[논문]사각형 노치에 대한 램파의 다중 모드 반사와 투과 계수 해석

김병수; 노용래

doi:10.7776/ask.2008.27.3.129

[국내논문] 사각형 노치에 대한 램파의 다중 모드 반사와 투과 계수 해석
Analysis of Multi-Mode Reflection and Transmission Coefficients of a Lamb Wave Across a Rectangular Notch 원문보기

한국음향학회지= The journal of the acoustical society of Korea, v.27 no.3, 2008년, pp.129 - 139

초록
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본 논문의 목적은 탄성판 내에서 진행하는 기본형 램파 모드인 $S_0,\;A_0$ 모드가 사각형 노치에 의해 산란되었을 때, 노치의 2차원 형상에 따른 각 파의 반사계수와 투과계수를 구하는데 있다. 먼저 노치가 있는 부분의 평판의 두께 변화에 따라 노치 부위에 발생 가능한 램파모드의 변화를 고찰하고, 노치 부위의 경계면 형상과 노치 내부에서 진행하는 입사파의 방향에 따라, 노치에 의한 전체 산란 현상을 3가지의 독립된 산란 프로세스로 구분하였다. 그리고 각 프로세스의 경계면에 자유 경계조건과 연속조건을 적용하여 각 프로세스에서 발생된 산란파의 투과 및 반사 계수를 구하였다. 나아가 중첩의 원리를 이용하여 각 프로세스의 산란파를 모드별로 합산하고, 사각형 노치의 폭과 깊이의 변화에 따른 입력파의 에너지 플럭스의 합과 반사 및 투과파의 에너지 플럭스의 합의 차이가 최대 4%에 들도록 하는 정상상태에서의 반사 및 투과계수를 구하고 분석하였다.

Abstract ▼ AI-Helper

The purpose of the present work is to derive the reflection and transmission coefficients of $S_0\;and\;A_0$ mode Lamb waves in relation to the geometry of a rectangular notch when the waves propagate across the notch in an elastic plate. Firstly, the excitable modes of the Lamb wave were analyzed with respect to the plate thickness. The scattering phenomena were divided into three independent processes according to the boundary shape of the notch and the direction of the wave propagation. Linear equations for each process were derived with corresponding free or continuous boundary conditions to analyze the scattered waves. By the rule of linear superposition, the waves scattered at each process were summed for each mode. Then the steady-state reflection and transmission coefficients of the scattered waves were determined so that the difference of energy flux between the incident and the scattered waves would remain within 4%.

Keyword

AI 본문요약
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문제 정의

특히, 판 내부에 있는 2차원 형상의 노치에 의한 램파의 모드변환 현상은 최근 유한요소법 (FEM)에 의한 방법 [5-기과 경계요소법 (BEM)에 의한 방벱8,9]으로 연구되고 있다. 본 연구에서는 상대적으로 두꺼운 판 내부를 진행하는 파가 판의 두께가 갑자기 얇아지는 노치의 경계면을 만날 때 발생하는 모드변환을 Nielsen [10], Lakhtakia [11,12] 그리고 Ws哗 [13]에 의해 사용된 모드 매칭 기술을 이용하여 해석하였고, 그 결과로서 사각형노치의 폭과 깊이의 변화에 따른 투과 계수와 반사 계수를 구함으로써 2차원 형상의 손상부에 의한 램파의 산란 현상을 분석하고자 하였다.

가설 설정

입사파 囹가 처음으로 경계면 4, 4를 만나 반사파를 생성시킨 如시점부터 시간이 충분이 흘러 나머지 모든 시점에서 반사파와 투과파를 발생시킨다고 가정하고, /가 프로세스 1, 2, 3 중 임의의 하나를 나타낸다고 할 때, 爲영역을 지나는 岛와 爲파에 대하여 중첩의 원리를 적용하면 아래와 같이 나타내어질 수 있다.
그러면 식 (15)와같이 정상상태의 투과 및 반사 계수는 기본 램파 모드인岛 및 &만 발생되는 낮은 주파수에서 각 프로세스의 50및 &의 투과 및 반사 계수의 합으로 나타낼 수 있다. 본 논문에서는 실제로 에너지를 전파할 수 있는 전파모드의 램파에 대한 투과 및 반사 계수만을 고려하므로, 에너지를 전파할 수 없는 비전파 모드에 대한 해석은 고려하지 않았다.

제안 방법

사각형 노치의 경우에 노치의 첫 번째 경계면을 통과하는 투과파는 이후 노치의 양 경계면에서 끊임없는 산란을 일으키며, 판의 양 수평 방향으로 반사파와 투과파를 발생시킨다. 본 논문에서는 이러한 연속적이며 반복적인 산란 프로세스를 노치의 경계면 형상과 그 경계면에 입사 되는 파의 방향에 따라 서로 다른 독립적인 3가지의 프로세스로 구분하였다. 각 프로세스의 경계면에 자유조건과 연속조건을 적용해 각 프로세스에 해당하는 선형 연립방정식을 구하였고, 표준화 과정을 통하여 각 프로세스의 투과 및 반사계수를 도출하였다.
본 논문에서는 이러한 연속적이며 반복적인 산란 프로세스를 노치의 경계면 형상과 그 경계면에 입사 되는 파의 방향에 따라 서로 다른 독립적인 3가지의 프로세스로 구분하였다. 각 프로세스의 경계면에 자유조건과 연속조건을 적용해 각 프로세스에 해당하는 선형 연립방정식을 구하였고, 표준화 과정을 통하여 각 프로세스의 투과 및 반사계수를 도출하였다. 나아가 중첩의 원리를 이용해 각 프로세스에서 판의 양 수평방향으로 발생되는 반사 및 투과 계수를 파의 진행방향에 따라 분류하고 합산함으로써, 정상상태의 반사 및 투과 계수를 계산하였다.
각 프로세스의 경계면에 자유조건과 연속조건을 적용해 각 프로세스에 해당하는 선형 연립방정식을 구하였고, 표준화 과정을 통하여 각 프로세스의 투과 및 반사계수를 도출하였다. 나아가 중첩의 원리를 이용해 각 프로세스에서 판의 양 수평방향으로 발생되는 반사 및 투과 계수를 파의 진행방향에 따라 분류하고 합산함으로써, 정상상태의 반사 및 투과 계수를 계산하였다. 해석에서는 노치 부위에서의 산란 현상을 단순화하기 위해 주어진 판의 두께에 대해 단지 기본형 대칭 비대칭 전송파인 岛, Ao 모드만을 발생시키는 낮은 주파수를 설정하였다.
나아가 중첩의 원리를 이용해 각 프로세스에서 판의 양 수평방향으로 발생되는 반사 및 투과 계수를 파의 진행방향에 따라 분류하고 합산함으로써, 정상상태의 반사 및 투과 계수를 계산하였다. 해석에서는 노치 부위에서의 산란 현상을 단순화하기 위해 주어진 판의 두께에 대해 단지 기본형 대칭 비대칭 전송파인 岛, Ao 모드만을 발생시키는 낮은 주파수를 설정하였다. 해석 예로서 100 kHz의 주파수에서 두께 5 mm인 알루미늄 판에 대해 노치부의 판의 두께를 총 8가지 경우로 0.
해석에서는 노치 부위에서의 산란 현상을 단순화하기 위해 주어진 판의 두께에 대해 단지 기본형 대칭 비대칭 전송파인 岛, Ao 모드만을 발생시키는 낮은 주파수를 설정하였다. 해석 예로서 100 kHz의 주파수에서 두께 5 mm인 알루미늄 판에 대해 노치부의 판의 두께를 총 8가지 경우로 0.5 mm 간격으로 분할하였고, 노치의 폭을총 9가지 경우로 2 mm 간격으로 분할하여 각 경우에 해당하는 램파의 투과 및 반사계수를 도출함으로써, 본 논문에서 연구된 해석 기법의 적용 가능성을 확인하였다.
이상의 해석원리를 이용하여 노치를 포함하는 알루미늄 판에서의 램파의 반사, 투과 특성을 다음과 같이 분석 하였다. 분석에서 초기 입사파의 주파수는 100 kHz이고, 분석 대상으로 영율은 72.
그러나 주어진 경계면의 분할간격에 비해 너무 많은 램파 모드를 고려하면, 선형연립방정식의 개수는 일정한 반면 미지수의 개수는 증가하여, 각 프로세스의 계산결과가 정확하지 않게 되고, 결과적으로 싸이클이 증가함에 따라 계산 결과가 발산하게 된다. 이 러한 문제 때문에 본 논문에서는 대칭 및 비대칭 모드 각각에 대하여 60개의 복소 모드를 고려하였다. 여기서 주의할 점은 계산에서 고려할 비전파 램파 모드의 파수를 선택할때 그 파수의 실수부의 부호를 양인 경우와 음인 경우가한 쌍이 되도록 해야 하는더L 그 이유는 Rayleigh-Lamb 식에서 파수가 제곱의 형태로 표현되어 있기 때문이다[13].
계산오차는 에너지 보존의 법칙에 의거해 입력파의 전파모드의 에너지 플럭스의 합과 반사 혹은 투과되는 전파 모드의 에너지 플럭스의 합의 차를 통해 계산되는데, 본 논문에서는 £와 爲만 발생시키는 낮은 주파수를 고려하므로 전파모드는 대칭 및 비대칭 램파에 있어서 각각 하나씩 있다. 그러므로 계산오차는 식 (16)을 통해 계산하였고, 반복계산 도중 더 이상 오차 값이 바뀌지 않는 신뢰할 만한 결과를 얻기 위해서 각 사이클의 계산된 오차값%를 바로 이전 사이클에서 계산된 号t로 뺀 값인 식 (17) 이 0.
본 논문에서는 판의 내부에 하나의 사각형 노치가 존재할 때, 입사파가 岛 혹은 & 인 램파에 대하여 정상상태의 반사 및 투과 계수를 구하고, 그 기법을 알루미늄 판에 적용하여 해석하여 보았다. 계산결과에 의하면 노치의 깊이와 폭이 변함에 따라 정상상태 응답의 전파모드 램파의 진폭이 변화하였고, 입사파가 대칭 램파일 때보다 비대칭 램파일 때 이러한 특성이 두드려졌다.
계산결과에 의하면 노치의 깊이와 폭이 변함에 따라 정상상태 응답의 전파모드 램파의 진폭이 변화하였고, 입사파가 대칭 램파일 때보다 비대칭 램파일 때 이러한 특성이 두드려졌다. 본 논문에서 연구한 기법은 노치의 형상에 따른 램파의 투과, 반사계수를 도출함으로써, 구조물 내의 결함에 의한 파의 특성 변화를 정량적으로 분석할 수 있도록 하였다. 이러한 결과는 구조물의 건전성을 평가할 수 있는 초음파 비파괴 진단의 해석도구로 활용될 수 있을 것이다.

대상 데이터

이상의 해석원리를 이용하여 노치를 포함하는 알루미늄 판에서의 램파의 반사, 투과 특성을 다음과 같이 분석 하였다. 분석에서 초기 입사파의 주파수는 100 kHz이고, 분석 대상으로 영율은 72.6 GPa, 포아송 비는 0.34이고 두께는 5mni인 알루미늄 판을 사용하였다. 판 내의 노치의 깊이 (d)는 0.
여기서 주의할 점은 계산에서 고려할 비전파 램파 모드의 파수를 선택할때 그 파수의 실수부의 부호를 양인 경우와 음인 경우가한 쌍이 되도록 해야 하는더L 그 이유는 Rayleigh-Lamb 식에서 파수가 제곱의 형태로 표현되어 있기 때문이다[13]. 본 논문에서는 판의 두께 변화에 따라 61개의 대칭 모드와 62개의 비대칭모드를 고려하였다. 이러한 차이를둔 이유는 낮은 주파수 영역에서 각 판의 두께에 따라서 대칭, 비대칭 램파에 대하여 실수 파수가 각각 하나씩 있고, 복소수 파수의 실수 부분이 부호가 다른 쌍으로 각각 존재하지만, 대칭모드에서는 없는 허수만을 가지는 파수가 비대칭모드에서 한 개 있기 때문이다.

이론/모형

[尾]는 입사파에 의해 자유 경계조건이나 연속조건이 적용되는 경계면들에 작용하는 응력과 변위를 나타내는 매트릭스로서, 입사파와 경계면의 형상을 알면 구할 수 있다. 나아가【词는 각 프로세스에 대하여 고려되는 경계면 위의 점과 파수를 식 ⑵에 대입시키고 식 ⑷와 같이 표준화함으로써 구할 수 있으므로, 식 (13)의 양변을厂何으로 나누어 주면 결론적으로 각 프로세스의 [RS], [RA\, [TS], 比为]는 식 (13)을 통하여 구할 수 있다 그러나 식 (13)의 계산과정에서 노치의 경계면을 조밀하게 분할하면 [用의 크기가 매우 커지면서 수치적으로 singular 에 급격하게 가까워지기 때문에, 본 논문에서는 Sii^ular Value Decomposition (SVD) [1기방법을사용하여 [Z기를식 (13)으로부터 계산했다.

성능/효과

계산의 정확성은 각 판의 두께에서 발생 가능한 램파 모드를 많이 고려해주고, 각 프로세스의 경계면을 조밀 하게 나눌수록, 그리고 入忡클의 반복횟수를 증가시킬수록 증가한다. 그러나 주어진 경계면의 분할간격에 비해 너무 많은 램파 모드를 고려하면, 선형연립방정식의 개수는 일정한 반면 미지수의 개수는 증가하여, 각 프로세스의 계산결과가 정확하지 않게 되고, 결과적으로 싸이클이 증가함에 따라 계산 결과가 발산하게 된다.
그림 6의 (b)와 (d)를 보면 岛모드 입사파에 대한 岛모드의 투과 계수의 크기는 노치의 깊이가 깊어질수록 지속적으로 작아지고, 岛모드의 반사계수는 반대로 커지는 뚜렷한 경향이 있었지만, 노치 폭의 증가에 대해서는 상대적으로 그리 큰 영향을 받지 않았다 입사파가 &모드일 때의 力。의 투과계수 및 반사계수의 크기는 그림 7의 (a)와 (©에 나타난 바와 같이, 입사파가 아모드일 때보다 노치의 폭의 변화에 따라 민감하게 변화하였다. 즉, 노치의 깊이가 증가하면 특정한 패턴을 따라 Ao 모드의 투과 계수는 감소하다 다시 증가하며, &모드의 반사계수는 증가하다 다시 감소하는 특성을 보였다.
본 논문에서는 판의 내부에 하나의 사각형 노치가 존재할 때, 입사파가 岛 혹은 & 인 램파에 대하여 정상상태의 반사 및 투과 계수를 구하고, 그 기법을 알루미늄 판에 적용하여 해석하여 보았다. 계산결과에 의하면 노치의 깊이와 폭이 변함에 따라 정상상태 응답의 전파모드 램파의 진폭이 변화하였고, 입사파가 대칭 램파일 때보다 비대칭 램파일 때 이러한 특성이 두드려졌다. 본 논문에서 연구한 기법은 노치의 형상에 따른 램파의 투과, 반사계수를 도출함으로써, 구조물 내의 결함에 의한 파의 특성 변화를 정량적으로 분석할 수 있도록 하였다.

후속연구

본 논문에서 연구한 기법은 노치의 형상에 따른 램파의 투과, 반사계수를 도출함으로써, 구조물 내의 결함에 의한 파의 특성 변화를 정량적으로 분석할 수 있도록 하였다. 이러한 결과는 구조물의 건전성을 평가할 수 있는 초음파 비파괴 진단의 해석도구로 활용될 수 있을 것이다.

참고문헌 (17)

M. A. Flores-Lopez and R. D. Gregory, "Scattering of Rayleigh-Lamb waves by a surface breaking crack in an elastic plate," J. Acoust. Soc. Am. 119, 2041-2049, 2006

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B. Morvan, N. W. Chancellier, H. Duflo, A. Tinel, and J. Duclos,"Lamb wave reflection at the free edge of a plate," J. Acoust. Soc. Am. 113, 1417-1425, 2003

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M. Castaings, E. L. Clezio, and B. Hosten, "Modal decomposition method for modeling the interaction of Lamb wave cracks," J. Acoust. Soc. Am. 112, 2567-2582, 2002

상세보기
P. J. Torvik, "Reflection of Wave Trains in Semi-Infinite Plates," J. Acoust. Soc. Am. 41, 346-353, 1967

상세보기
M. J. S. Lowe and O. Diligent, "Low-frequency reflection characteristics of the $S_0$ Lamb wave from a rectangular notch in a plate," J. Acoust. Soc. Am. 111, 64-74, 2002

상세보기
M. Lowe, P. Cawley, J. Kao, and O. Dillgent, "The low frequency reflection characteristics of the fundamental antisymmetric Lamb wave $A_0$ from a rectangular notch in a plate," J. Acoust. Soc. Am. 112, 2612-2622, 2002

상세보기
B. Hosten, L. Moreau, and M. Castaings, Reflection " and transmission coefficients for guided waves reflected by defects in viscoelastic material plates," J. Acoust. Soc. Am. 121, 3409-3417, 2007

상세보기
Y. Cho and J. L. Rose, "An elastodynamic hybrid boundary element study for elastic guided wave interactions with a surface breaking defeat," Int. J. Solid and Structures 37, 4103-4124, 2000

상세보기
J. L. Rose, W. Zhu, and Y. Cho, "Boundary element modeling for guided wave reflection and transmission factor analyses in defect classification," Proc. IEEE Ultrason. Symp. 1, 885-888, 1998
E. D. Nielsen, "Scattering by a cylindrical post of complex permittivity in a waveguide," IEEE Trans. Microwave Theory Tech. MTT-17, 148-153, 1969
A. Lakhtakia, V. V. Varadan, and V. K. Varadan, "Reflection characteristics of an elastic slab containing a periodic array of cylinders: SH wave analysis," J. Acoust. Soc. Am. 80, 311-316, 1986

상세보기
A. Lakhtakia, V. V. Varadan, and V. K. Varadan, "Reflection characteristics of an elastic slab containing a periodic array of cylinders: P and SV wave analysis," J. Acoust. Soc. Am. 83, 1267-1275, 1988

상세보기
X. M. Wang, "Scattering of Lamb waves by a circular cylinder," J. Acoust. Soc. Am. 110, 1752-1763, 2001

상세보기
F. Simonetti and M. J. S. Lowe, "On the meaning of Lamb mode nonpropagating branches," J. Acoust. Soc. Am. 118, 186-192, 2005

상세보기
B. Auld, Acoustic Fields and Waves in Solids, (Krieger, Malabar, 1990), Vol. 2
A. Gunawan and S. Hirose, "Mode-exciting method for Lamb wave scattering analysis," J. Acoust. Soc. Am. 115, 996-1005, 2003

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W. H. Press, S. A. Teukolsky, W. T. Vetterling, and B. P. Flannery, Numerical Recipes in C, (Cambridg U.P., Cambridge,1997)

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표제어: PCR

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용어 설명 출처 목록 (6)

용어 설명: PCR은 세균 특이성이 있는 primer를 이용하여 적은 수의 세균이 있을지라도 쉽게 검출할 수 있는 유용한 방법이며, 이를 이용하여 구강 내 치면세균막이나 타액에서 직접 세균을 검출할 수 있게 되었다[8].

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