이 연구에서는 수학교육에 관한 드모르간의 견해를 체계적으로 파악하는 것에 초점을 맞추고 있다. 수학교육에 관한 그의 관점을 다음과 같이 요약할 수 있다. 첫째, 수학 교수-학습에 있어서 역사 발생의 과정을 고려해야 한다. 둘째, 학생의 수학적 개념작용이 점진적으로 형식화되어야 한다. 셋째, 귀납 단계에서 연역 단계로 넘어가는 과정에서 지속적으로 나타나는 오류를 학습에 이용하는 것이 중요하다. 넷째, 수학 교수-학습에서 학생의 개인적 지식이 중요하다. 드모르간이 재기한 이 네가지 관점은 수학적 확실성에 이르게 하기 위해 먼저 심정적 확실성을 경험하게 하려는 접근 방식이다. 그가 제기한 심정적 확실성은 합리성과 인간성의 결합체로 플라토니즘과 일반대중교육의 간격을 메우는 인식론적 도구이다.
이 연구에서는 수학교육에 관한 드모르간의 견해를 체계적으로 파악하는 것에 초점을 맞추고 있다. 수학교육에 관한 그의 관점을 다음과 같이 요약할 수 있다. 첫째, 수학 교수-학습에 있어서 역사 발생의 과정을 고려해야 한다. 둘째, 학생의 수학적 개념작용이 점진적으로 형식화되어야 한다. 셋째, 귀납 단계에서 연역 단계로 넘어가는 과정에서 지속적으로 나타나는 오류를 학습에 이용하는 것이 중요하다. 넷째, 수학 교수-학습에서 학생의 개인적 지식이 중요하다. 드모르간이 재기한 이 네가지 관점은 수학적 확실성에 이르게 하기 위해 먼저 심정적 확실성을 경험하게 하려는 접근 방식이다. 그가 제기한 심정적 확실성은 합리성과 인간성의 결합체로 플라토니즘과 일반대중교육의 간격을 메우는 인식론적 도구이다.
In this paper, We focus on grasping De Morgan's perspectives on mathematics education systematically. His perspectives can be summarized as followings. First, historico-genesis of mathematics must be considered in the teaching and learning of mathematics. Second, mathematical conception of students ...
In this paper, We focus on grasping De Morgan's perspectives on mathematics education systematically. His perspectives can be summarized as followings. First, historico-genesis of mathematics must be considered in the teaching and learning of mathematics. Second, mathematical conception of students must be formulated progressively. Third, it is important to use errors which come out continually in the process of passing from inductive stage to deductive stage. Fourth, personal knowledge of students is important in the teaching and learning of mathematics. These De Morgan's four perspectives are the way of approach for experiencing moral certainty first of all to get to mathematical certainty. Moral certainty which he presented is a combination of rationality and humanity to fill up gaps between Platonism and general public education.
In this paper, We focus on grasping De Morgan's perspectives on mathematics education systematically. His perspectives can be summarized as followings. First, historico-genesis of mathematics must be considered in the teaching and learning of mathematics. Second, mathematical conception of students must be formulated progressively. Third, it is important to use errors which come out continually in the process of passing from inductive stage to deductive stage. Fourth, personal knowledge of students is important in the teaching and learning of mathematics. These De Morgan's four perspectives are the way of approach for experiencing moral certainty first of all to get to mathematical certainty. Moral certainty which he presented is a combination of rationality and humanity to fill up gaps between Platonism and general public education.
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문제 정의
앞서 밝혔듯, 그는 이러한 관점에 입각해 양으로 해석할 수 없는 음수와 허수의 교수-학습 계열의 전체적 모습을 제시하고자 하였다. 구체적으로 말해, 학생들이 음수와 허수의 대수적 의미를 통찰하는 단계로 나아가기 위해 인식론적 장애를 겪으며 관찰 단계에서 귀납 단계로 나아가고 형이상학적인 논의를 할 수 있을 때에 이르러서 연역 단계로 나아가야 한다고 주장하였다(Pycior, 1983).
(On the study and difficulties of mathematics} (1831/1910)는 초보학습자들을 위한 교재가 별로 없었던 당시에는 매우 유용한 교과서이었다. 이 책은 자율학습이 가능하도록 학습자들이 겪을 어려움과 그것을 극복하여 수학적 개념에 이르는 과정을 자세히 기술하였다. 이 책은 드모르간의 교육적 견해가 포함되어 있는 가장 중요한 문헌으로 SDUK의 가장 핵심적인 교육적 저서 중의 하나이다(Phillips, 2005: 109-110).
그러나 이 선행 연구는 대체로 수학 사적인 논의이거나 수학교육에 관한 드모르간의 단편적 연구를 재조직하는 성격의 것으로서, 수학교육에 관한 드모르간의 견해를 체계적으로 고찰하고 있는 것은 아니다. 이런 이유로 이 연구에서는 수학교육에 관한 드모르간의 견해를 구조적으로 파악하는 것에 초점을 맞추고 있다. 수학교육과 관련해서 그가 남긴 광대한 교수 자료뿐만 아니라 수학교육에 관해 피력했던 일련의 견해는 그가 수학교육에 관해 확고한 신념을 가지고 있다는 것을 말해 준다.
제안 방법
이에 비해 드모르간은 통약가능한 양에서 성립하는 비례 론을 점진적으로 확장하여 통약가능하지 않은 양에서도 성립하는 성질로서 설명 하였다(De Morgan, 1831/1910: 256). 1875년 영국 기하교수법 개선협회8)에서 교육과정에 관한 교수요목 (syllabus)을 발표할 때, 이 새로운 비례론은 기존의 유클리드 《원론》의 비례론을 대체하였 다(Cajori, 1917/1957: 286). 물론 이 비례론에는 극한의 아이디어가 포함되었지만, 근본적인 원리는 통약가능한 양 사이에서 성립하는 규칙을 확장하는 것이다.
이 연구에서 관심을 갖고자 하는 것이 바로 그러한 신념의 정체이다. 이를 위해 먼저 드모르간의 생애와 그의 수학적 및 수학교육적 이력에 관해 간략히 살펴본 후, 그의 수학교육 관점에 관해 논의한다. 그리고 그가 수학교육에 관해 피력했던 견해를 바탕으로 그의 수학교육 관점을 조명한다.
대상 데이터
어린 시절에 드모르간은 수학적 능력을 특별히 표출하지는 않았으나, 가까운 지인이 그에게 유클리드 《원론》의 목적을 설명해 준 뒤로 수학적 재능을 드러내었다. 16살에 케임브리지 대학교의 Trinity College 에 입 학하여 수학자인 G. Peacock(1791-1858)과 과학철학자인 W.Whewell(1794-1866)으1 지도를 받았다. 특히 Peacock으로부터는 대수학 분야, Whewell 로부터는 논리학 분야의 영향을 받았다(Halsted, 1897; Macfarlane, 1916; Howson, 1982; Guinness, 1992; Rauff, 1992; Rice, 1996a).
이론/모형
(De Morgan, 1831/1910: 240-264). 기존의 유클리드 《원론》에서는 통약가능한 양과 통약가 능하지 않은 양에서 모두 성립하는 에우독소스 (Eudoxus)의 비례론을 사용하였다. 이에 비해 드모르간은 통약가능한 양에서 성립하는 비례 론을 점진적으로 확장하여 통약가능하지 않은 양에서도 성립하는 성질로서 설명 하였다(De Morgan, 1831/1910: 256).
그것은 긴 역사를 가지고 있으며, 과거의 선도적인 수학 교육자들의 수많은 시행착오에 빚지고 있다. 이 연구는 그러한 수학교육자 중의한 사람인 드모르간(Augustus De Morgan, 1806-1871)에 초점을 맞추고 있다. 그는 관계논리학을 최초로 도입한 탁월한 논리학자로, 그리고 대수학 및 해석학의 발전에 기여한 수학자로 잘 알려져 있다.
성능/효과
이러한 드모르간의 생각은 인식론적 장애를 강조한 Brousseau의 생각과 유사하다. 넷째, 드모르간은 개인적 지식을 강조하였다. 이와 관련해, 드모르간은 수학을 배워가면서 지적 책임감을 습득할 뿐만 아니라 지적 즐거움을 향유함으로써인간성을 회복할 수 있다고 보았다.
물론, 이러한 점은 그가 수학의 유용성을 본질적으로 응용가능성에서 찾지 않았다는 점을 함의한다. 다시 말해, 그에게 있어서 수학은 다른분야에 효과적으로 사용되 어진다는 면에 서뿐만아니라 인간의 이성을 기르는 데 탁월하게 유용하다는 것을, 그리고 그러한 수학 지식의 보급이 인간성을 회복하는 유용한 길이라는 것을의미하였다. 이때, 그는 학생들이 논리적으로추론하는 기술을 습득하는 수학 학습을 통해덕, 선의 개념과 관련된 즐거움을 누릴 것이라고 확신하였다(Phillips, 2005: 126-127).
이러한 아이디어는 역사-발생적 원리와 일맥상통한다. 둘째, 드모르간은 학생의 수학적 개념작용이 점진적으로 형식화되어야 한다고 보았다. 그는 이론에 의해서가 아니라 관찰과 경험에서 얻어진 규칙을 이용하여 수학적 개념을 형식화하여야 한다고 보았다.
그는 이론에 의해서가 아니라 관찰과 경험에서 얻어진 규칙을 이용하여 수학적 개념을 형식화하여야 한다고 보았다. 셋째, 드모르간은 귀납 단계에서 연역 단계로 넘어가는 과정에서 지속적으로 나타나는 오류를 학습에 이용하는 것이 중요하다고 하였다. 이러한 드모르간의 생각은 인식론적 장애를 강조한 Brousseau의 생각과 유사하다.
수학교육에 관한 그의 관점을 다음과 같이 요약할 수 있다. 첫째, 드모르간은 수학 교수-학습에 있어서 역사 발생의 과정을 고려해야 한다고 보았다. 그는 수학 발달의 실제 전개와 논리적인 전개 사이에 차이가 있을 수 있으며, 수학을 일반교양교과로서 가르치기 위해서는 그것을 과거의 마음과 연결할 필요가 있다고 생각하였다.
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