기 위해서 다른 방법들과 비교해 소정의 정확도를 얻기 위해 요구되는 항의 수가 가장 적은 Karhunen-Loeve 전개법(Ghiocel과 Ghanem, 2002)을 사용하였다.
되게 하였다. 이때 지반의 비선형거동을 나타내기 위해 Mohr-Coulomb 파괴규준을 사용하였다. 기초의 접촉응력은 평형상태가 얻어진 상태에서 기초의 절점에서의 합력을 기초의 폭으로 나눔으로써 구할 수 있으며 극한지지력은 정상상태의 소성 흐름 조건(steady plastic flow condition)에서의 접촉응력으로 정의할 수 있다.
공간적으로 변하는 지반 물성은 랜덤필드 이론에 의해 모델링 되며 물성의 공간적 변동성이 지반의 거동에 미치는 영향을 평가하기 위하여 유한차분 해석이 수행된다. 지정된 입력 확률분포함수와 자기상관함수를 따르는 non-Gaussian 랜덤 필드를 생성하기 위하여 Karhunen-Loeve 전개법을 사용하여 Gaussian 랜덤필드를 생성한 후 non-Gaussian 랜덤 필드로 변환하였다. 다수의 랜덤 필드를 생성하고 생성된 랜덤 필드를 이용하여 Monte Carlo 시뮬레이션을 수행함으로써 지반구조물의 거동에 대한 확률분포 및 파괴확률을 평가할 수 있었다.
공간적으로 변하는 지반 물성은 랜덤 필드 이론에 의해 모델링 되며 물성의 공간적 변동성이 지반의 거동에 미치는 영향을 평가하기 위하여 유한차분 해석이 수행된다. 지정된 확률분포함수와 자기 상관 함수(autocorrelation ftmction)를 따르는 non-Gaussian 랜덤 필드를 생성하기 위하여 Karhunen-Loeve 전개법을 사용하여 Gaussian 랜덤 필드를 생성한 후 non-Gaussian 랜덤필드로 변환하였다.

성능/효과

한편, 랜덤필드를 이산화 하는데 보다 효율적인 KLE (Karhunen-Loeve expansion), OSE(orthogonal series expansion), EOLE(Expansion Optimal Linear Estimation) 방법 같은 급수전개법들이 개발되었다. 모든 급수 전개법들은 랜덤 변수들과 랜덤 필드의 상관구조에 의존하는 결정론적 인 공간의 함수들에 의해 표현되는 Gaussian 필드로 결과가 귀결된다. 이때 랜덤 필드의 근사화는 영향이 작은 항들의 생략을 통해 이루어진다.
지반의 변동성을 고려하지 않고 평균 탄성계수를 이용한 결정론적 해석에 의한 침하량은 0.88cm로 계산되었다. 그림 4(a)와 그림 4(b)는 Monte Carlo 시뮬레이션의 시행횟수에 따른 즉시 침하의 평균값과 표준편차의 값을 나타낸 것으로 일정 수준의 횟수 이후에 평균 값과 표준편차는 수렴하고 있음을 알 수 있으며 그림 4(a)에서 지반의 변동성을 고려할 경우 침하량의 평균값은 결정론에 의한 침하량보다 크게 계산되고 있음을 알 수 있다.
평균값을 이용한 결정론적 해석에 의한 지지력은 518kPa로 계산되어 이론값인 514kPa과 0.78%의 오차를 보였다. 기초 끝부분에서의 요소 망을 더 작게 구성함으로써 보다 정확한 값을 얻을 수 있으나 본 연구에서는 Monte Carlo 시뮬레이션을 수행하는데 소요되는 계산량을 고려하여 그림 2의 요소 망을 유지하였다.
본 연구에서는 제시된 기법의 지반 공학 문제에의 적용성을 검토하기 위하여 얕은 기초의 침하량 및 비 배수 점성 지반에서의 지지력 문제에 적용하였다. 해석 결과에 따르면 지반물성을 나타내는 변수를 단지 하나의 랜덤변수로 고려하는 기존의 확률론적 해석법과 달리 지반 물성을 확률분포와 자기 상관구조를 만족하는 랜덤 필드로 모델링하여 공간적 변동을 고려하는 방법은 결정론적 해석이나 지반물성을 하나의 랜덤변수로 고려하는 경우에 나타나지 않는 다양한 지반의 파괴 메카니즘을 반영할 수 있었다.

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저자의 다른 논문 :

표제어: PCR

동의어: Packet Collision Rate

용어 설명 출처 목록 (6)

용어 설명: PCR은 세균 특이성이 있는 primer를 이용하여 적은 수의 세균이 있을지라도 쉽게 검출할 수 있는 유용한 방법이며, 이를 이용하여 구강 내 치면세균막이나 타액에서 직접 세균을 검출할 수 있게 되었다[8].

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