[논문]3차원 MT 탐사 모델링에서 2차원 경계조건의 적용

한누리; 남명진; 김희준; 이태종; 송윤호; 서정희

[국내논문] 3차원 MT 탐사 모델링에서 2차원 경계조건의 적용
Application of Two-Dimensional Boundary Condition to Three-Dimensional Magnetotelluric Modeling 원문보기

지구물리와 물리탐사 = Geophysics and geophysical exploration, v.11 no.4, 2008년, pp.318 - 325

한누리 (서울대학교 에너지시스템공학부) , 남명진 , 김희준 (부경대학교 에너지자원공학과) , 이태종 (한국지질자원연구원 국토지질연구본부) , 송윤호 (한국지질자원연구원 국토지질연구본부) , 서정희 (서울대학교 지구환경시스템공학부)

초록
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MT 모델링에서는 송신원을 고려하지 않으므로, 평면파에 대한 배경 매질의 반응을 경계값으로 설정하는 Dirichlet 경계조건을 이용할 때에 그 경계값의 정확한 계산이 매우 중요하다. 이 연구에서는 1차원 배경 매질만을 가정하던 기존의 모델링 알고리듬을 2차원 배경 매질을 고려할 수 있도록 발전시켰다. 1차원 배경매질의 경우 경계값은 해석적으로 계산할 수 있으나, 2차원 구조가 존재하는 경우에는 2차원 모델링을 통해 경계값을 계산하여야 한다. 2차원 모델링의 TM(transverse magnetic) 및 TE (transverse electric) 모드는 3차원 모델링의 입사 전기장의 분극 방향과 2차원 구조의 주향에 따라서 결정된다. 전기장을 셀 모서리에 정의하는 기존의 3차원 모델링 알고리듬과 잘 부합하도록 2차원 모델링에서도 모서리에서 전기장을 계산하였다. 2차원 모델링을 통해 계산된 값을 3차원 모델링의 경계값으로 활용한 결과, 단층 모형 혹은 한 면에 바다를 포함한 모형에 대해 보다 정확한 겉보기비저항 및 위상을 얻을 수 있었다.

Abstract ▼ AI-Helper

Assigning an exact boundary condition is of great importance in three-dimensional (3D) magnetotelluric (MT) modeling, in which no source is considered in a computing domain. This paper presents a 3D MT modeling algorithm utilizing a Dirichlet condition for a 2D host. To compute boundary values for a model with a 2D host, we need to conduct additional 2D MT modeling. The 2D modeling consists of transverse magnetic and electric modes, which are determined from the relationship between the polarization of plane wave and the strike direction of the 2D structure. Since the 3D MT modeling algorithm solves Maxwell's equations for electric fields using the finite difference method with a staggered grid that defines electric fields along cell edges, electric fields are calculated at the same place in the 2D modeling. The algorithm developed in this study can produce reliable MT responses for a 3D model with a 2D host.

주제어

AI 본문요약
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문제 정의

2차원 MT 모델링에 대해서는 이미 많은 연구가 있었지만(e.g., Swift, 1971; Rody, 1976; Wannamaker et al., 1986; 신동훈, 2000), 여기서는 Sasaki (1999)의 3차원 모델링 알고리듬에 2차원 경계조건 적용하기 위해서 유한차분법에 기초한 2차원 TM 및 TE 모드 모델링에 대해 다시 한번 점검해보고자 한다. 이 연구의 궁극적인 목적은 2차원 모델링으로 계산한 값을 3차원 모형의 경계값으로 활용하는 것이므로, 3차원 모델링에서의 xy 분극과 yx 분극을 기준으로 2차원 경계값 모델링을 설명한다.
, 2007a, 2007b) Sasaki (2004)의 3차원 역산 알고리듬은 전기장에 대한 3차원 모델링(Sasaki, 1999)을 기반으로 하고 있으며, Dirichlet 경계조건의 적용을 위해서 1차원 배경 매질을 가정한다. 앞서 언급한 포항과 같은 곳에서 획득한 MT 자료의 보다 정확한 해석을 위해서, 이 연구에서는 Sasaki (1999)의 3차원 모델링 알고리듬을 2차원 배경매질에 대해 계산한 값을 경계조건으로 활용하도록 발전시키고자 한다.
, 2007). 이 논문에서는 3차원 모형의 여섯 개 경계면에 모두 Dirichlet 경계조건을 적용하는 모델링에 한정하여 보다 정확한 경계값의 계산에 대해서 알아본다.
이 연구에서는 모델링 영역의 한쪽 면에 바다가 존재하는 경우와 같이 배경매질에 2차원 구조가 존재하는 경우에 정확한 경계값을 설정하기 위해서, 경계면에서 2차원 모델링을 수행하고 그 결과를 3차원 모델링의 Dirichlet 경계값으로 활용하고자 한다. MT 탐사에서 2차원 모델링은 전자기장의 분극 방향에 따라 전기장이 주향에 수직한 TM (transverse magnetic) 모드와 전기장이 주향에 평행한 TE (transverse electric) 모드로 나누어 생각할 수 있다(McNeill and Labson, 1991).
이상에서 배경매질에 주향이 y 방향인 2차원 구조가 있는 3차원 모형의 경계값 계산에 대해 알아보았다. 한편, 배경매질에 주향이 x 방향인 2차원 구조와 주향이 y 방향인 2차원 구조가 동시에 존재하는 경우에는 3차원 xy 분극과 yx 분극을 단순히 2차원 TM 모드, TE모드로 연결지어 생각할 수 없다.

가설 설정

6. Comparisons of electric and magnetic fields in the xy (a) and yx (b) polarizations along a center line parallel to the x-axis at 1 Hz. Pluses (+) represent electric and magnetic fields calculated in this study while crosses (×) from Mackie et al.
3). 모델링 영역이 심부로 충분히 연장되었다면 모형의 심부에서 전자기장은 반무한 공간에서와 같이 반응할 것이고, 모형 아래로 무한히 연장된 반무한 공간이 존재하는 것으로 가정할 수 있다. 따라서 모형의 하부 경계에서 자기장은 심도에 따라 지수적으로 감쇠하는 다음의 식을 따른다.
이 때 공기층의 전기전도도는 일반적인 3차원 모델링에서와 같이 매우 작은 값(σ = 10−10 S/m)을 가정한다.
정확한 Dirichlet 경계조건의 적용을 위해서는 계산 영역의 경계를 내부의 이상체로부터 충분히 멀리하여 이상체가 경계에서의 전자기장 값에 영향을 미치지 않는다는 가정 하에 경계값을 계산한다. 경계값을 계산하는 배경매질은 보통 1차원 혹은 2차원 매질로 설정한다.
최근 국내에서 MT 탐사 자료의 역산에 가장 많이 이용하는(Lee et al., 2007a, 2007b) Sasaki (2004)의 3차원 역산 알고리듬은 전기장에 대한 3차원 모델링(Sasaki, 1999)을 기반으로 하고 있으며, Dirichlet 경계조건의 적용을 위해서 1차원 배경 매질을 가정한다. 앞서 언급한 포항과 같은 곳에서 획득한 MT 자료의 보다 정확한 해석을 위해서, 이 연구에서는 Sasaki (1999)의 3차원 모델링 알고리듬을 2차원 배경매질에 대해 계산한 값을 경계조건으로 활용하도록 발전시키고자 한다.

제안 방법

2차원 구조를 포함하는 모형에 대해 보다 정확한 3차원 모델링을 위해, Sasaki (1999)의 3차원 모델링 알고리듬에서 Dirichlet 경계조건 적용 시 경계값을 2차원 모델링을 통해 계산하는 방안을 연구하였다. 기존의 3차원 모델링 알고리듬이 전기장을 변수로 하고 있으므로 2차원 모델링에서도 경계에서의 전기장 계산에 초점을 맞추었다.
2차원 배경 매질을 고려한 3차원 MT 모델링 알고리듬을 확인하기 위해서 좌측은 1,000 ohm-m, 우측은 10 ohm-m 매질로 이루어진 단층 모형(Fig. 5)에 대해 모형의 중앙을 지나며 x 축에 평행한 측선에서 1 Hz에서의 반응을 계산한다. 계산 결과는 이 연구에서 설명한 방법과 유사하게 2차원 모델링을 통해 계산한 값을 경계값으로 설정하는 Mackie et al.
3차원 모델링의 입사 전기장의 분극 방향과 2차원 구조의 주향에 따라 2차원 모델링의 TM 모드 및 TE 모드 모델링이 결정된다. TM 모드 모델링에서는 격자 중앙에 정의된 자기장을 변수로 하여 모델링을 수행하는데, 상부 경계에는 Dirichlet 경계조건을 이용하여 자기장을 1로 고정하고, 좌, 우 경계에는 Neumann 경계조건을, 하부 경계에는 IBC를 적용하였다. 계산된 자기장으로부터 Maxwell 방정식을 이용하여 모서리에 정의된 전기장을 도출하고, 이 값을 3차원 모형의 경계값으로 할당한다.
2b). TM 모드에는 두 성분의 전기장(E_x, E_z)이 존재하는데, 3차원 모형의 xz 경계면에서 2차원 TM 모드 모델링을 통해 이들을 계산한다. 계산된 E_x는 3차원 모형의 xz 경계면과 xy 경계면에 경계값으로 할당하고, E_z는 3차원 모형의 xz 경계 면과 yz 경계면에 경계값으로 할당한다(Fig.
6에 나타내었다. xy 분극에서 경계값은 2차원 TM 모드 모델링을 통해 계산하고, yx 분극에서는 2차원 TE 모드 모델링을 통해 계산한다. 여기서는 전자기장의 시간의존성을 exp(iω t)로하고, Mackie et al.
2b). 따라서, 경계면에 2차원 구조를 가지고 있는 두 개의 xz 경계면에서 TE 모드 모델링을 수행한다.
이 연구에서 적용한 2차원 경계조건의 유용성을 확인하기 위하여 같은 모형(Fig. 5)에 대해 1차원 경계조건을 적용한 경우와 2차원 경계조건을 적용한 경우의 겉보기비저항과 위상을 Zxy 모드에서 비교하였다(Fig. 8). 0.
즉, xy 분극에서 3차원 모형의 xz 경계면에서는 TM 모드와 같은 반응이 일어날 것이고, yz 경계면에서는 TE 모드와 같은 반응이 일어날 것이다. 이 연구에서는 계산의 편의를 위해 x 방향과 y 방향의 2차원 구조가 동시에 존재하는 경우에는 모든 계산을 TE 모드로 한정시켰다. 즉, xy 분극에서는 두 개의 yz 경계면에서 TE 모드 모델링을 통해 계산한 E_x를 경계값으로 이용하고 E_y = E_z = (0, 0) V/m가 되고, yx 분극에서는 두 개의 xz 경계면에서 TE 모델링을 통해 계산한 E_y를 경계값으로 이용 하고 E_x = E_z = (0, 0) V/m로 한다.
먼저 입사 평면파의 전기장이 x 방향으로 분극된 xy 분극의 경우를 살펴본다. 주향이 y 방향이므로 xy 분극에서는 전기장이 주향을 가로지르게 되어 2차원 TM 모드에 해당하므로(Fig. 2a), 경계면에 2차원 구조를 가지고 있는 두 개의 xz 평면에서 TM 모드 모델링을 수행한다.

데이터처리

이 때, 2차원 모형의 상부 경계에는 자기장이 (1, 0) A/m가 되도록 하는 Neumann 경계조건을 이용하고, 좌, 우 경계에는 Neumann 경계조건을, 하부에는 IBC를 이용한다. 3차원 단층모형에서 두 매질의 경계를 수직으로 가로지르는 측선에서 전자기장의 반응을 살펴보고, 겉보기비저항 및 위상을 계산하여 Mackie et al. (1994)의 결과와 비교 분석하였다. 이 연구에서 계산한 전자기장과 겉보기비저항, 위상이 Mackie et al.
5)에 대해 모형의 중앙을 지나며 x 축에 평행한 측선에서 1 Hz에서의 반응을 계산한다. 계산 결과는 이 연구에서 설명한 방법과 유사하게 2차원 모델링을 통해 계산한 값을 경계값으로 설정하는 Mackie et al. (1994)의 결과와 비교하였다.

이론/모형

TE 모드에서 공기중의 전기장은 지하 매질의 영향을 받으므로 지하 매질의 영향이 감쇠될 만큼 공기층을 충분히 두껍게 설정하고, 그 상부에서 자기장이 (1, 0) A/m가 되도록 하는 Neumann 경계조건을 적용한다. 즉, (14)식에서 전기장의 z 방향 미분이 다음과 같이 되므로
TM 모드 모델링에서는 격자 중앙에 정의된 자기장을 변수로 하여 모델링을 수행하는데, 상부 경계에는 Dirichlet 경계조건을 이용하여 자기장을 1로 고정하고, 좌, 우 경계에는 Neumann 경계조건을, 하부 경계에는 IBC를 적용하였다. 계산된 자기장으로부터 Maxwell 방정식을 이용하여 모서리에 정의된 전기장을 도출하고, 이 값을 3차원 모형의 경계값으로 할당한다. TE 모드 모델링에서는 격자점에 정의된 전기장을 변수로 하므로 2차원 모델링을 통해 계산된 값을 바로 3차원 모형의 경계값으로 할당한다.
모델링 영역의 하부에는 전기비저항이 서로 다른 매질의 경계가 있어서 Dirichlet나 Neumann 조건으로 경계조건을 설정하기에는 어려움이 있기 때문에 impedance boundary condition (IBC; Smith and Booker, 1991)을 이용한다(Fig. 3). 모델링 영역이 심부로 충분히 연장되었다면 모형의 심부에서 전자기장은 반무한 공간에서와 같이 반응할 것이고, 모형 아래로 무한히 연장된 반무한 공간이 존재하는 것으로 가정할 수 있다.
Sasaki (1999)는 (3)식을 유한차분법을 이용하여 풀기 위해서 전기장을 모서리에 정의하고 자기장을 면에 수직한 방향에 정의하는 staggered grid (Yee, 1966)를 이용하였으므로, Dirichlet 경계조건에서 전기장을 경계값으로 할당한다. 이 연구는 Sasaki (1999)의 알고리듬을 기반으로 하므로 앞으로 경계값의 계산은 전기장에 대해서만 고려하도록 한다. 3차원 모델링에서 경계에서의 전기장은 입사 평면파의 분극 방향에 따라 달라진다.
한편 2차원 영역의 좌, 우 경계에서 경계조건은 자기장에 대해 Neumann 조건을 적용하였다(Fig. 3). 즉, 두 매질의 경계로 부터 모형이 좌, 우로 충분히 확장되어 있다면 경계면은 1차원이 되어 E_z = 0이 되므로, (5)식으로부터 ∂H_y/∂x = 0을 경계조건으로 이용하였다.

성능/효과

8). 0.1, 1, 10 Hz의 세 개 주파수에서 비교 결과, 10 Hz에서는 경계값에 관계없이 해가 잘 일치하였으나, 1 Hz에서는 1,000 ohm-m 매질에 해당하는 부분에서 위상에 약간의 차이가 생기기 시작하고, 0.1 Hz에서는 위상에서 큰 차이가 있음은 물론 겉보기비저항에도 1000 ohm-m 매질에서 차이가 보인다. 즉, 주파수의 감소에 따라 경계값의 영향을 크게 받는 양상이 나타나는데, 이는 주파수 및 매질의 전기비저항에 따라 달라지는 skin depth (Vozoff, 1991)로 설명할 수 있다.
(1994)의 결과와 매우 잘 일치하는 것으로부터 2차원 배경 매질을 고려한 3차원 모델링 알고리듬이 매우 정확한 해를 제공함을 확인하였다. 또한, 1차원 경계값을 이용한 경우와의 비교를 통해 보다 정확한 3차원 모델링을 위해서 2차원 배경 매질에 대한 고려가 필수적임을 확인하였다.
Zyx 모드에서도 동일한 반응이 나타나므로 그림은 생략하였다. 이 결과로부터 배경매질에 2차원 구조가 존재하는 경우, 보다 정확한 3차원 모델링을 위해서 2차원 모델링을 통한 정확한 경계값의 계산이 필수적임을 확인하였다.
(1994)의 결과와 비교 분석하였다. 이 연구에서 계산한 전자기장과 겉보기비저항, 위상이 Mackie et al. (1994)의 결과와 매우 잘 일치하는 것으로부터 2차원 배경 매질을 고려한 3차원 모델링 알고리듬이 매우 정확한 해를 제공함을 확인하였다. 또한, 1차원 경계값을 이용한 경우와의 비교를 통해 보다 정확한 3차원 모델링을 위해서 2차원 배경 매질에 대한 고려가 필수적임을 확인하였다.

질의응답

핵심어	질문	논문에서 추출한 답변
	MT 탐사가 고려하지 않는 것은?	특정 지하 구조에 대한 MT 반응을 이해하고, 탐사 결과로부터 지하 매질을 정확히 추정하기 위해서는 MT 탐사에 대한 3차원 모델링이 선행되어야 한다. MT 탐사는 아주 먼 곳에서 발생한 자연 전자기장을 송신원으로 하기 때문에 모델링 영역에서 송신원을 고려하지 않는다. 자연 전자기장은 공기와 지구의 엄청난 전기전도도 차이로 인해 입사각에 관계없이 지하에서는 수직 으로 전파되므로, 모델링에서는 크기와 위상이 동일한 평면파가 탐사 영역에 수직 입사한 것으로 가정할 수 있다(McNeill and Labson, 1991).
	자기지전류란?	자기지전류(magnetotelluric; MT) 탐사는 대략 0.0001 Hz에서 수십 kHz 범위의 자연 전자기장을 송신원으로 하여 지하 매질의 전기적 구조를 규명하는 탐사 방법이다. 특정 지하 구조에 대한 MT 반응을 이해하고, 탐사 결과로부터 지하 매질을 정확히 추정하기 위해서는 MT 탐사에 대한 3차원 모델링이 선행되어야 한다.
	자기지전류(magnetotelluric; MT) 탐사에 선행되어야 하는 것은?	0001 Hz에서 수십 kHz 범위의 자연 전자기장을 송신원으로 하여 지하 매질의 전기적 구조를 규명하는 탐사 방법이다. 특정 지하 구조에 대한 MT 반응을 이해하고, 탐사 결과로부터 지하 매질을 정확히 추정하기 위해서는 MT 탐사에 대한 3차원 모델링이 선행되어야 한다. MT 탐사는 아주 먼 곳에서 발생한 자연 전자기장을 송신원으로 하기 때문에 모델링 영역에서 송신원을 고려하지 않는다.

참고문헌 (18)

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저자의 다른 논문 :

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표제어: PCR

동의어: Packet Collision Rate

용어 설명 출처 목록 (6)

용어 설명: PCR은 세균 특이성이 있는 primer를 이용하여 적은 수의 세균이 있을지라도 쉽게 검출할 수 있는 유용한 방법이며, 이를 이용하여 구강 내 치면세균막이나 타액에서 직접 세균을 검출할 수 있게 되었다[8].

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