[논문]평활화된 무차원 단위핵함수를 이용한 단위도의 유도

성기원

doi:10.3741/jkwra.2008.41.6.559

평활화된 무차원 단위핵함수를 이용한 단위도의 유도
A Derivation of a Hydrograph by Using Smoothed Dimensionless Unit Kernel Function 원문보기

韓國水資源學會論文集 = Journal of Korea Water Resources Association, v.41 no.6, 2008년, pp.559 - 564

초록
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본 연구에서는 복합 강우사상으로부터 단위도와 S-곡선을 도출하는 실용적인 방법을 강구하였다. 이 연구에서 이용된 단위핵함수는 단위도와 S-곡선을 유도하는데 있어서 기존의 방법보다 편리하다. 그러나 실제 자료를 분석할 때 단위핵함수는 진동을 보이고 불안정하기 때문에 단위도와 S-곡선 도출에 있어서 장애가 있다. 그런데 단위핵함수의 요소인 Nash 의 순간단위도를 추정함에 있어서 Laplacian 행렬을 이용한 능형회귀분석을 이용하면 사상에 대한 평균적인 단위핵함수를 구하는데 유익함을 발견하였다. 또한 이를 이용하여 단위도의 지속기간 변경도 가능하였다. 이 연구에서 제시된 방법론은 단위도 제작에 적지 않은 도움이 될 것으로 기대한다.

Abstract ▼ AI-Helper

A practical method is derived for determining the unit hydrograph and S-curve from complex storm events by using a smoothed unit kernel approach. The using a unit kernel yields more convenient way of constructing a unit hydrograph and its S-curve than a conventional method. However, with use of real data, the unit kernel oscillates and is unstable so that a unit hydrograph and S-curve cannot easily obtained. The use of non-parametric ridge regression with a Laplacian matrix is suggested for deriving an event averaged unit kernel which reduces the computational efforts when dealing with the Nash instantaneous unit hydrograph as a basis of the kernel. A method changing the unit hydrograph duration is also presented. The procedure shown in this work will play an efficient role when any unit hydrograph works is involved.

주제어

AI 본문요약
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문제 정의

본 연구에서 UK를 구하는 근본적인 목적은 지속기간이 변경된 UH를 기존의 방법보다 용이하게 구하는데 있다. 앞에서 언급한 바가 있듯이 UK가 UH와 근본적으로 다른 점은 UK경우 지속기간과 상관없이 1m³/sec의 강우강도에 대한 직접유출량을 나타내는 반면 UH는 지속기간동안 1m³의 강우량에 대한 유출량을 의미한다.
이 연구에서는 기존의 단위도의 지속기간 변경절차와 비교할 때 계산과정에서 지속기간 변경을 위한 S-곡선을 제작이 불필요하고 아울러 UH의 연산조작 등 번거로운 계산이 생략되는 등의 계산상 장점을 주목할 필요가 있다. 또한 이 연구에서 이용된 Nash 모형대신 다른 종류의 합성 IUH모형을 이용함으로서 미계측유역과 같은 지역의 UH계산이 가능한 매우 구별되는 장점이 있다.
직접유출을 모형화 하는 다양한 방법론 가운데 본 연구에서는 무차원 단위핵함수를 단위 강우강도에 대한 응답함수로 이용하는 절차를 논하였고 실제 적용에서 발생할 수 있는 제한사항 및 해결방법 등을 연구하였다. 이 과정에서 다음과 같은 결론을 얻을 수 있었다.

가설 설정

그런데 성기원, 심명필(1999)은 Eq. (1)을 이용할 때 발생하는 편차는 주로 관측오차, 부적절한 유효강우 산정과 기저유출의 분리에 의하여 발생하는 것으로 가정하고 Bhargava et al.(1987)의 고빈도 진동 완화기법을 도입하여 순간단위도의 진동을 평활화하는 결과를 보여주었다.
복합 강우사상으로부터 단위도를 유도할 때 사상의 선형 시불변(linear time invariant) 시스템 특성을 가정하여 강우유출 관계를 Eq. (1)과 같은 행렬식으로 나타낼 수 있다.

제안 방법

(2)를 적용할 때 성격이 구분되는 두 종류의 λ = (λ1, λ2)를 적용하였다.
(8)의 매개변수 추정을 위한 계산은 유효강우와 λ2를 통해 평활화된 직접유출의 1차 및 2차 모멘트를 이용하여 수행하였다.
또한 복합 강우사상의 분석에서 발견할 수 있는 단위핵함수의 광범위한 진동을 제어하기 위하여 성기원, 심명필(1999)이 제안한 Laplacian 행렬에 의한 시스템응답함수의 진동제어 기법을 사용하였고 이 결과를 감마분포모형의 모수결정에 이용하였다. 또한 제어된 단위핵함수와 S-곡선을 이용하여 단위도의 지속기간 변경에 적용하였다.

대상 데이터

평창강 상류 소유역인 이목정 지점(유역면적: 55.9km²)에서 1989년 7월 11(사상 A)과 1983년 7월 14일(사상 B)에 발생한 두 개의 복합 강우사상을 본 연구에서 적용하였다. 이들은 각각 단위도의 도출이 용이한 집중강우가 작용한 사상과 그리고 장시간에 걸친 복합 강우가 작용한 사상으로서 행렬연산 과정에서 공통적으로 심한 진동을 지닌 핵함수가 계산된 바 있다.

이론/모형

이 감마분포형 순간단위도의 적용과 더불어 Singh(2004)이 제안한 무차원 단위핵함수(unit kernel)와 강우사상 기록의 시간간격에 의존하지 않는 S-곡선 작성법이 단위도 계산을 위하여 도입되었다. 또한 복합 강우사상의 분석에서 발견할 수 있는 단위핵함수의 광범위한 진동을 제어하기 위하여 성기원, 심명필(1999)이 제안한 Laplacian 행렬에 의한 시스템응답함수의 진동제어 기법을 사용하였고 이 결과를 감마분포모형의 모수결정에 이용하였다. 또한 제어된 단위핵함수와 S-곡선을 이용하여 단위도의 지속기간 변경에 적용하였다.
이 IUH는 이산화된 자료가 아닌 연속함수가 계산에 적당한데 이는 변경된 지속기간을 나타내는 임의의 Δt에도 IUH가 계산되어야 하기 때문이다. 본 연구에서는 Nash의 감마분포모형을 IUH로 이용하였는데 이 과정에서 모형의 매개변수가 결정된다. 그런데 감마분포는 해석적 적분이 존재하지 않으므로 이를 근사시켜 계산하여야 한다.
본 연구에서는 직접유출 계산을 단순하고 수치해석적으로 유리하도록 합성 순간단위도를 적용하였는데 이를 위하여 연속함수인 감마분포모형(gamma distribution)을 채택하였다. 이 결과 지속기간 그리고 관측시간간격의 변경에도 불구하고 순간단위도의 종거값 계산이 용이하였다.
이들 사상에 대한 유효강우는 Φ-지표법으로 산출하였으며 기저유출은 수평직선분리법으로 분리하였다.
이러한 의미에서, UK은 곡선이 평활화되고 사상 간에 대하여 평균적이며 유역의 IUH와의 연관성을 고려하는 것이 바람직하다. 이에 본 연구에서는 UK의 추정에 있어서 Nash 모형의 추정된 매개변수의 산술평균을 이용하였다. 그렇지만 실측 사상이 충분할 경우 감마분포함수의 특성을 이용한 여러 종류의 매개변수 적용방법이 가능할 것이다.

성능/효과

이는 Eq. (3)의 S-곡선의 경우 강우의 지속기간에 상관없이 동일한 형상을 갖는다는 것을 의미하는데 이는 동일한 자료를 이용할 경우 단지 1시간 S-곡선을 도출할 수 있는 기존의 방법론과 구분된다. UH의 경우와 마찬가지로 UK도 새로운 S-곡선을 Δt만큼 지체하고 그 종거의 차이를 통해 얻을 수 있다.
1) 단위핵함수를 이용한 유효강우-직접유출의 모형화는 기존의 방법에 비하여 계산 량을 현저하게 감소시키며, 진동을 제어하는 계수 λ는 평활화된 순간단위도를 도출하는데 결정적인 도움을 준다.
2) 기존의 S-곡선과 구별되는 단위핵함수를 이용한 S-곡선은 강우의 지속기간에 대하여 독립적이지만 사상별로는 여전히 심한 진동이 발견되는데 평활화 없이 적용할 경우 오히려 기존의 방법이 우월할 수 있다. 이 경우 Laplacian 행렬을 이용하여 단위핵함수의 진동을 완화하는 기법은 유효하다.
3) 순간단위도는 단위핵함수를 통한 단위도의 도출에 절대적인 영향을 미친다. 따라서 순간단위도의 매개변수 결정방법이나 유역/사상 평균값으로의 매개변수 결정방법 등은 본 연구에서 제시된 방법의 적용성을 향상 시키는 결정적 인자이므로 많은 자료 분석을 통해 검증이 필요하다.
이 연구에서는 기존의 단위도의 지속기간 변경절차와 비교할 때 계산과정에서 지속기간 변경을 위한 S-곡선을 제작이 불필요하고 아울러 UH의 연산조작 등 번거로운 계산이 생략되는 등의 계산상 장점을 주목할 필요가 있다. 또한 이 연구에서 이용된 Nash 모형대신 다른 종류의 합성 IUH모형을 이용함으로서 미계측유역과 같은 지역의 UH계산이 가능한 매우 구별되는 장점이 있다. 그렇지만 IUH의 추정결과가 UH의 거동을 좌우하기 때문에 효과적이며 안정적인 매개변수 추정을 위한 신중한 처리가 요구된다.
이상과 같은 절차를 살펴보면 기존의 S-곡선을 이용한 지속기간의 변경방법보다 제안된 방법이 계산적으로 실용적임을 알 수 있다. 또한 제안된 방법은 실제자료가 없는 지역이라 하더라도 지역화분석을 통한 IUH를 이용함으로서 미계측유역의 설계홍수량 등을 계산할 수 있는 장점이 있다.
이들 사상에 대한 유효강우는 Φ-지표법으로 산출하였으며 기저유출은 수평직선분리법으로 분리하였다. 이 결과 유효강우의 지속기간과 직접유출의 발생시간은 사상 A의 경우 7시간과 34시간이며 사상 B의 경우 14시간과 106시간으로 계산되었다. 이 자료들을 Eq.
본 연구에서는 직접유출 계산을 단순하고 수치해석적으로 유리하도록 합성 순간단위도를 적용하였는데 이를 위하여 연속함수인 감마분포모형(gamma distribution)을 채택하였다. 이 결과 지속기간 그리고 관측시간간격의 변경에도 불구하고 순간단위도의 종거값 계산이 용이하였다. 이 감마분포형 순간단위도의 적용과 더불어 Singh(2004)이 제안한 무차원 단위핵함수(unit kernel)와 강우사상 기록의 시간간격에 의존하지 않는 S-곡선 작성법이 단위도 계산을 위하여 도입되었다.
(6)을 이용하여 2시간 UH를 얻게 된다. 이상과 같은 절차를 살펴보면 기존의 S-곡선을 이용한 지속기간의 변경방법보다 제안된 방법이 계산적으로 실용적임을 알 수 있다. 또한 제안된 방법은 실제자료가 없는 지역이라 하더라도 지역화분석을 통한 IUH를 이용함으로서 미계측유역의 설계홍수량 등을 계산할 수 있는 장점이 있다.

후속연구

이에 본 연구에서는 UK의 추정에 있어서 Nash 모형의 추정된 매개변수의 산술평균을 이용하였다. 그렇지만 실측 사상이 충분할 경우 감마분포함수의 특성을 이용한 여러 종류의 매개변수 적용방법이 가능할 것이다.
3) 순간단위도는 단위핵함수를 통한 단위도의 도출에 절대적인 영향을 미친다. 따라서 순간단위도의 매개변수 결정방법이나 유역/사상 평균값으로의 매개변수 결정방법 등은 본 연구에서 제시된 방법의 적용성을 향상 시키는 결정적 인자이므로 많은 자료 분석을 통해 검증이 필요하다.
오히려 λ2를 이용하여 수문곡선의 물리적 특성에 부합하도록 활용하는 것이 바람직 할 수 있는데 이는 수문통계학적 자료보정이라 할 수 있을 것이다.

질의응답

핵심어	질문	논문에서 추출한 답변
	S-곡선법의 장점은?	이러한 임의 지속기간 단위도를 다른 지속기간의 단위도로 변환하기 위해서는 정수배 방법과 S-곡선법 등이 이용된다. 이 가운데 S-곡선법은 정수배 방법에 비하여 지속기간의 변경에 대한 제한이 없기 때문에 실무적으로 보다 유용하다. 또한 S-곡선은 순간단위도(instantaneous unit hydrograph, IUH)와 이론적인 측면에서 잘 연결되기 때문에 Nash 모형(Nash, 1959)과 같은 합성 순간단위도(synthetic IUH)를 S-곡선의 작성에 이용하여 지속기간의 변경과 같은 작업을 보다 용이하게 수행하기도 한다. 그런데 S-곡선은 유역의 강우-유출 특성을 대표하는 고정된 고유곡선이 아니라 유도되는 유효강우의 지속기간에 따라 임의의 S-곡선을 갖는다.
	Laplacian 행렬이란 무엇을 의미하는가?	여기서 C는 Laplacian 행렬이다. Laplacian 행렬은 행렬의 가장 작은 고유치가 0이 되게 하는 positive semi-definite singular 행렬을 의미한다. 그리고 행렬 C의 크기는 H와 일치한다.
	직접유출을 모형화 하는 다양한 방법론 가운데 본 연구에서는 무차원 단위핵함수를 단위 강우강도에 대한 응답함수로 이용하는 절차를 논하였고 실제 적용에서 발생할 수 있는 제한사항 및 해결방법 등을 연구하였다, 이 과정에서 얻을 수 있는 결과는 무엇인가?	1) 단위핵함수를 이용한 유효강우-직접유출의 모형화는 기존의 방법에 비하여 계산 량을 현저하게 감소시키며, 진동을 제어하는 계수 λ는 평활화된 순간단위도를 도출하는데 결정적인 도움을 준다. 2) 기존의 S-곡선과 구별되는 단위핵함수를 이용한 S-곡선은 강우의 지속기간에 대하여 독립적이지만 사상별로는 여전히 심한 진동이 발견되는데 평활화 없이 적용할 경우 오히려 기존의 방법이 우월할 수 있다. 이 경우 Laplacian 행렬을 이용하여 단위핵함수의 진동을 완화하는 기법은 유효하다. 3) 순간단위도는 단위핵함수를 통한 단위도의 도출에 절대적인 영향을 미친다. 따라서 순간단위도의 매개변수 결정방법이나 유역/사상 평균값으로의 매개변수 결정방법 등은 본 연구에서 제시된 방법의 적용성을 향상 시키는 결정적 인자이므로 많은 자료 분석을 통해 검증이 필요하다.

참고문헌 (7)

성기원, 심명필 (1999). "Mallows의 $C_L$ 통계량을 이용한 수문응답 추정." 한국수자원학회논문집, 한국수자원학회, 제32권, 제4호, pp. 437-445

원문보기 상세보기
윤용남 (2007). 수문학-기초와 응용. 청문각, pp.415-478
Bhargava, U.K., Kashyap, R.L., and Goodman, D.M. (1987). "Two nonparametric methods for identifying the impulse response of linear systems." IEEE Trans. Acoust, Speech Signal Process, Vol. ASSP-35, No. 7, pp. 974-986

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Golub, G.H., Heath, M., and Wahba, G. (1979). "Generalized cross validation as a method for choosing a good ridge parameter." Technometrics, Vol. 21, No. 2, pp. 215-223

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Mallows, C.L. (1973). "Some comments on CP." Technometrics, Vol. 15, No. 4, pp. 661-675

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Nash, J.E. (1959). "Systematic determination of unit hydrograph parameters." Journal of Geophysics Research, Vol. 64, No. 1, pp. 111-115

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Singh, S.K. (2004). "Simplified use of Gammadistribution/Nash model for runoff modeling." Journal of Hydrologic Engineering, ASCE, Vol. 9, No. 3, pp. 240-243

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저자의 다른 논문 :

표제어: PCR

동의어: Packet Collision Rate

용어 설명 출처 목록 (6)

용어 설명: PCR은 세균 특이성이 있는 primer를 이용하여 적은 수의 세균이 있을지라도 쉽게 검출할 수 있는 유용한 방법이며, 이를 이용하여 구강 내 치면세균막이나 타액에서 직접 세균을 검출할 수 있게 되었다[8].

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