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문제 정의
- Bayesian 방법을 이용한 매개변수의 추정은 매개변수를 미지의 상수로 간주하는 것이 아니라 미지의 난수로 간주하게 됨으로써 추정의 관심이 되는 매개변수의 불확실성의 정도를 확률 모형을 이용하여 표현할 수 있게 된다. 결국 Bayesian 방법을 이용한 매개변수의 추정은 자료로부터 얻은 매개변수에 대한 정보와 매개변수에 대한 과거의 경험 또는 주관을 사전분포로 표현함으로써 보다 정확한 매개변수의 불확실성에 대한 탐색에 그 목적이 있다고 할 수 있다.
- (2005)은 일반화 회귀 분석(generalized least square regression, GLS)을 구축하면서 Bayesian 방법을 이용하여 모형의 분산오차에 따른 홍수량 빈도분석 모형의 Bayesian GLS모형을 제시한 바 있다. 그러나 수자원의 관리측면에서 저수량(low flow)의 중요성에도 불구하고 위와 같은 방법은 주로 홍수량만을 대상으로 적용되고 있으므로, 본 연구에서는 근사적 방법을 사용하지 않고 불확실성을 나타낼 수 있는 Bayesian 방법을 저수량을 대상으로 지역 빈도분석을 수행하고 구축된 결과를 이용하여 미계측 유역에서의 저수량을 예측하는 연구를 수행하였다.
- 본 연구에서는 설명변수 간 다중공선성의 문제를 근본적으로 피하기 위하여 각 변수 간 상관계수를 산정하여 상관계수가 지나치게 높은 경우(0.9 이상)에는 선정된 상관계수를 삭제하거나, 다른 물리량을 이용하여 변환하여 설명변수를 선정하였다. 또한 다중공선성의 검증을 위하여 분산팽창계수(variation inflation factor)를 산정하여 모형의 안정성을 확인하였으며, 이외에도 결정계수와 조정 결정계수(coefficient of determination, R2 and adjusted R2), 자기상관성의 확인을 위한 Durbin-Watson 통계치, leverage 통계치, Cook의 거리, 잔차플롯을 이용하여 구축된 다중회귀모형의 안정성을 검증하였다.
- 수문학적 동질성에 대한 판별은 크게 지형적인 분할, 행정구역에 따른 분할, L-moment 방법에 인한 분할, 군집분석(cluster analysis)에 의한 분할 등에 의해 수행될 수 있으나 최종적인 단계에서는 각 방법에 따라 차이는 있지만 분할하고자 하는 주관적인 요인이 개입될 수 있다. 본 연구에서는 수문학적 동질성의 판별을 위하여 주관적인 요인이 가장 적게 포함되어지기 때문에 최근 들어 가장 많이 사용되고 있는 군집분석을 사용하여 낙동강 유역의 수문학적 동질성을 판별하였다.
- 본 연구에서는 잔차항의 특성이 OLS의 적용에 합리적인지를 확인하기 위하여 White의 테스트를 수행하여 적용성을 판단하였다. White의 테스트는 F 테스트의 일종으로서 귀무가설로 회귀모형의 잔차항들의 분포가 등분산적임을 가정한 후, F 테스트에 의한 검정치와 유의확률을 비교함으로써 귀무가설을 채택할 것인지 기각할 것인지를 판정하는 방법이다.
- 본 연구의 목적은 회귀계수의 불확실성에 대한 분석이기 보다는 회귀계수를 이용하여 산정된 종속변수, 즉 추정된 빈도유량을 이용하여 불확실성 측면에서 Bayesian 회귀분석이 기존 방법과 어떤 차이가 있으며 어떤 점에서 유리한지를 알아보고자하는 것이라 할 수 있다. 그러므로 Table 5에서 나타난 Bayesian 회귀분석에 의한 회귀계수를 이용한 종속변수의 추정결과와 위의 Eq.
제안 방법
- (25)는 사후분포로부터 추정하고자 하는 회귀계수와 분산을 생성할 수 있는 경우에는 예측을 위한 회귀모형의 잔차가 평균 0과 분산 σ2을 가지는 정규분포를 따른다는 가정 하에 다음과 같은 과정을 통하여 추정될 수 있으며 본 연구에서는 Figs. 8과 9에 나타낸 8-1유역과 10-1유역을 미계측 유역으로 상정하여 Bayesian 예측을 수행하였다. 단, 8-1 유역과 10-1 유역은 8번 유역과 10번 유역의 일부분으로써 유역의 그림은 건교부와 한국수자원공사(2006)에서 수행한 낙동강 유역의 유역조사 사업에서 차용하였다.
- 본 연구에서는 Bayesian 회귀분석과정에서 생성된 10,000개의 β 와 σ2을 이용하여 정규분포로부터 다시 이에 따른 예측값을 10,000개를 생성하였다.
- 본 연구에서는 위와 같은 절차를 수행하기 하기 위하여 10,000개의 σ2을 생성함으로써 최종적으로 10,000개의 β 를 추정하였으며, 최초 100개의 추정치는 모형의 안정성을 위해서 제거하고 평균추정치와 신뢰구간을 산정하였다.
- 본 연구에서는 위의 이론적 배경에서 제시된 OLS를 이용한 Bayesian 다중회귀분석을 수행함으로써 낙동강 유역에서의 지역 빈도분석을 수행하고 각 재현기간에서의 빈도유량을 산정한 후, 불확실성을 표현할 수 있는 신뢰구간의 상한값과 하한값을 추정하였다. 또한 Bayesian 다중회귀분석의 결과를 기존 방법의 결과와 비교하기 위하여 다중회귀분석을 수행하고 t 분포를 이용한 신뢰구간으로부터 회귀계수와 종속변수의 불확실성을 산정하였다.
- 이 연구에서는 수자원단위지도상의 중권역별 유출량에 대한 자연 유량을 산정하기 위하여 PRMS (precipitation-runoff modeling system)모형을 사용함으로써 자연유량을 모의하였다. 수문모형의 매개변수의 보정은 자연유량을 산정하는 데 있어서 가장 어렵고도 중요한 문제라 할수 있는데 유역조사사업의 경우에는 댐이 없는 유역, 취수시설이 적은 유역, 자료의 길이가 충분한 유역을조건으로 하여 안동댐 유역, 임하댐 유역, 합천댐 유역과 더불어 한강 유역의 도암댐 유역과 괴산댐 유역을 추가적으로 선정하여 이들 유역의 유량자료를 이용하여 모형의 매개변수를 산정한 후, 보정된 매개변수를 수문학적 특성이 유사한 낙동강 유역의 타 중권역으로 전이 하여 최종적으로 자연유출량을 산정한 바 있으며, 본 연구에서는 위와 같은 과정으로 모의된 자연유량의 1966년부터 2001년까지의 36년간의 자료를 이용하여 미국 등에서 주로 이용되고 있는 7일 지속기간 년 최소유량(7Q)을 각 소유역별로 먼저 산정하였다.
- 위와 같은 자료의 한계성으로 인하여 본 연구에서는 10개 소유역의 출구 유출량에 대한 자연유량을 구하기 위하여 건교부와 한국수자원공사(2006)가 수행한 낙동강 유역의 유역조사사업 결과를 이용하였다. 이 연구에서는 수자원단위지도상의 중권역별 유출량에 대한 자연 유량을 산정하기 위하여 PRMS (precipitation-runoff modeling system)모형을 사용함으로써 자연유량을 모의하였다.
대상 데이터
- 1의 10개의 소유역에 대한 수문학적 동질성을 규명 하기 위하여 K-means 알고리즘을 이용한 군집분석을 수행하였으며, 그 결과를 Kaufmann and Rousseeuw (1990)이 제시한 실루엣 추정치(silhouette value)를 산정하여 동질유역을 구분하였다. 군집분석을 위한 자료로는 10개 소유역에 대해 PRMS 모형을 이용한 모의자료를 이용하였으며, 홍수기로 7월부터 9월의 유량자료를 제외한 일유량 자료를 사용하였다. Fig.
- 낙동강 유역은 유역면적 23,702 km2 으로 수자원단위지도상에서 중권역 22개와 표준유역 191개로 구성되어져있다. 본 연구에서 사용된 낙동강 유역의 유역분할은 본류지점 및 진동지점 하류 유역을 제외한 10개 중권역을 대상으로 하였으며, 미계측 유역에의 적용을 위하여 8번과 10번 유역은 수자원 단위지도상의 2개씩의 중권역을 1개의 중권역으로 구성한 뒤 사용하였다. 특히 본류지점은 이후 설명될 자연 유량의 산정을 위한 수문모형의 적용 시 제외되어져 지역빈도분석에서 제외되었으며, 진동지점 이후의 유역은 낙동강 본류를 포함하는 유역이므로 위와 같은 이유를 고려하여 연구에서 제외하였다.
데이터처리
- (9)와 같은 비선형 모형이지만 회귀분석을 위하여 양변에 로그변환을 취하여 Eq. (10)과 같은 선형 회귀식으로 변환함으로써 선형회귀분석을 수행하였다.
- Bayesian 회귀분석과 회귀분석 결과를 이용하여 신뢰구간을 산정하기에 앞서서 구축된 다중회귀모형의 안정성을 검정하였다. 먼저 OLS의 사용 가정이 되는 등 분산성의 경우 White 테스트 결과를 Table 3에 나타내 었으며 잔차플롯을 Fig.
- 홍수량을 이용한 지역 빈도분석은 Hosking and Wallis (1997)이 제안한 L-moment를 이용한 Index flood 법이 주로 사용되어지나 Durrans and Tomic (1996)은 index flood 법을 저수량(low flow)에 적용하는 과정에서 나타나는 과대 또는 과소 추정의 문제를 제시한 바 있다. 그러므로 본 연구에서는 미국 등에서 저수량의 빈도분석을 위하여 가장 많이 사용되고 있는 다중회귀분석을 추정방법으로 사용하였다.
- 본 연구에서는 위의 이론적 배경에서 제시된 OLS를 이용한 Bayesian 다중회귀분석을 수행함으로써 낙동강 유역에서의 지역 빈도분석을 수행하고 각 재현기간에서의 빈도유량을 산정한 후, 불확실성을 표현할 수 있는 신뢰구간의 상한값과 하한값을 추정하였다. 또한 Bayesian 다중회귀분석의 결과를 기존 방법의 결과와 비교하기 위하여 다중회귀분석을 수행하고 t 분포를 이용한 신뢰구간으로부터 회귀계수와 종속변수의 불확실성을 산정하였다.
- 위와 같은 필요성을 바탕으로 본 연구에서는 지역 빈도분석을 수행함에 있어서 가장 많이 사용되는 회귀 모형을 구축함에 있어 어떠한 가정도 필요없이 불확실성을 표현할 수 있는 Bayesian 방법을 회귀모형에 적용 하였다. 또한 Bayesian 회귀모형의 결과를 비교 및 평가하기 위하여 t 분포를 이용하여 추정결과의 신뢰구간을 산정하는 기존 방법을 함께 적용하여 그 결과를 비교하였다.
- 9 이상)에는 선정된 상관계수를 삭제하거나, 다른 물리량을 이용하여 변환하여 설명변수를 선정하였다. 또한 다중공선성의 검증을 위하여 분산팽창계수(variation inflation factor)를 산정하여 모형의 안정성을 확인하였으며, 이외에도 결정계수와 조정 결정계수(coefficient of determination, R2 and adjusted R2), 자기상관성의 확인을 위한 Durbin-Watson 통계치, leverage 통계치, Cook의 거리, 잔차플롯을 이용하여 구축된 다중회귀모형의 안정성을 검증하였다. 안정성이 검토된 다중회귀분석모형과 OLS를 이용하여 추정된 회귀계수는 지역 빈도분석의 불확실성을 표현하기 위하여 신뢰구간을 산정해야할 필요가 있다.
- 선정된 추정방법을 수문학적 동질유역에 각각 적용하면 회귀분석의 경우 구축된 회귀모형의 회귀계수(regression coefficient)를 얻을 수 있으며, 이를 이용하여 원하는 지점에서의 설명변수(explanatory variable)로부터 최종적인 종속변수(dependent variable)에 해당하는 추정치를 산정할 수 있다. 그러나 이와 같이 산정된 회귀계수와 그에 따른 종속변수의 추정치는 불확실성을 나타낼 수 있는 신뢰구간이 함께 산정되어 표현되어야 최종 결과인 빈도유량을 이용하여 확률적 개념의 수자원 관리 및 수공구조물의 설계를 수행할 수 있을 것이다.
- 안정성이 검증된 회귀모형을 이용하여 Bayesian 회귀분석을 수행하였다. Bayesian 회귀분석을 수행하기 위해서는 이론적 배경에서 언급한 바와 같이 먼저 # (X TX)-1 ,s2을 자료로부터 산정한 후 이 값들을 이용하여 위의 Eq.
- (6)을 이용한 종속변수의 추정결과를 비교해야 한다. 이를 위하여 추정된 각각의 회귀계수를 이용하여 빈도유량을 추정하였으며 소유역 1과 4에 대해서만 간략히 결과를 정리하면 Tables 6 및 7과 같다.
- 또한 본 연구에서 제안된 회귀모형의 종속변수는 빈도유량이 사용되어져야 하므로 김상욱(2008)이 수행한점 빈도분석에서의 과정을 그대로 이용하였다. 즉 산정된 7Q유량을 이용하여 년 최소 7Q유량을 산정한 후, 2변수 Weibull 확률분포식을 적용하였으며 확률분포식의 모수는 최우추정법(maximum likelihood estimation method)을 사용하여 추정하고, 최종적으로 분위수를 산정하여 각 빈도별, 소유역별로 각각 종속변수를 구성하여 회귀분석을 수행하였다.
이론/모형
- 또한 본 연구에서 제안된 회귀모형의 종속변수는 빈도유량이 사용되어져야 하므로 김상욱(2008)이 수행한점 빈도분석에서의 과정을 그대로 이용하였다. 즉 산정된 7Q유량을 이용하여 년 최소 7Q유량을 산정한 후, 2변수 Weibull 확률분포식을 적용하였으며 확률분포식의 모수는 최우추정법(maximum likelihood estimation method)을 사용하여 추정하고, 최종적으로 분위수를 산정하여 각 빈도별, 소유역별로 각각 종속변수를 구성하여 회귀분석을 수행하였다.
- 또한 수자원관리의 측면에서 추정된 저수량은 확정적인 값만이 필요한 것이 아니라 불확실성을 나타내는 하한값과 상한값이 함께 표시될 필요가 있다. 위와 같은 필요성을 바탕으로 본 연구에서는 지역 빈도분석을 수행함에 있어서 가장 많이 사용되는 회귀 모형을 구축함에 있어 어떠한 가정도 필요없이 불확실성을 표현할 수 있는 Bayesian 방법을 회귀모형에 적용 하였다. 또한 Bayesian 회귀모형의 결과를 비교 및 평가하기 위하여 t 분포를 이용하여 추정결과의 신뢰구간을 산정하는 기존 방법을 함께 적용하여 그 결과를 비교하였다.
- 위와 같은 자료의 한계성으로 인하여 본 연구에서는 10개 소유역의 출구 유출량에 대한 자연유량을 구하기 위하여 건교부와 한국수자원공사(2006)가 수행한 낙동강 유역의 유역조사사업 결과를 이용하였다. 이 연구에서는 수자원단위지도상의 중권역별 유출량에 대한 자연 유량을 산정하기 위하여 PRMS (precipitation-runoff modeling system)모형을 사용함으로써 자연유량을 모의하였다. 수문모형의 매개변수의 보정은 자연유량을 산정하는 데 있어서 가장 어렵고도 중요한 문제라 할수 있는데 유역조사사업의 경우에는 댐이 없는 유역, 취수시설이 적은 유역, 자료의 길이가 충분한 유역을조건으로 하여 안동댐 유역, 임하댐 유역, 합천댐 유역과 더불어 한강 유역의 도암댐 유역과 괴산댐 유역을 추가적으로 선정하여 이들 유역의 유량자료를 이용하여 모형의 매개변수를 산정한 후, 보정된 매개변수를 수문학적 특성이 유사한 낙동강 유역의 타 중권역으로 전이 하여 최종적으로 자연유출량을 산정한 바 있으며, 본 연구에서는 위와 같은 과정으로 모의된 자연유량의 1966년부터 2001년까지의 36년간의 자료를 이용하여 미국 등에서 주로 이용되고 있는 7일 지속기간 년 최소유량(7Q)을 각 소유역별로 먼저 산정하였다.
- 사전 분포는 크게 자료에 기반한 사전분포와 자료에 기반하지 않은 사전분포로 구분할 수 있는데, 본 연구에서 적용되는 회귀분석의 경우에는 회귀계수들에 대한 자료에 기반한 사전분포를 각 대상 유역별로 구축하는 것이 불가능하다. 자료에 기반한 사전분포를 구성하기 위해서는 점 빈도분석의 경우 인근 유량자료로부터 분석하고자 하는 지점의 사전분포를 유도할 수 있으나, 회귀분석의 경우에는 회귀계수에 대한 인근 자료를 이용할 수가 없어 자료에 기반한 사전분포를 사용하는 것이 불가능하므로본 연구에서는 Sorensen and Gianola (2002)가 제안한 다음과 같은 균일분포를 사용하였다. 이와 같은 균일분포는 회귀계수에 대한 사전정보를 전혀 알 수 없다는 것을 반영한 것으로써 사전분포가 모형의 분산에만 관련되어짐을 나타낸 것이다.
- 지역 빈도분석을 수행하기 위한 첫 번째의 절차로써 Fig. 1의 10개의 소유역에 대한 수문학적 동질성을 규명 하기 위하여 K-means 알고리즘을 이용한 군집분석을 수행하였으며, 그 결과를 Kaufmann and Rousseeuw (1990)이 제시한 실루엣 추정치(silhouette value)를 산정하여 동질유역을 구분하였다. 군집분석을 위한 자료로는 10개 소유역에 대해 PRMS 모형을 이용한 모의자료를 이용하였으며, 홍수기로 7월부터 9월의 유량자료를 제외한 일유량 자료를 사용하였다.
- 최종적으로 산정된 각 재현기간별 유량을 이용하여 10개 소유역에 대한 빈도곡선을 도시할 수 있으며, 빈도곡선의 작성 시에 저수량을 표시하는 데 합리적으로 알려진 다음과 같은 Gringorten (1963)의 공식을 사용하였으며, n은 사용된 자료의 개수를 의미한다. 확률도 시공식을 선정하는 데 있어서 여러 가지 공식을 이용하여 실측값의 위치를 산정해 보고 그 중 가장 우수한 공식을 사용해야 하지만, 본 연구의 주제는 실측값과한 개의 빈도곡선이 얼마나 잘 일치하느냐 보다는 빈도곡선사이의 불확실성을 주제로 다루고 있으므로 Weibull 공식과 Gringorten 공식만을 이용하여 우수성을 판단하여 Gringorten 공식을 선정하였다.
- 최종적으로 산정된 각 재현기간별 유량을 이용하여 10개 소유역에 대한 빈도곡선을 도시할 수 있으며, 빈도곡선의 작성 시에 저수량을 표시하는 데 합리적으로 알려진 다음과 같은 Gringorten (1963)의 공식을 사용하였으며, n은 사용된 자료의 개수를 의미한다. 확률도 시공식을 선정하는 데 있어서 여러 가지 공식을 이용하여 실측값의 위치를 산정해 보고 그 중 가장 우수한 공식을 사용해야 하지만, 본 연구의 주제는 실측값과한 개의 빈도곡선이 얼마나 잘 일치하느냐 보다는 빈도곡선사이의 불확실성을 주제로 다루고 있으므로 Weibull 공식과 Gringorten 공식만을 이용하여 우수성을 판단하여 Gringorten 공식을 선정하였다.
성능/효과
- 군집분석을 위한 자료로는 10개 소유역에 대해 PRMS 모형을 이용한 모의자료를 이용하였으며, 홍수기로 7월부터 9월의 유량자료를 제외한 일유량 자료를 사용하였다. Fig. 2는 10개 소유역에 대한 군집분석에 대한 결과를 나타낸 것으로써, 10개의 소유역을 하나의 군집으로 분석한 경우 모든 유역에 대한 평균 실루엣 추정치가 0.6 이상으로 나타났으므로 10개의 소유역이 수문학적으로 동질하다는 가정을 수립할 수 있었고 이로부터 10개 소유역을 대상으로 하는 1개의 회귀모형을 구축하는 것이 무리가 없다는 것을 예측할 수 있었다.
- 3에 나타내었다. White 테스트 결과 95 % 신뢰구간에서 등분성의 귀무가설이 기각되지 않았으므로 95 % 신뢰구간에서 잔차의 분산이 등분산성을 가진다고 설명할 수 있어 OLS를 사용하는 가정에 크게 위배되지 않음을 알 수 있었다. 그러나 GLS를 사용하면 불확실성의 근원을 종류별로 분석할 수 있는 장점이 있어 향후에는 GLS를 사용하여 Bayesian 회귀 분석을 수행한 결과를 상호 비교해 보는 것이 바람직할것으로 판단된다.
- 5 %값을 나타낸다. 각 그림으로부터 기존방법에 의한 추정결과와 Bayesian 회귀분석에 의한 추정결과를 함께 표시함으로써 불확실성 측면에서 Bayesian 방법이 기존 방법보다 불확실성을 감소시켜 나타낼 수 있음을 나타내었다.
- 기존 방법과 Bayesian 회귀분석에 의한 결과를 비교한 결과, 확정적인 값만은 사용하는 경우에는 Bayesian 회귀분석과 기존 방법이 큰 차이가 없어 적용과정이 복잡한 Bayesian 회귀분석은 큰 우월성을 보이지 못했다. 그러나 불확실성을 나타내는 상한값과 하한값의 차이에 있어서는 Bayesian 회귀분석이 기존 신뢰구간 산정방법 보다 불확실성을 훨씬 감소시켜 나타냄을 알 수 있 었다. 그러므로 수자원관리의 측면에서 불확실성을 고려하는 것이 점점 더 중요해지는 추세를 감안할 때, Bayesian 회귀분석을 이용하여 지역 빈도분석을 수행하는 것이 불확실성을 표현하는 데 있어서 우월함을 입증하였다.
- 647 m3/s를 보이는 것을 알 수 있다. 그러므로 불확실성 측면을 고려해야 하는 경우에는 Bayesian 회귀분석에 의해 산정된 상한값과 하한값의 차이가 기존 방법보다 훨씬 작은 값으로 산정됨을 알 수 있었으므로, 수자원의 관리 측면에서 불확실성이 강조되는 시점에서 기존 방법보다 Bayesian 회귀분석을 사용하여 지역 빈도분석을 수행하는 것이 기존 방법보다 훨씬 불확실성을 감소시켜 나타낼 수 있음을 알 수 있었다. 이와 같은 결과는 기존 방법에 있어서 불확실성을 산정하기 위한 여러 가지 가정이 최종적인 결과를 과대추정하게 함으로써 발생하는 것으로 간주할 수 있으며, Bayesian 회귀분석의 경우에는 불확실성을 산정하기 위한 어떠한 가정도 사용하지 않기 때문에 보다 감소된 불확실성을 산정하게 됨을 알 수 있다.
- 그러나 불확실성을 나타내는 상한값과 하한값의 차이에 있어서는 Bayesian 회귀분석이 기존 신뢰구간 산정방법 보다 불확실성을 훨씬 감소시켜 나타냄을 알 수 있 었다. 그러므로 수자원관리의 측면에서 불확실성을 고려하는 것이 점점 더 중요해지는 추세를 감안할 때, Bayesian 회귀분석을 이용하여 지역 빈도분석을 수행하는 것이 불확실성을 표현하는 데 있어서 우월함을 입증하였다. 또한 향 후 연구과제로서 OLS를 이용한 Bayesian 회귀분석을 GLS를 이용하여 수행함으로써 불확실성의 정확도와 불확실성의 종류에 따른 분석을 제안할 수 있다.
- 기존 방법과 Bayesian 회귀분석에 의한 결과를 비교한 결과, 확정적인 값만은 사용하는 경우에는 Bayesian 회귀분석과 기존 방법이 큰 차이가 없어 적용과정이 복잡한 Bayesian 회귀분석은 큰 우월성을 보이지 못했다. 그러나 불확실성을 나타내는 상한값과 하한값의 차이에 있어서는 Bayesian 회귀분석이 기존 신뢰구간 산정방법 보다 불확실성을 훨씬 감소시켜 나타냄을 알 수 있 었다.
- 263으로서 10보다 작아 잔차간 자기상관성이 없음을 가정하기에 충분함을알 수 있었다. 또한 VIF는 모든 설명변수에서 10보다 작게 나타나 다중공선성에도 영향을 받지 않는다고 할수 있으며, Cook의 거리와 leverage 통계치도 각각 1과 1.2보다 작은 값으로 나타나 구축된 다중회귀모형이 안정적임을 알 수 있었다.
- 본 연구에서 처음으로 고려된 다중회귀모형의 설명 변수로는 면적 평균 강우량, 유역면적, 삼림면적 비율, 유역밀도, 유역평균경사, 유역둘레, 유역 평균폭, 표고별 누가면적이 선정되었으나, 이 중에서 유역 평균둘레, 유역 평균폭, 표고별 누가면적은 유역면적과의 상관계수가 0.9를 넘어 다중공선성이 발생할 가능성이 크기 때문에 분석에서 제외하고 5개만을 설명변수로 선택하였다. 선정된 5개의 상관계수는 Table 1과 같으며, 선정된 설명변수의 각 값들은 수자원종합관리시스템을 통해 수집하여 Table 2에 표시하였다.
- (8)로부터 사후분포는 우도함수와 사전분포의 곱에 비례하게 됨을 알 수 있다. 분석하고자 하는 자료를 나타낼 수 있는 확률밀도함수가 결정되면 이로부터 우도함수를 유도할 수 있고, 적절한 사전분포를 부여함으로써 사후분포로부터 확률밀도함수의 매개변수를 추출하고 매개변수의 불확실성을 탐색할 수 있다. Bayesian 방법을 이용한 매개변수의 추정은 매개변수를 미지의 상수로 간주하는 것이 아니라 미지의 난수로 간주하게 됨으로써 추정의 관심이 되는 매개변수의 불확실성의 정도를 확률 모형을 이용하여 표현할 수 있게 된다.
- 그러므로 불확실성 측면을 고려해야 하는 경우에는 Bayesian 회귀분석에 의해 산정된 상한값과 하한값의 차이가 기존 방법보다 훨씬 작은 값으로 산정됨을 알 수 있었으므로, 수자원의 관리 측면에서 불확실성이 강조되는 시점에서 기존 방법보다 Bayesian 회귀분석을 사용하여 지역 빈도분석을 수행하는 것이 기존 방법보다 훨씬 불확실성을 감소시켜 나타낼 수 있음을 알 수 있었다. 이와 같은 결과는 기존 방법에 있어서 불확실성을 산정하기 위한 여러 가지 가정이 최종적인 결과를 과대추정하게 함으로써 발생하는 것으로 간주할 수 있으며, Bayesian 회귀분석의 경우에는 불확실성을 산정하기 위한 어떠한 가정도 사용하지 않기 때문에 보다 감소된 불확실성을 산정하게 됨을 알 수 있다.
- Table 9의 결과는 위에서 언급한 기존 방법의 경우와 Bayesian 회귀분석 방법의 특성과 유사한 결과를 나타내고 있는 것을 알 수 있다. 즉 평균값에서는 두 방법의 차이가 없이 거의 비슷한 결과를 산정하지만 불확실성을 나타내는 신뢰구간에 있어서는 Bayesian 회귀분석의 결과가 기존 방법보다 불확실성을 감소시켜 나타냄을 알 수 있다.
후속연구
- White 테스트 결과 95 % 신뢰구간에서 등분성의 귀무가설이 기각되지 않았으므로 95 % 신뢰구간에서 잔차의 분산이 등분산성을 가진다고 설명할 수 있어 OLS를 사용하는 가정에 크게 위배되지 않음을 알 수 있었다. 그러나 GLS를 사용하면 불확실성의 근원을 종류별로 분석할 수 있는 장점이 있어 향후에는 GLS를 사용하여 Bayesian 회귀 분석을 수행한 결과를 상호 비교해 보는 것이 바람직할것으로 판단된다. 또한 Fig.
- 국내에서는 355위 유량의 10년 빈도추정치에 해당되는 기준갈수량이 주로 사용되며 미국 등에서는 7일 지속기간 10년 빈도유량(7Q10)을 추정하여 수자원의 관리에 사용하고 있다. 그러나 수자원의 관리 측면에 있어서 위와 같은 빈도유량은 확정적인(deterministic) 추정치보다는 불확실성을 포함한 확률적인(probabilistic) 추정치가 사용될 필요가 있으며, 불확실성을 감안한 빈도유량을 사용함으로써 수자원 관리 측면에서 보다 효율적이고 다양한 관리 기법이 응용될 수 있다.
- 선정된 추정방법을 수문학적 동질유역에 각각 적용하면 회귀분석의 경우 구축된 회귀모형의 회귀계수(regression coefficient)를 얻을 수 있으며, 이를 이용하여 원하는 지점에서의 설명변수(explanatory variable)로부터 최종적인 종속변수(dependent variable)에 해당하는 추정치를 산정할 수 있다. 그러나 이와 같이 산정된 회귀계수와 그에 따른 종속변수의 추정치는 불확실성을 나타낼 수 있는 신뢰구간이 함께 산정되어 표현되어야 최종 결과인 빈도유량을 이용하여 확률적 개념의 수자원 관리 및 수공구조물의 설계를 수행할 수 있을 것이다. 이와 같은 불확실성을 표현하기 위한 신뢰구간의 산정은 기존에는 정규분포나 t 분포를 이용한 근사식으로부터 회귀계수의 신뢰구간을 표현하였다(Stedinger, 1983; Chowdhury and Stedinger, 1991; Stedinger et al.
- 그러므로 수자원관리의 측면에서 불확실성을 고려하는 것이 점점 더 중요해지는 추세를 감안할 때, Bayesian 회귀분석을 이용하여 지역 빈도분석을 수행하는 것이 불확실성을 표현하는 데 있어서 우월함을 입증하였다. 또한 향 후 연구과제로서 OLS를 이용한 Bayesian 회귀분석을 GLS를 이용하여 수행함으로써 불확실성의 정확도와 불확실성의 종류에 따른 분석을 제안할 수 있다.
- 지역 빈도분석은 자료가 충분한 인근 지점의 유량 정보를 자료가 부족한 지점에서 사용하는 방법이므로 수문학적 특성이 비슷한 지점 또는 유역(hydrological homogeneous region)을 판별하는 작업이 가장 선행되어진다. 이와 같은 수문학적 동질성의 판별은 지역 빈도분석의 추정방법으로 index flood 방법을 적용하는 경우에는 필수적으로 수행해야 하고, 추정방법으로 회귀분석과 같은 다른 방법을 사용하는 경우에도 추정결과의 정확도 보장 측면에서 사전에 수문학적 동질성에 대한 판별이 수행될 필요가 있다. 수문학적 동질성에 대한 판별은 크게 지형적인 분할, 행정구역에 따른 분할, L-moment 방법에 인한 분할, 군집분석(cluster analysis)에 의한 분할 등에 의해 수행될 수 있으나 최종적인 단계에서는 각 방법에 따라 차이는 있지만 분할하고자 하는 주관적인 요인이 개입될 수 있다.
- 이와 같은 연구는 수자원의 관리 측면에서 중요한 저수량의 관리에 있어서 확률적인 개념을 도입할 수 있을 것으로 예측되며, 이에 따라 특정한 한 가지의 계획의 실행보다는 여러 가지 요소를 감안한 융통성 있는 다양한 수자원 관리 기법을 계획하는 데 응용될 수 있으리라 판단된다.
- 4, 5, 6, 7에서 기존 방법과 Bayesian 방법에 의한 평균에서의 빈도곡선과 실측값과의 차이를 도해적 비교를 통하여 비교할 수 있다. 향후 여러 지점에 대한 유사 연구를 수행하고 산정된 빈도곡선을 curve fitting하여 곡선식을 제시할 수 있을 것으로 판단되며, 곡선식이 작성될 수 있다면 도해적 비교가 아닌 교차 검증을 통하여 정량적인 비교를 수행할 수 있으리라 생각된다. 도해적 방법으로 실측값과 두 방법 간의 적용결과를 비교하면, 대부분의 유역에서 10년 빈도를 기준으로 10년 미만의 재현기간에서는 기존 방법이 Bayesian 방법보다 조금 더 실측치와 가깝게 저수유량을 추정하는 것을 알 수 있으며, 10년 이상에서는 Bayesian 방법이 좀 더 실측치와 가까운 유량을 산정 하는 것을 알 수 있다.
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