[논문]지반물성의 공간적 변동성을 고려한 한계평형법에 의한 확률론적 사면안정 해석

조성은; 박형춘

doi:10.7843/kgs.2009.25.12.13

지반물성의 공간적 변동성을 고려한 한계평형법에 의한 확률론적 사면안정 해석
Probabilistic Stability Analysis of Slopes by the Limit Equilibrium Method Considering Spatial Variability of Soil Property 원문보기

韓國地盤工學會論文集 = Journal of the Korean geotechnical society, v.25 no.12, 2009년, pp.13 - 25

조성은 (한국수자원공사 K-water 연구원) , 박형춘 (충남대학교 토목공학과)

초록
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본 연구에서는 확률론적 해석에 지반의 공간적 변동성을 고려하기 위한 해석 절차를 제시하였다. 제안된 방법은 한계평형법을 이용하는 결정론적 해석방법을 지반정수의 불확실성과 공간적 변동성을 고려할 수 있도록 확률론적 사면안정 해석으로 확장한다. 개발된 방법은 랜덤유한요소해석법과 같이 미리 임계파괴면을 가정하지 않으면서도 계산시간을 단축할 수 있다는 장점이 있다. 지정된 입력 확률분포함수와 자기상관함수를 따르는 2차원의 랜덤필드를 생성하기 위하여 Karhunen-Lo$\grave{e}$ve 전개법을 사용하였으며, 생성된 랜덤필드를 이용하여 확률론적 응답을 얻기 위해 Monte Carlo 시뮬레이션을 수행하였다. 개발된 해석기법의 적용성을 검토하고 지반정수의 공간적 변화가 확률론적 안정해석에 미치는 영향을 검토하기 위해 예제해석을 수행하였으며, 해석결과는 제안된 방법이 지반물성의 공간적 변동성에 따른 다양한 사면파괴 형태를 확률론적 사면안정 해석에 효과적으로 고려할 수 있음을 보여준다.

Abstract ▼ AI-Helper

In this paper, a numerical procedure of probabilistic slope stability analysis that considers the spatial variability of soil properties is presented. The procedure extends the deterministic analysis based on the limit equilibrium method of slices to a probabilistic approach that accounts for the uncertainties and spatial variation of the soil parameters. Making no a priori assumptions about the critical failure surface like the Random Finite Element Method (RFEM), the approach saves the amount of solution time required to perform the analysis. Two-dimensional random fields are generated based on a Karhunen-Lo$\grave{e}$ve expansion in a fashion consistent with a specified marginal distribution function and an autocorrelation function. A Monte Carlo simulation is then used to determine the statistical response based on the random fields. A series of analyses were performed to verify the application potential of the proposed method and to study the effects of uncertainty caused by the spatial heterogeneity on the stability of slope. The results show that the proposed method can efficiently consider the various failure mechanisms caused by the spatial variability of soil property in the probabilistic slope stability assessment.

주제어

AI 본문요약
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문제 정의

이 방법은 해석과정에서 파괴면과 안전율이 자동적으로 결정되는 강도감소법(strength reduction method)을 랜덤필드 이론과 통합하여 Monte Carlo 시뮬레이션을 통한 확률론적 사면안정 해석에 적용함으로써 지반물성의 공간적인 변동을 포함한 불확실성을 고려하였다(Griffiths와 Fenton, 2004; Hicks와 Onisiphorou, 2005). 그러나 RFEM은 한번의 안정해석 자체에 매우 긴 계산시간이 소요되기 때문에 수많은 해석을 반복 수행해야 하는 Monte Carlo 시뮬레이션에 적용하는 경우 계산시간이 매우 길어져 파괴 확률 및 안전율의 확률분포를 정확하게 구하기 어렵고 랜덤필드를 이산화하기 위해 사용하는 방법의 한계로 인하여 실제 문제에 적용된 적은 없으며 이론적 전개를 통하여 공간적 물성의 변화가 확률론적 사면안정에 미치는 영향을 연구하기 위해 사용되었다.
본 연구에서는 지반물성의 불확실성과 공간적 변동성을 고려할 수 있도록 한계평형법을 확장하여 미리 임계 파괴면을 가정하지 않으면서도 계산시간을 단축할 수 있는 확률론적 사면안정 해석기법을 개발하고 이론적 전개를 통하여 지반물성의 공간적 변동성이 확률론적 사면안정 해석에 미치는 영향을 연구하였다. 지정된 입력 확률 분포함수와 자기상관함수(autocorrelation function)를 따르는 2차원의 랜덤필드를 생성하기 위하여 Karhunen-Loève 전개법을 사용하였으며 생성된 랜덤필드를 이용하여 확률론적 응답을 얻기 위해 Monte Carlo 시뮬레이션을 수행하였다.
본 연구에서는 확률론적 해석에 지반의 공간적 변동성을 고려하기 위한 해석 절차를 제시하였다. 제안된 확률론적 사면안정 해석기법은 미리 임계파괴면을 가정 하지 않으면서도 계산시간을 단축할 수 있도록 한계평형법을 이용하는 결정론적 해석방법을 지반정수의 불확실성과 공간적 변동성을 고려할 수 있도록 확장하였다.

가설 설정

입력물성은 확률론적으로 변수 X의 평균μX와 표준편차 σX로 정의되는 대수정규분포(lognormal distribution)를 따른다고 가정하였다.

제안 방법

② 재현된 랜덤필드에 대하여 한계평형해석을 이용한 안정해석을 수행하여 임계파괴면과 해당하는 안전율을 구한다.
Monte-Carlo Simulation의 입력치의 샘플링(sampling)은 계산의 효율을 높이기 위해 Latin Hypercube 샘플링 기법을 사용하였다. 개발된 해석기법의 적용성을 검토하고 지반정수의 공간적 변화가 확률론적 안정해석에 미치는 영향을 검토하기 위해 예제해석을 수행하였으며 다음과 같은 결론을 얻었다.
지반의 자기상관거리에 대해서는 축적된 자료가 많지 않아 더 많은 연구가 필요한 실정이지만 El-Ramly 등(2003)이 수행한 문헌연구의 결과에 따르면 수평방향의 자기상관거리는 10～40m의 범위이고 연직방향의 자기상관거리는 1～3m 정도인 것으로 알려져 있다. 본 연구에서는 수평 자기상관거리 10～40m와 연직 자기상관거리 1～4m를 적용하였으며 100,000회의 랜덤필드를 생성하여 이에 대한 안정해석을 수행하였다. 각각의 생성된 랜덤필드는 해석영역에 대하여 가능한 하나의 지반물성 분포를 나타낸다.
본 예제에서는 개발된 해석기법의 적용성을 검토하기 위하여, 그림 3과 같이 단일 지층으로 이루어진 사면의 안정해석을 수행하였으며, 비배수 전단강도 cu를 확률 변수로 고려하였다. 흙의 단위중량의 변동성은 다른 변수들에 비해 작아 결정론적으로 취급해도 해석결과에큰 영향을 미치지 않게 되므로(Alonso, 1976), 포화 단위 중량의 경우 일정한 값으로 고려하였다.
비등방 랜덤필드에서 자기상관거리의 크기가 해석에 미치는 영향을 검토하기 위하여 자기상관거리를 변화 시키며 일련의 해석을 수행하였다. 그림 8(a)는 수평방향의 자기상관거리에 따른 안전율의 변동성 VFs를 나타낸 것으로 자기상관거리가 커질수록 안전율의 변동폭이 커지는 경향을 나타내고 있다.

대상 데이터

그림에서 알 수 있듯이 고유치는 단조 감소하는 경향을 보이며 자기상관거리가 작을수록 고유치의 감소하는 정도가 작음을 알 수 있다. 본 연구에서는 랜덤필드를 나타내기 위하여 100개의 성분을 사용하였다. 지반의 자기상관거리에 대해서는 축적된 자료가 많지 않아 더 많은 연구가 필요한 실정이지만 El-Ramly 등(2003)이 수행한 문헌연구의 결과에 따르면 수평방향의 자기상관거리는 10～40m의 범위이고 연직방향의 자기상관거리는 1～3m 정도인 것으로 알려져 있다.
절편법에 의한 한계평형 해석도 유한요소법이나 유한차분법과 같은 다른 수치 해석기법과 마찬가지로 해의 특성을 잘 잡아내기에 충분한 절편 개수를 사용하여 연속적인 해석영역을 공간 적인 이산화를 통하여 표현해야 한다. 표 2의 결과에 의하면 40개 전･후의 절편을 사용하면 절편의 개수가 해석결과에 미치는 영향이 크지 않으므로 본 연구에서는 45개의 절편을 사용하여 해석을 수행하였다.

데이터처리

흙의 단위중량의 변동성은 다른 변수들에 비해 작아 결정론적으로 취급해도 해석결과에큰 영향을 미치지 않게 되므로(Alonso, 1976), 포화 단위 중량의 경우 일정한 값으로 고려하였다. 표 1은 사용된 지반의 평균과 변동계수 V_X(coefficient of variation)를 나타내며 변동계수에 따라 2가지 경우에 대하여 해석을 수행하였다. 입력물성은 확률론적으로 변수 X의 평균μ_X와 표준편차 σ_X로 정의되는 대수정규분포(lognormal distribution)를 따른다고 가정하였다.

이론/모형

.,ξM에 대해 규정된 확률분포함수로부터 Nsim 번의 샘플링을 Latin hypercube 샘플링 기법으로 수행하기 위하여 본 연구에서는 랜덤 변수들 사이의 상관성을 고려한 샘플링을 수행할 수 있는 방법(Stein, 1987)을 적용하였다.
지정된 입력 확률 분포함수와 자기상관함수(autocorrelation function)를 따르는 2차원의 랜덤필드를 생성하기 위하여 Karhunen-Loève 전개법을 사용하였으며 생성된 랜덤필드를 이용하여 확률론적 응답을 얻기 위해 Monte Carlo 시뮬레이션을 수행하였다. Monte-Carlo Simulation의 입력치의 샘플링 (sampling)은 계산의 효율을 높이기 위해 Latin Hypercube 샘플링 기법을 사용하였다.
지정된 입력 확률 분포함수와 자기상관함수(autocorrelation function)를 따르는 2차원의 랜덤필드를 생성하기 위하여 Karhunen-Loève 전개법을 사용하였으며 생성된 랜덤필드를 이용하여 확률론적 응답을 얻기 위해 Monte Carlo 시뮬레이션을 수행하였다. Monte-Carlo Simulation의 입력치의 샘플링 (sampling)은 계산의 효율을 높이기 위해 Latin Hypercube 샘플링 기법을 사용하였다.
본 연구에서는 ξ를 생성하기 위하여 Latin hypercube 샘플링 기법을 사용한다.
본 연구에서는 계산시간이 짧아 Monte Carlo 시뮬레이션에 적합한 한계평형법을 사용하면서도 해석과정에서 임계파괴면을 결정할 수 있도록 Karhunen-Loève 전개법을 사용하여 랜덤필드를 이산화하고 생성된 랜덤필드를 이용하여 확률론적 응답을 얻기 위해 Monte Carlo 시뮬레이션을 수행하였다.
본 연구에서는 지반 물성의 비등방 랜덤필드를 이산화하기 위해서 다른 방법들과 비교해 소정의 정확도를 얻기 위해 요구되는 항의 수가 가장 적은 Karhunen-Loève 전개법(Ghiocel과 Ghanem, 2002)을 사용하였다.
원호 가상활동면에 대한 최적화식 식 (1)과 같은 비구속 최적화문제의 해를 찾는 기법으로는 Simplex방법, DFP (Davidon-Fletcher-Powell)방법 및 BFGS(Broyden-FletcherGoldfarb-Shanno)방법 등이 있다. 본 연구에서는 최적화 변수에 대한 목적함수의 미분값인 민감도를 요구하는 방법 중 그 효율성이 널리 알려진 BFGS방법을 사용하였다. 최적화 탐색전략의 자세한 내용은 김주용(1998)에 의해 자세히 기술되었다.
한계평형법을 사용하여 안전율을 산정하면서 최소안전율을 주는 임계단면을 찾는 방법에 대해서 최근까지 많은 연구들이 진행되어 왔다. 본 연구에서는 힘평형을 만족하는 Janbu의 간편법에 대해서 최적화 기법을 적용하여 비원호 임계단면을 탐색할 수 있도록 하였다(김주용, 1998).
지반 물성의 공간적 변동성을 고려하면서도 파괴면을 미리 가정하지 않고 해석을 수행하기 위해 Random Finite Element Method(RFEM)이 적용되었다. 이 방법은 해석과정에서 파괴면과 안전율이 자동적으로 결정되는 강도감소법(strength reduction method)을 랜덤필드 이론과 통합하여 Monte Carlo 시뮬레이션을 통한 확률론적 사면안정 해석에 적용함으로써 지반물성의 공간적인 변동을 포함한 불확실성을 고려하였다(Griffiths와 Fenton, 2004; Hicks와 Onisiphorou, 2005). 그러나 RFEM은 한번의 안정해석 자체에 매우 긴 계산시간이 소요되기 때문에 수많은 해석을 반복 수행해야 하는 Monte Carlo 시뮬레이션에 적용하는 경우 계산시간이 매우 길어져 파괴 확률 및 안전율의 확률분포를 정확하게 구하기 어렵고 랜덤필드를 이산화하기 위해 사용하는 방법의 한계로 인하여 실제 문제에 적용된 적은 없으며 이론적 전개를 통하여 공간적 물성의 변화가 확률론적 사면안정에 미치는 영향을 연구하기 위해 사용되었다.
지반 물성의 공간적 변동성을 고려하면서도 파괴면을 미리 가정하지 않고 해석을 수행하기 위해 Random Finite Element Method(RFEM)이 적용되었다. 이 방법은 해석과정에서 파괴면과 안전율이 자동적으로 결정되는 강도감소법(strength reduction method)을 랜덤필드 이론과 통합하여 Monte Carlo 시뮬레이션을 통한 확률론적 사면안정 해석에 적용함으로써 지반물성의 공간적인 변동을 포함한 불확실성을 고려하였다(Griffiths와 Fenton, 2004; Hicks와 Onisiphorou, 2005).
지정된 입력 확률 분포함수와 자기상관함수(autocorrelation function)를 따르는 2차원의 랜덤필드를 생성하기 위하여 Karhunen-Loève 전개법을 사용하였으며 생성된 랜덤필드를 이용하여 확률론적 응답을 얻기 위해 Monte Carlo 시뮬레이션을 수행하였다.
제안된 확률론적 사면안정 해석기법은 미리 임계파괴면을 가정 하지 않으면서도 계산시간을 단축할 수 있도록 한계평형법을 이용하는 결정론적 해석방법을 지반정수의 불확실성과 공간적 변동성을 고려할 수 있도록 확장하였다. 지정된 입력 확률분포함수와 자기상관함수를 따르는 2차원의 랜덤필드를 생성하기 위하여 KarhunenLoève 전개법을 사용하였으며 생성된 랜덤필드를 이용하여 확률론적 응답을 얻기 위해 Monte Carlo 시뮬레이션을 수행하였다. Monte-Carlo Simulation의 입력치의 샘플링(sampling)은 계산의 효율을 높이기 위해 Latin Hypercube 샘플링 기법을 사용하였다.
확률론적 사면안정 해석은 한계평형법이나 탄소성해석에 의한 강도감소법을 사용하여 안전율을 계산한다. 초기의 확률론적 사면안정 해석에서는 물성치를 하나의 랜덤변수를 사용하여 표현하는 방법을 주로 사용하였으나, 근래에는 물성의 공간적인 변동성이 사면의 신뢰도 및 파괴확률에 미치는 영향을 고려할 수 있는 방법들이 도입되고 있다(El-Ramly 등, 2002; Griffiths와 Fenton, 2004; Cho, 2007).

성능/효과

(1) Karhunen-Loève 전개법에 의한 랜덤필드의 이산화는 한계평형법의 절편분할과 독립적으로 수행될 수 있어 랜덤필드의 이산화가 한번만 수행되면 영역내의 임의의 위치에서의 변동하는 지반물성의 값을 쉽게 구할 수 있다. 따라서 지반물성의 공간적 변동성에 따른 다양한 사면파괴 형태를 확률론적 사면 안정 해석에 효과적으로 고려할 수 있다.
(3) 지반물성의 공간적 변동성을 무시하고 단일 랜덤변수를 사용하는 경우 안전율이 1보다 작은 변수가 샘플링 되는 횟수가 많아져 사면의 파괴확률은 과대평가 된다. 그러나 공간평균에 의한 변동성을 고려하여 샘플링 수를 증가시키면 이러한 한계상태를 유발하는 낮은 물성치가 전 파괴면에 걸쳐 선택될 확률이 줄어들게 되므로 파괴확률은 감소하게 된다.
본 예제의 사면에서는 비배수 전단강도의 공간적 분포가 불균질함에도 불구하고 파괴면은 기하학적 및 운동학적으로 가능해야 하므로 원호파괴면이 사면의 거동을 비교적 잘 나타내고 있다. 그러나 기하학적으로 복잡하고 층상구조를 이루는 등 불균질한 정도가 증가하게 되면 원호파괴면 보다는 비원호파괴면에 의해 파괴면을 보다 잘 나타낼 수 있으므로 추후 이에 대한 연구가 필요하다.
본 연구에서는 확률론적 해석에 지반의 공간적 변동성을 고려하기 위한 해석 절차를 제시하였다. 제안된 확률론적 사면안정 해석기법은 미리 임계파괴면을 가정 하지 않으면서도 계산시간을 단축할 수 있도록 한계평형법을 이용하는 결정론적 해석방법을 지반정수의 불확실성과 공간적 변동성을 고려할 수 있도록 확장하였다. 지정된 입력 확률분포함수와 자기상관함수를 따르는 2차원의 랜덤필드를 생성하기 위하여 KarhunenLoève 전개법을 사용하였으며 생성된 랜덤필드를 이용하여 확률론적 응답을 얻기 위해 Monte Carlo 시뮬레이션을 수행하였다.
해석에서 지반 특성의 공간적 변동성은 지반 특성을 나타내는 변수를 하나의 랜덤 변수로 모델링하면 고려할 수 없으며 공간적 변동성을 나타내기 위해서 랜덤필드로 모델링하는 것이 바람직하다. 한계평형법, 유한요소법이나 유한차분법 같은 수치해석법은 불연속적인 특성을 가지므로 해석을 수행하기 위해서는 지반물성의 랜덤필드 또한 유한개의 랜덤변수들로 표현되어야 한다.

후속연구

본 예제의 사면에서는 비배수 전단강도의 공간적 분포가 불균질함에도 불구하고 파괴면은 기하학적 및 운동학적으로 가능해야 하므로 원호파괴면이 사면의 거동을 비교적 잘 나타내고 있다. 그러나 기하학적으로 복잡하고 층상구조를 이루는 등 불균질한 정도가 증가하게 되면 원호파괴면 보다는 비원호파괴면에 의해 파괴면을 보다 잘 나타낼 수 있으므로 추후 이에 대한 연구가 필요하다.

질의응답

핵심어	질문	논문에서 추출한 답변
	통상 사면의 안정에 대한 해석은 어떻게 함으로써 수행되는가?	통상 사면의 안정에 대한 해석은 안전율을 계산함으로써 수행된다. 그러나 안전율은 위험도(risk)에 대한 일관된 척도를 주지는 않는다.
	기존의 결정론적 사면안정 해석의 한계는 무엇인가?	즉, 동일한 안전율을 가진 사면일지라도 지반 물성의 변동정도에 따라 다른 위험도를 주게 되므로 안전율에 의한 안정성 평가는 경험에 의지하게 되는 측면이 있다. 기존의 결정론적 사면안정 해석의 경우 불확실성을 정량적으로 고려하지 않고 주관적 판단에 의한 보수적인 강도정수 및 설계기법을 통하여 고려하나 이러한 보수적인 설계가 파괴에 대한 안전을 보장하지는 않는다는 사실은 경험적으로 잘 알려져 있다(El-Ramly 등, 2002). 확률론적 해석도 모든 불확실성을 고려할 수는 없고 목표신뢰도를 어떻게 정할 것인가 하는 문제를 안고 있다.
	대부분의 확률론적 사면안정 해석에 활용되는 한계 평형법을 이용한 연구자들의 방법의 단점은 무엇인가?	한계평형법을 이용한 확률론적 사면안정 해석에서 물성의 공간적인 변동성을 고려하기 위하여 El-Ramly 등(2002)은 지반의 물성을 파괴면을 따라 1차원의 랜덤필드로 모델링하였고 Cho(2007)는 지반의 물성을 2차원의 랜덤필드로 모델링하여 Monte Carlo 시뮬레이션을 수행하였다. 그러나 이들 방법은 확률론적 임계파괴면을 먼저 결정하고 결정된 하나의 파괴면에 대한 물성의 공간적 변동만을 고려하므로 물성의 공간적 변동에 의한 다양한 파괴 형태를 완전하게 반영하지 못하는 단점이 있다.

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Vanmarcke, E. H. (1977), "Reliability of Earth Slopes", J. Geotech. Eng. Div., ASCE, Vol.103, No.11, pp.1247-1265

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Vanmarcke, E. H. (1983), Random fields: Analysis and Synthesis, The MIT Press, Cambridge, MA

저자의 다른 논문 :

표제어: PCR

동의어: Packet Collision Rate

용어 설명 출처 목록 (6)

용어 설명: PCR은 세균 특이성이 있는 primer를 이용하여 적은 수의 세균이 있을지라도 쉽게 검출할 수 있는 유용한 방법이며, 이를 이용하여 구강 내 치면세균막이나 타액에서 직접 세균을 검출할 수 있게 되었다[8].

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