[논문]멱급수를 이용한 완경사 방정식의 해

정태화; 이승오; 박진호; 조용식

멱급수를 이용한 완경사 방정식의 해
The Solution of Mild-Slope Equation using Power Series 원문보기

한국방재학회논문집 = Journal of the Korean Society of Hazard Mitigation, v.8 no.1, 2008년, pp.133 - 138

정태화 (한양대학교 대학원 토목공학과) , 이승오 (홍익대학교 공과대학 건설.도시공학부 토목공학) , 박진호 (한양대학교 공과대학 토목공학과) , 조용식 (한양대학교 공과대학 토목공학과)

초록
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외해에서 내습하는 파랑 자료를 분석하는 일은 연안에서 발생하는 문제를 해결함에 있어 기본이 되기 때문에 매우 중요하다. 파랑을 해석하는 방법에는 크게 수치 모델을 이용하는 방법과 해석 해를 이용하는 방법이 있다. 수치 모델의 경우, 다양한 지형과 파랑 조건에 대해 적용할 수 있다는 장점이 있지만 수치 오차를 고려해야 하는 번거로움이 있다. 반면, 해석 해의 경우 수치 오차 없이 빠르고 정확하게 해를 구할 수 있다는 장점이 있지만 특정한 지형 및 파랑 조건에서만 성립한다는 단점이 있다. 본 연구에서는 수치적인 기법과 해석적인 접근을 혼합하여 수치 오차를 최소화시키면서 다양한 조건에 적용이 가능한 완경사 방정식의 해를 유도하였다. 유도된 해를 기존의 수치 해와 비교한 결과 매우 잘 일치한다는 알 수 있었다.

Abstract ▼ AI-Helper

To analyze incident waves traveling from the deep ocean is very important in that it is based on resolving problems occurred in coastal areas. In general, numerical models and analytical solutions are used to analyze wave transformation. Although a numerical model can be applied to various bottoms and wave conditions, it may have some cumbersome numerical errors. On the other hand, an analytical solution has an advantage of obtaining the solution quickly and accurately without numerical errors. The analytical solution can, however, be utilized only for specific conditions. In this study, the analytical solution of the mild-slope equation has been developed. It can be applied to various conditions combing a numerical technique and an analytical approach while minimizing the numerical errors. As a result of comparing the obtained solutions in this study with those of the previously developed numerical model, A good agreement was observed.

주제어

AI 본문요약
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문제 정의

본 논문에서는 해석적인 접근법에서 특정한 조건에서만 적용 가능한 단점을 극복할 수 있는 문제에 초점을 맞추어서 연구를 수행하였다. 연직 2차원 문제에 관한 해석적인 접근법은 크게 고유함수전개법을 이용한 방법과 Bessel 함수를 이용한 방법이 있다.
본 연구에서는 수치 기법과 해석적인 기법을 사용하여 다양한 지형에 적용이 가능한 완경사 방정식의 해를 유도하였다. 멱급수의 해를 이용하기 위하여 지배 방정식에 나타나는 계수 값들을 최소 자승법을 사용하여 다항식의 형태로 표현하였으며 완경사 방정식의 해는 멱급수의 형태로 가정하여 해를 유도하였다.
기존의 해석적인 접근법에서 멱급수를 이용할 경우에는 특이점의 존재로 인하여 해를 적용할 수 있는 지형의 단면에 제한되어 왔다. 본 연구에서는 이러한 제약 사항 없이 임의의 지형에 대한 해를 얻기 위하여 최고 차 미분항의 계수를 1로 만들어 특이점의 존재하지 않게 하였으며 나머지 부분에 대해서는 멱급수의 적용을 용이하게 하기 위하여 최소 자승법을 이용하여 다항식의 형태로 표현하였다. 유도된 해석 해를 선형 및 비선형적으로 변화하는 지형에 적용해 본 결과 유한 요소법을 이용하여 구한 결과와 매우 잘 일치하는 것을 알 수 있었다.

가설 설정

멱급수의 해를 이용하기 위하여 지배 방정식에 나타나는 계수 값들을 최소 자승법을 사용하여 다항식의 형태로 표현하였으며 완경사 방정식의 해는 멱급수의 형태로 가정하여 해를 유도하였다. 이와 같은 접근 방법을 사용할 경우 유한요소법이나 유한 차분법을 사용하여 해를 얻는 과정에서 생길 수 있는 오차들을 줄일 수 있다는 장점이 있다.

제안 방법

다음으로 수심이 Fig. 5와 같이 포물선의 형태로 변화하는 단면에 대하여 본 연구에서 구한 해와 유한요소법을 이용하여 구한 해를 비교해 보았다. 수심에 관한 식은 다음과 같다.
여기서, x = x에서 가장 가까이점(singular point) 까지의 거리이다, 본 연구에서 사용한 식 (3)의 경우 특이점이 존재하지 않는다. 따라서 본 연구에서 사용한 급수해는 적용 구간에 상관없이 항상 수렴함을 알 수 있으며, 수렴 값을 얻기 위하여 다음과 같은 조건을 만족할 때까지 계산을 수행하였다.
마지막으로, 3.1에서 사용한 지형에 대하여 입사파의 주기를 변화시키면서 이에 따른 반사 계수의 값을 비교해보았다. Fig.
본 논문에서는 멱급수 및 최소자승법을 사용하여 유한차분법이나 유한요소법 같은 수치 기법을 사용하지 않고 완경사방정식의 해를 유도하였다. 기존의 해석적인 접근법에서 멱급수를 이용할 경우에는 특이점의 존재로 인하여 해를 적용할 수 있는 지형의 단면에 제한되어 왔다.
유도된 해석 해를 선형 및 비선형적으로 변화하는 지형에 적용해 본 결과 유한 요소법을 이용하여 구한 결과와 매우 잘 일치하는 것을 알 수 있었다. 본 연구에서 제안한 방법은 연안 방재의 측면에서 볼 때, 해저 지형이나잠제등을이용한 연안 구조물의 보호에 적용할 수 있다. 일반적으로 해저 지형의 변화는 입사파의 반등에 큰 영향을 주기 때문에 수중 구조물 등을 설치하여 수심값을 임의적으로 조절하면 입사파를 크게 반사시킬 수 있으며 이로 인하여 연안 구조물 등을 보호할 수 있다.
해를 구하기 위해 전체 영역을 Fig. 1과 같이 수심이 변화하는 영역과 그 영역을 둘러싸고 있는 일정 수심 영역으로 구분하였다. 일정 수심 영역의 경우, 식 (1>은 1차원 형태의 Helmholtz 방정식이 되며 해는 다음과 같이 표현할 수 있다.
해석 해의 타당성을 검증하기 위하여 본 연구에서 유도된 해를 Fig. 2와 같이 일정 경사를 가지는 단면에 적용해 보았다. 수심에 관한 식은 다음과 같다.

이론/모형

해석적인 연구에 사용되는 또 다른 방법인 Bessel 함수를 사용하는 방법은 Dean(1964)에 의해 제시되었다. Dean(1964)이 제시한 이 방법은 Bender and Dean(2003), Lin and Liu(2005) 및 Chang and Liou(2007)등에 의해 트렌치 및 잠제에 의한 파의 변형을 해석하는데 사용되었다. Dean(1964)의 방법은 지배방정식으로부터 수학적으로 직접 구한 결과이기 때문에 수치 오차는 전혀 발생하지 않으나 선형적으로 변화하는 단면 및 장파의 영역에서만 적용이 가능하다는 단점이 있다.
가능하다. 따라서, 본 연구에서는 식 (4) 및 (5)에 대하여 최소자승법을 이용하여 근사 다항식을 구하였으며, 이때 사용한 함수 값은 50개이다.
4는 동일한 지배 방정식을 본 연구에서 유도한 방법을 사용하여 구한 해와 유한 요소법을 이용하여 구한 해를 비교한 결과이다. 유한 요소법의 해는 Galerkin 방법을 적용하여 해를 구하였다. 2차 함수를 보간 함수로 사용하였으며 한 파장당 20개의 요소가 들어가도록 격자를 구성하였다.
지배방정식으로는 일반적으로 널리 알려진 완경사 방정식을 사용하였다.

성능/효과

X축은 으로 무차원화 하였으며, j축은 입사파의 파고값(a, )으로 무차원화 하였다. 경사면이 시작하는 부분에서는 입사파 및 반파의 영향으로 부분 정상파가 형성되었고 경사면이 끝나는 부분에서는 천수 현상으로 인하여 파고값이 높게 나타나는 현상을 보이면서 전체적으로 본 연구에서 구한 해와 유한요소법으로 구한 해가 매우 잘 일치하는 것을 알 수 있다.
6은 L=12, S10인 경우에 실제의 d(CCg)/dx/CCg 및 값과 최소자승법을 사용하여 구한 근사다항식의 값을 비교한 것이다. 두 값의 차이가 그래프 상에서는 식별하기 어려울 정도로 매우 잘 일치하는 것을 알 수 있었다.
본 연구에서는 이러한 제약 사항 없이 임의의 지형에 대한 해를 얻기 위하여 최고 차 미분항의 계수를 1로 만들어 특이점의 존재하지 않게 하였으며 나머지 부분에 대해서는 멱급수의 적용을 용이하게 하기 위하여 최소 자승법을 이용하여 다항식의 형태로 표현하였다. 유도된 해석 해를 선형 및 비선형적으로 변화하는 지형에 적용해 본 결과 유한 요소법을 이용하여 구한 결과와 매우 잘 일치하는 것을 알 수 있었다. 본 연구에서 제안한 방법은 연안 방재의 측면에서 볼 때, 해저 지형이나잠제등을이용한 연안 구조물의 보호에 적용할 수 있다.
이와 같은 접근 방법을 사용할 경우 유한요소법이나 유한 차분법을 사용하여 해를 얻는 과정에서 생길 수 있는 오차들을 줄일 수 있다는 장점이 있다. 이렇게 유도된 해를 기존에 개발된 수치 모델과 비교한 결과 매우 잘 일치한다는 것을 알 수 있었다
전체적으로 본 연구에서 유도된 방법을 이용하여 구한 해와 유한 요소법을 사용하여 구한 해가 잘 일치하는 것을 알 수 있었다. 장파의 영역에서는 전체적으로 반사율이 크게 나왔으나 상대 수심값이 증가하면서 반사율이 감소하여0.5 부근에서 극소값을 가진 후 다시 증가하다 감소하는 경향을 보였다. 천해역을 벗어나서는 반사율이 매우 작게 나왔으며 심해로 갈수록 바닥 경사의 영향을 거의 받지 않음을 확인하였다.
0까지 변화시키면서 반사율을 계산한 결과이다. 전체적으로 본 연구에서 유도된 방법을 이용하여 구한 해와 유한 요소법을 사용하여 구한 해가 잘 일치하는 것을 알 수 있었다. 장파의 영역에서는 전체적으로 반사율이 크게 나왔으나 상대 수심값이 증가하면서 반사율이 감소하여0.
5 부근에서 극소값을 가진 후 다시 증가하다 감소하는 경향을 보였다. 천해역을 벗어나서는 반사율이 매우 작게 나왔으며 심해로 갈수록 바닥 경사의 영향을 거의 받지 않음을 확인하였다.

참고문헌 (15)

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표제어: PCR

동의어: Packet Collision Rate

용어 설명 출처 목록 (6)

용어 설명: PCR은 세균 특이성이 있는 primer를 이용하여 적은 수의 세균이 있을지라도 쉽게 검출할 수 있는 유용한 방법이며, 이를 이용하여 구강 내 치면세균막이나 타액에서 직접 세균을 검출할 수 있게 되었다[8].

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