[논문]19세기 대수학 및 논리학 발달에서의 드모르간의 위상

최지선; 박선용; 김재홍; 권석일; 박교식

19세기 대수학 및 논리학 발달에서의 드모르간의 위상
De Morgan in the development of algebra and mathematical logic in 19C 원문보기

한국수학사학회지 = The Korean journal for history of mathematics, v.22 no.4, 2009년, pp.129 - 144

최지선 (중흥중학교) , 박선용 (한국교육과정평가원) , 김재홍 (서울대학교 대학원) , 권석일 (경인교육대학교) , 박교식 (경인교육대학교)

초록
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이 연구의 목적은 19세기 대수와 논리 분야에서 드모르간이 구체적으로 어떻게 기여했는지를 살펴보는 것이다. 19세기 대수 분야 발달과정에서 드모르간은, 산술에서 단순히 유추한 형태의 기호대수를 넘어서, 형식으로부터 구성하는 수학의 가능성을 인식하고 이를 명시적으로 나타내어 추상대수학으로 나아갈 수 있는 기초를 닦았다. 드모르간은 19세기 논리학 분야 발달과정에서 아리스토텔레스 논리학의 재구성자인 동시에 수학적 논리학의 창시자로 간주할 수 있다. 그의 연구로 논리학이 철학에서 분리되어 나와 수학과 더욱 긴밀하게 결합하게 되어 수학적 논리학이 하나의 독립적 학문으로 자리 잡게 되었다. 그의 연구 활동을 통하여 우리는 19세기 수학의 발달에서 대수학과 논리학이 현재의 상태로 진화하여 가는 모습을 좀 더 명확하게 알 수 있다.

Abstract ▼ AI-Helper

The purpose of this study is what exactly De Morgan contributed to abstract algebra and mathematical logic. He recognised the purely symbolic nature of algebra and was aware of the existence of algebras other than ordinary algebra. He madealgebra as a science by introducing the ordered field and made the base for abstract algebra. He was one of the reformer of classical mathematical logic. Looking into De Morgan's works, we made it clear that the developments of algebra and mathematical logic in 19C.

주제어

AI 본문요약
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문제 정의

후)첫째로드모르간은">첫째로 드모르간은 당대의 다른 학자들과 달리 대수와 논리를 학문의 위치로 끌어올리려고 하였다. 드모르간은 대수를 기예로 본 피콕의 견해에 반하여 대수를 학문으로 만들고자 하였으며, 논리학과 수학을 분리하여 생각하였던 해밀턴과 달리 논리학을 수학과 결합하여 다루고자 하였다. 둘째로, 드모르간은 대수학과 논리학에서 모두 일관성 있는 ">있다([25]). 이 연구의 목적은 바로 이 두 분야에서 드모르간이 구체적으로 어떻게 기여했는지 그 족적을 추적하는 것이다. 그의
가설 설정
- 1. 대수의 기본 기호는 0, 1, +, −, ×, ÷, ( ) ( ), 그리고 문자(letters)이다.
- 후)5.기호만">5. 기호만 다른 co-term은 0과 같고, 기호만 다른 co-factor는 1과 같다.

제안 방법

”고 하였다. 드모르간은 부정과 음수에 대한 인식론적 장애가 유사한 것이라 고 보면서, 음수를 포함하는 대수 체계를 구성함으로써 양수와 음수를 동일하게 취급하게 하고, 논의세계 개념을 구성하여 X와 non-X, 술어 Y와 not Y를 동등하게 취급하게 하는 방식으로 자신이 고민하였던 문제를 해결하고자 하였다.
또, 드모르간은 여러 관계를 대수적으로 다루기 위해 두 관계 M과 N의 논리합, 논리곱, 상대적 합, 상대적 곱을 각각 MN′, MN, M≬N, M(N)으로 나타내고 관계 M의 보관계(complementary relation to M)와 역관 계를 각각 n, M-1로 표현하는 기호 체계를 도입하였다([28, p.165]).
후)이중 대수로">이중대수로 즉, 복소수로 확장하는 것을 시도하였다. 또, 이중대수를 삼차원 즉, 삼중대수로 확장하는 것을 시도하였다. 드모르간의 이러한 연구는 해밀턴 경의 후)이중 대수로">이중대수로 형식화하였다. 또한 그는 해밀턴 경과 휴웰과의 교류를 통해 이중대수를 삼차원으로 즉, 삼중대수로 확장하는 것을 시도하였으며, 그 결과로 〈On triple algebra〉(1849)를 출판하였다. 이러한 연구들은 해밀턴 경의 후)기호체계를">기호 체계를 제시하였다. 셋째로 음수와 부정과 같이 이전에는 학문적 대상으로서 체계적으로 다루어지지 않던 것을 학문적 대상으로 삼아 체계적으로 연구하고, 그 각각에 대한 교육적인 조처를 고민하였다. 드모르간은 음수의 인식론적 지위에 대하여 끊임없이 고민하였을 뿐만 드모르간은 이를 위하여 여러 가지 방법을 고안하였다. 우선 전통적인 삼단논법의 논증을 류 사이의 관계와 이중계사 삼단논법(bicopular syllogism)을 도입하여 다루었고, 계사 자체도 일반화하였다. 이중계사 이상에서 살펴본 바와 같이 드모르간은 산술에서 단순히 유추한 형태의 기호대수를 넘어서, 형식으로부터 구성하는 수학의 가능성을 인식하고 이를 명시적으로 나타내어 추상대수학으로 나아갈 수 있는 기초를 닦았다.
불은 드모르간의 〈On the syllogism I〉의 영향을 받아 1847년에 《The mathematical analysis of logic》을 집필하였고, 1848년에는 〈Calculus of Logic〉을 《Cambridge and Dublin Mathematical Journal》에 투고하였다. 이후 불은 이 논문에 담긴 원리를 발전시켜 오늘날 불 대수라고 일컫는 논리 체계가 담긴 《An investigation into the laws of thought, on which are founded the mathematical theories of logic and probabilities》(1854)를 집필하였다([10, pp.165-168], [16], [29], [30]).
드모르간은, 《Formal Logic》(1847)을 집필하던 당시에 추이성, 치환성(convertibility)과 같은 형식적 성질을 만족하는 관계 용어는 모두 삼단논법의 규칙을 만족시킬 수 있음을 자각하였다. 형식적 성질을 연구의 대상으로 삼게 된 드모르간은 추이성만을 따를 때와 치환성을 덧붙였을 때로 나누어 삼단논법의 규칙을 연구하였다. 이렇게 해서 관계의 형식적 성질을 다루는 논리학을 태동시키게
이론/모형
- 그 결과는 1839년부터 1844년 사이에 네 편의 논문으로 나온 〈On the foundations of algebra〉이다. 《Trigonometry and double algebra》(1849)(이하 간단히 TDA)는 이 논문들을 바탕으로 집필되었다. 드모르간은 TDA에서 대수를
  성능/효과
  
  3. 앞에 + 또는 -가 있는 기호는 항(term), 앞에 × 또는 ÷가 있는 기호는 인수(factor), AB에서 A는 밑, B는 지수, 항들로만 구성된 표현은 co-terms, 인수로만 구성된 표현은 co-factors이다.
  
  후)6.항이나">6. 항이나 인수 기호를 어떻게 조합하든지 어떤 기호가 동일하게 적용될 때, 그 기호는 항이나 인수에 분배된다.
  
  후)논의 세계라는">논의세계라는 개념을 도입하였다. 그 개념을 바탕으로 술어 Y와 not Y를 동등하게 취급하고, 주어뿐만 아니라 술어도 양화할 수 있다는 점을 알게 되었고, 주어와 술어의 관계 관점에서 논리 명제를 다루게 되었다. 이러한 술어의 양화는 일상어나 후)피콕 의">피콕의 견해에 반하여 대수를 학문으로 만들고자 하였으며, 논리학과 수학을 분리하여 생각하였던 해밀턴과 달리 논리학을 수학과 결합하여 다루고자 하였다. 둘째로, 드모르간은 대수학과 논리학에서 모두 일관성 있는 기호 체계를 제시하였다. 셋째로 음수와 부정과 같이 이전에는 학문적 대상으로서 체계적으로 다루어지지 않던 것을 학문적 대상으로 삼아 체계적으로 연구하고, 그 각각에 대한 교육적인 조처를 고민하였다.

질의응답

핵심어	질문	논문에서 추출한 답변
	수학적 귀납법이라는 용어를 만든 사람은 누구인가?	영국의 수학자 드모르간(Augustus De Morgan, 1806-1871)은 오늘날 그의 이름이 들어가 있는 ‘드모르간의 법칙’으로 잘 알려져 있는 바, 그것은 집합론과 논리학의 기본법칙이다. 그는 ‘수학적 귀납법’이라는 용어를 만들고 정의했을 뿐만 아니라, 그 방법을 명료화하는데도 기여하였다([30]).
	드모르간은 대수학과 논리학을 누구로부터 배웠는가?	드모르간은 16세에 케임브리지의 트리니티 대학에 입학하여 당대의 유명한 수학자 피콕(George Peacock, 1791-1858)과 논리학자 휴웰(William Whewell, 1794-1866)로부터 각각 대수학과 논리학을 배우게 된다([13], [18], [25]). 드모르간은 피콕이 촉발한 기호대수학을 발전시켰다.
	4색 문제는 드모르간의 학생 중 누가 거론한 것인가?	그의 이름은 4색문제와 관련해서도 등장한다. 1852년에 드모르간의 학생이었던 거스리*(Francis Guthrie, 1831-1899)가 그에게 처음으로 4색 문제를 거론함으로써, 수학계에서 4색문제에 관한 논의가 본격적으로 이루어지게 되었다([31]). 그러나 수학계에서 드모르간의 기여가 이런 정도에 그치는 것은 아니다.

참고문헌 (33)

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http://en.wikipedia.org/wiki/Four_color_theorem
http://en.wikipedia.org/wiki/Copula_(linguistics)

저자의 다른 논문 :

표제어: PCR

동의어: Packet Collision Rate

용어 설명 출처 목록 (6)

용어 설명: PCR은 세균 특이성이 있는 primer를 이용하여 적은 수의 세균이 있을지라도 쉽게 검출할 수 있는 유용한 방법이며, 이를 이용하여 구강 내 치면세균막이나 타액에서 직접 세균을 검출할 수 있게 되었다[8].

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