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문제 정의
- 리샤르 역설도 이와 비슷한 성격을 가진다. 먼저, 기수들의 속성을 순수하게 산술적 성질들로 진술한 것들의 목록을 고려해 보자. 예를 들어 자연수, 소수, 홀수, 짝수 등을 다음과 같이 산술적 성질들로 표현하자.
- 이 글에서는 괴델 자신에 의한 논문 등 일차 자료가 아니라 하더라도 관련 전문가들의 인정을 받는 것으로 여겨지는 자료를 바탕으로 심각한 오류나 큰 오해의 소지가 없을 것으로 여겨지는 방안을 하나 제안한다.
- 이러한 방법으로 각 기수의 속성들의 목록을 설명하였다고 하고, 설명된 기수들의 속성들의 목록들 각각에 하나의 순서수를 대응시켜 보자. 순서수를 대응시키는 방법은 여러 가지 있겠지만 여기에서는그 설명된 수가 몇 글자로 설명되었는지를 세는 것이다.
- 이제 목록의 내용과 대응된 수와의 관계를 생각해보자. 가령, 소수에 관한 설명 T과 자기 자신 외에 다른 수로 나누어지지 않는 수'가 순서수 17에 대응되었다고 하면, 대응된 수 17은 소수이다.
가설 설정
- 힐베르트는 이 문제들에 관하 여 낙관적이었다. '모든 수학 문제는 해결이 가능해야 한다.'라는 주 장이나 '여기에 문제가 있다.
- 마지막으로, 하나의 산술적 논리식 / 를 다음과 같이 초수학적 진술로 표현하였다. A: 산술은 무모순적이다. 그리고 논리식 '/n G' 가 형식적으로 증명가능함을 증명하였다.
- • 모순적인 공리체계는 완전하다. • 공리체계가 불완전하면 무모순적이다. ■ 괴델의 제1 불완전성 정리에 의하여 산술공리를 포함하는 공리 체계는 불완전하다.
- 다음 주장의 타당성에 관하여 논의하여라. • 모순적인 공리체계는 완전하다. • 공리체계가 불완전하면 무모순적이다.
- • 산술 공리가 무모순적이면 유클리드 기하가 무모순적이다. 유 클리 드 기 하가 무모순적 이 면 쌍곡기 하의 공리 체 계도 무모순적이다.
- • 중립기하학은 완전하지 않다. 평행선 공준은 중립기하공리계로부터 증명도 반증도 할 수 없다.
- •서로 다른 두 점을 지나는 선이 유일하게 존재한다.
- • 공리체계가 불완전하면 무모순적이다. ■ 괴델의 제1 불완전성 정리에 의하여 산술공리를 포함하는 공리 체계는 불완전하다. 따라서 산술공리를 포함하는 공리체계는 무모순 적이다.
- 델의 정리와 일맥상통한다고 할 수 있을까? 정리를 차곡차곡 쌓아 따라 끊임없이 새로운 Lakatos)의 입장은 괴수학교사를 위한 괴델 정리의 소개 방안 473라. 괴델은 플라톤주의자(Platonist)라고 할 수 있을까?마. 다음과 같이 주장하면 어떨까? (1) 괴델의 정리는 인간 정신의 한계를 말하는 것이 아니라 인간 정신의 형식적 모델의 한계를 말하는 것이다.
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