본 연구의 목적은 증명학습에 대한 학생들의 성향과 학생들이 증명학습에서 느끼는 어려운 점들을 조사하고, 역동적인 기하 소프트웨어인 The Geometer's Sketchpad의 활용이 어떻게 학생들의 증명학습을 도울 수 있는지 탐구하는 것이다. 2개 고등학교의 117명 9학년 학생들이 본 연구에 참여하였다. 사전 설문 조사 결과에 의하면 증명학습에 대해서 전체 응답자(116명) 중 16%만이 긍정적인 태도를 보여준 반면 50% 이상의 학생들이 부정적인 태도를 보여주었다. 증명학습에서 가장 어려운 점이 무엇인지를 묻는 문항에 '여러 종류의 정리, 정의, 공준 등을 암기 및 기억하는 것'이라고 응답한 비율이 가장 높게 나타났다. 본 연구를 통해서 The Geometer's Sketchpad의 사용이 학생들의 증명학습에 대한 흥미를 유발하고 이해를 발달시키는데 긍정적인 역할을 할 수 있음을 확인하였다.
본 연구의 목적은 증명학습에 대한 학생들의 성향과 학생들이 증명학습에서 느끼는 어려운 점들을 조사하고, 역동적인 기하 소프트웨어인 The Geometer's Sketchpad의 활용이 어떻게 학생들의 증명학습을 도울 수 있는지 탐구하는 것이다. 2개 고등학교의 117명 9학년 학생들이 본 연구에 참여하였다. 사전 설문 조사 결과에 의하면 증명학습에 대해서 전체 응답자(116명) 중 16%만이 긍정적인 태도를 보여준 반면 50% 이상의 학생들이 부정적인 태도를 보여주었다. 증명학습에서 가장 어려운 점이 무엇인지를 묻는 문항에 '여러 종류의 정리, 정의, 공준 등을 암기 및 기억하는 것'이라고 응답한 비율이 가장 높게 나타났다. 본 연구를 통해서 The Geometer's Sketchpad의 사용이 학생들의 증명학습에 대한 흥미를 유발하고 이해를 발달시키는데 긍정적인 역할을 할 수 있음을 확인하였다.
The purposes of this study were to investigate what attitudes students have toward learning proofs and what difficulties they have in learning proofs, and to examine how the use of dynamic geometry software, the Geometer's Sketchpad, helps students' proof learning. The study involved 117 9th graders...
The purposes of this study were to investigate what attitudes students have toward learning proofs and what difficulties they have in learning proofs, and to examine how the use of dynamic geometry software, the Geometer's Sketchpad, helps students' proof learning. The study involved 117 9th graders in 2 high schools. According to questionnaire data, over 50 percent of the total respondents(116) indicated negative attitudes toward learning proofs, on the other hand, only 16 percent of the total respondents indicated positive attitudes toward the learning. Memorizing and remembering many kinds of theorems, definitions, and postulates to use in proving statements was the most difficult part in learning proofs, which the largest proportion of the total respondents indicated. The study found that the use of the Geometer's Sketchpad played positive roles in developing students' understanding of proofs and stimulating students' interests in learning proofs.
The purposes of this study were to investigate what attitudes students have toward learning proofs and what difficulties they have in learning proofs, and to examine how the use of dynamic geometry software, the Geometer's Sketchpad, helps students' proof learning. The study involved 117 9th graders in 2 high schools. According to questionnaire data, over 50 percent of the total respondents(116) indicated negative attitudes toward learning proofs, on the other hand, only 16 percent of the total respondents indicated positive attitudes toward the learning. Memorizing and remembering many kinds of theorems, definitions, and postulates to use in proving statements was the most difficult part in learning proofs, which the largest proportion of the total respondents indicated. The study found that the use of the Geometer's Sketchpad played positive roles in developing students' understanding of proofs and stimulating students' interests in learning proofs.
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문제 정의
10개의 문항으로 구성된 사후 검사가 A집단의 학생들에게 실시되었지만, 본 논문에서는 직접적인 증명과 관련된 4개 문항의 결과만을 보고한다. A집단의 64명의 학생이 사후 검사에 참여하였다.
다음 문항은 GSP의 사용이 증명학습을 좋아하지 않았던 학생들에게 어떤 영향을 끼쳤는지를 알아보기 위해서 GSP를 사용하기 전에 증명 배우는 것을 좋아하지 않았다고 응답한 학생들을 대상으로 조사하였다. 그 결과는 [표 1이과 같다.
본 논문은 두 가지 연구 과제에 대한 결과를 제시하고자 한다. 먼저 증명학습에 대한 학생들의 성향 및 증명학습에서 학생들이 느끼는 어려움이 무엇인지를 보고하고, 역동적인 기하 소프트웨어인, The Geometer's Sketchpad(이하 GSP)의 사용이 어떻게 학생들의 증명학습을 도울 수 있는지 제시하고자 한다.
사전 학생 설문지는 10개의 문항으로 구성되었으나 본 논문에서는 연구의 목적에 가장 관련성이 깊은 5개 문항의 결과만을 보고한다. A집단에서는 65명의 학생이, B집단 에서는 51 명의 학생이 설문 조사에 참가하였다.
각 차시의 수업은 90분 동안 진행되었고, 학생들은 평균 40분을 컴퓨터실에서 탐구 활동을 위해 사용하였고, 나머지 50분은 교실로 돌아와 소그룹 활동과 교사가 이끄는 토론 및 정리 학습을 위해서 사용하였다. 본 논문에서는 증명 학습과 관련된 1-4차시의 수업관련 내용만을 보고한다. 1-4차시의 주제는 [표 1] 과 같다.
본 논문은 두 가지 연구 과제에 대한 결과를 제시하고자 한다. 먼저 증명학습에 대한 학생들의 성향 및 증명학습에서 학생들이 느끼는 어려움이 무엇인지를 보고하고, 역동적인 기하 소프트웨어인, The Geometer's Sketchpad(이하 GSP)의 사용이 어떻게 학생들의 증명학습을 도울 수 있는지 제시하고자 한다.
본 연구는 증명학습에 대한 학생들의 성향 및 증명학습에서 그들이 느끼는 어려움이 무엇인지를 살펴보았고, 역동적인 기하 소프트웨어인, GSP의 사용이 어떻게 학생들의 증명학습을 도울 수 있는지 탐구하였다. 연구 결과 분석을 토대로 다음과 같은 결론을 얻었다.
사전 학생 설문지는 10개의 문항으로 구성되었으나 본 논문에서는 연구의 목적에 가장 관련성이 깊은 5개 문항의 결과만을 보고한다. A집단에서는 65명의 학생이, B집단 에서는 51 명의 학생이 설문 조사에 참가하였다.
응답자의 45%가 완벽한 연역적 증명 과정을 제시하였다. 첫 번째 문항의 경우처럼 연역적 증명 과정을 제시하지 못한 학생들의 대다수는 몇 가지 구체적인 예를 제시하면서 주어진 명제를 증명하고자 하였다. 이런 반응 또한 위에서 언급한 이유와 관련이 있는 것 같다.
가설 설정
그림 위의 점 들을 이 동했을 때, 각 ADB의 크기가 어떻게 변하는지 관찰하여라. 3)단계로 가기 전에 작도한 다이어그램의 각 요소들을 관찰하여 발견한 것들을 모두 기록하여라.
제안 방법
각 차시의 수업은 90분 동안 진행되었고, 1, 3차시의 수업은 컴퓨터실에서 학생들의 탐구 활동을 위해서 실시되었고, 2, 4차시의 수업 중 일부는 교실에서 소그룹 활동 및 토론 활동을 위해서 실시되었다. 1, 2차시의 수업은 정삼각형의 삼등분선과 각의 크기의 대한 탐구 및 증명 활동에 관해서 실시되었고, 3, 4차시의 수업은 원과 관련되어진 3종류의 명제에 대한 탐구 및 증명 활동을 중심으로 실시되었다. B집단의 학생들은 GSP 사용에 대한 사전 경험이 있었으나, 주어진 과제를 수행하기 위해서 필요한 소프트웨어의 몇 몇 기능들의 사용법에 관한 지도가 1차시 수업 중 약 40분 동안 이루어졌다.
2) 탐구: 각 ADB의 크기를 추측하고, GSP를 사용하여 측정 하여라. 그림 위의 점 들을 이 동했을 때, 각 ADB의 크기가 어떻게 변하는지 관찰하여라.
1, 2차시의 수업은 정삼각형의 삼등분선과 각의 크기의 대한 탐구 및 증명 활동에 관해서 실시되었고, 3, 4차시의 수업은 원과 관련되어진 3종류의 명제에 대한 탐구 및 증명 활동을 중심으로 실시되었다. B집단의 학생들은 GSP 사용에 대한 사전 경험이 있었으나, 주어진 과제를 수행하기 위해서 필요한 소프트웨어의 몇 몇 기능들의 사용법에 관한 지도가 1차시 수업 중 약 40분 동안 이루어졌다.
매 차시에 사용된 학습 과제는 Key Curriculum Press에서 출판한 2권의 교재: Exploring Geometry with the Geometer's Sketchpad(Bennett, 2002), Rethinking Proof with the Geometer's Sketchpad(de Villiers, 1999)를 토대로 재구성 되었다. 각 차시의 수업은 90분 동안 진행되었고, 학생들은 평균 40분을 컴퓨터실에서 탐구 활동을 위해 사용하였고, 나머지 50분은 교실로 돌아와 소그룹 활동과 교사가 이끄는 토론 및 정리 학습을 위해서 사용하였다. 본 논문에서는 증명 학습과 관련된 1-4차시의 수업관련 내용만을 보고한다.
비록 1, 2차시의 주제들은 이미 학생들에게 소개된 내용이었으나, 연역적 증명에 대한 지도가 이루어지지 않았다는 교사의 언급에 따라 그 주제들과 관련된 학습 과제를 본 연구에 포함하기로 결정하였다. A고등학교(이하 A집단)의 학생들은 대부분 GSP의 사용에 대한 사전 경험이 없었으므로 연구를 시행하기 전에 소프트웨어의 기본적인 사용법에 관한 지도가 2차례 시행되었다.
사후 학생 설문 조사는 14개의 문항들로 구성되었고, 주로 GSP의 사용에 관한 학생들의 의견을 묻는 문항들이었다. 본 논문에서는 연구의 목적에 가장 관련이 깊은 5개 문항의 결과만을 보고한다.
연구의 첫 날에 실시된 학생 설문지를 통해서 학생들의 증명학습에 대한 성향 및 그들이 기존에 갖고 있던 증명학습에 관한 어려움이나 문제점들을 조사하였고, 연구의 마지막 날에 실시된 사후 검사와 학생 설문지를 통해서 GSP의 사용이 어떻게 학생들의 증명학습에 영향을 끼치는지에 대해서 살펴보았다.
발견 학습/안내된 발견학습 환경에서 과제를 수행하였다. 연구자는 연구 기간 동안 본 연구에 참여한 4개 학급의 수학 수업에 모두 참관을 하여 수업 진행 상황, 교사와 학생들 간의 상호작용(interaction), 학생들의 학습 활동에 대한 반응이나 학습 태도 등을 관찰하며 관찰지에 기록하였다. 또한 학생들이 학습 도구(GSP)의 사용법이나 학습지 활동에 대해 부연 설명이 필요할 때 본 연구자는 학습 보조자 또는 안내자로서 학생들의 학습 활동을 도와주었다.
않는지 그 이유를 기술하도록 요청하였다. 이 문항에 대한 학생들의 응답을 분석하기 위해서 연구자는 모든 학생들의 응답을 검토한 후, 분석상의 편이를 위해 학생들의 응답을 6개의 카테고리로 분류하였다. 그 결과는 아래의 [표 3]과 같다.
1) 작도: GSP를 사용하여 <그림 1>의 다이어그램을 작도하여라. 작도를 한 후 점들을 드래그(drag)하여 항상 주어진 조건을 만족하는 도형이 되는지 확인하여라.
대상 데이터
깊은 5개 문항의 결과만을 보고한다. A집단에서는 65명의 학생이, B집단 에서는 51 명의 학생이 설문 조사에 참가하였다. 각 문항에 대한 조사 결과는 아래와 같다.
본 논문에서는 연구의 목적에 가장 관련이 깊은 5개 문항의 결과만을 보고한다. A집단에서는 65명의 학생이, B집단에서는 52명의 학생이 사후 설문 조사에 참가하였다. 각 문항에 대한 조사 결과는 아래와 같다.
증명과 관련된 4개 문항의 결과만을 보고한다. A집단의 64명의 학생이 사후 검사에 참여하였다.
본 연구는 미네소타주에 위치한 A고등학교 9학년 2개 학급(65명), B고등학교 9학년 2개 학급(52명)을 대상으로 실시되었다.
이론/모형
증명학습에 중점, 5T4차시: 도형의 성질 탐구에 중점)의 수업이 실시되었다. 매 차시에 사용된 학습 과제는 Key Curriculum Press에서 출판한 2권의 교재: Exploring Geometry with the Geometer's Sketchpad(Bennett, 2002), Rethinking Proof with the Geometer's Sketchpad(de Villiers, 1999)를 토대로 재구성 되었다. 각 차시의 수업은 90분 동안 진행되었고, 학생들은 평균 40분을 컴퓨터실에서 탐구 활동을 위해 사용하였고, 나머지 50분은 교실로 돌아와 소그룹 활동과 교사가 이끄는 토론 및 정리 학습을 위해서 사용하였다.
성능/효과
A, B 두 집단 모두에서 긍정적인 반응이 부정적인 반응보다 훨씬 더 높은 비율을 차지하였다. 특히 B집단의 경우 응답자의 81%가 GSP를 이용한 조작활동을 통해서 증명에 대해서 더 많은 것을 배울 수 있다고 응답한 반면에 단지 10%만이 그렇지 않다고 응답하였다.
A, B 두 집단 모두에서 어떤 명제가 참임을 보여주는 방법을 배우기 위한 수단으로 증명학습이 필요하다는 의견이 57%, 37%로 가장 높은 비율을 차지하였다. 그 다음으로는 증명학습을 통해서 수학적 개념에 대한 이해가 향상될 수 있기 때문에 증명학습이 필요하다는 의견이 15%, 25%를 차지하였다.
A, B 두 집단 모두에서 증명학습에서 가장 어려운 점은 '증명 과정에 필요한 많은 종류의 정리, 정의, 공준 등을 기억하고 적절하게 사용하는 것이라는 응답이 58%, 35%로 가장 높은 비율을 차지하였다. 학생들이 증명 시 절차를 빠뜨리지 않고 완벽하게 모든 과정을 쓰는 것이 어려운 점이라는 의견이 그 뒤를 따랐다.
A집단의 경우 GSP가 제공하는 시각적 효과가 증명 과제를 이해하는데 도움을 주었다는 응답이 55%로 가장 높은 비율을 차지하였다(B집단의 경우 23%). B집단에서는 GSP의 사용이 주어진 과제에 대한 발견 및 탐구의 과정을 용이하게 하여 증명 과정에 대한 이해를 돕는다는 응답이 35%로 가장 높은 비율을 차지하였다(A집단의 경우 15%).
그러나 B집단에서는 긍정적인 의견이 부정적인 의견보다 약 2배가량 더 많았다. B집단이 A집단보다 GSP사용에 대한 만족도가 더 큰 것으로 나타났다.
명제에 대해 이해를 한 후 학생들은 연역적 증명 과정에 필요한 아이디어들을 발견하기 위해서 자신의 추측을 토대로 삼각형을 변환시켜보거나, 보조선 또는 보조 도형들을 작도하여 자신들의 추측을 확인하고, 다시 추측 하고, 확인하는 지속적인 추론 과정을 통해 증명 과정에 필요한 아이디어들을 발견할 수 있었다. GSP가 제공하는 탐구 및 발견의 과정들은 증명학습의 인지적 측면 뿐 아니라 학생들의 창의력, 도전정신, 학습에 대한 흥미와 호기심, 자신감과 같은 정의적인 측면에서도 긍정적인 역할을 할 수 있었다. 증명학습을 좋아하지 않았다고 응답한 학생들의 35%가 소프트웨어의 사용 후 증명학습에 소프트웨어를 사용할 수 있다면 증명학습이 더 즐거워질 것이라고 응답하였다.
개입하지 않았다. 각 문항 당 5점이 배점되었고(총 15점 만점), 완벽한 증명을 제시할 경우 5점, 증명 과정은 타당하나 1가지 정도의 미비한 오류를 포함한 경우 4점, 증명을 시도는 했으나 증명 과정이 불완전한 경우 3점, 직관이나 구체적인 예를 통해서 증명을 시도했을 경우 2점, 증명 과제를 부분적으로만 이해를 하여 직관이나 경험에 의존했을 경우 1점, 증명 과제를 전혀 이해하지 못 했거나 증명을 시도하지 못 했을 경우 0점으로 채점되었다. 55명의 학생 중 71%의 학생들이(39명) 13점 이상의 점수를 받았다.
특히, 학생들이 이미 학습한 내용에 대해서 다시 증명을 하도록 요청하였을 때, 소프트웨어는 단지 그 학습 내용에 대한 재확인의 과정에만 중점적으로 사용되었다. 그 결과 학생들은 GSP가 제공하는 다양한 구체적인 경험들만을 기억하거나 다양한 예들의 제시가 연역적 증명을 대신할 수 있다고 생각하는 것 같았다. 이러한 문제점을 해결하기 위해서 교사의 적절한 발문 및 잘 구성되어진 학습 과제가 필수적이다.
넷째, GSP의 사용에 대한 부정적인 측면 또한 발견되었다. 예를 들면, 컴퓨터 사용 그 자체를 좋아하지 않거나, 소프트웨어의 사용법을 익히는데 많은 어려움을 느끼는 학생들에게 그 소프트웨어의 사용은 오히려 학습 방해물이 될 수 있었다.
둘째, 학생들이 증명학습에서 느끼는 어려움은 주로 학습한 내용에 대한 기억/암기에 관련된 내용이 많았다. 증명 과정에 사용하기 위해서 많은 종류의 정리, 정의, 공준 등을 암기하고 기억하는 것 또는 일반적인 증명법을 기억하는 것이 학생들의 증명학습을 어렵게 만드는 요인들이었다.
먼저, GSP를 사용하여 증명과제를 시각적으로 표현하고(작도), 그 소프트웨어의 측정이나 드래그(drag)등의 기능을 이용하여 그 시각적 표현에 대해서 관찰하는 과정이 학생들이 증명과제를 이해하는데 도움이 되었다. 또한 소프트웨어의 측정, 변환, 드래그(drag) 등의 기능들은 학생들 스스로 증명 과정에 필요한 아이디어를 발견하고 탐구하는데 효과적으로 사용되어질 수 있었다. 예를 들면, 삼각형의 두 내각의 크기의 합은 이웃하지 한 외각의 크기와 같다'라는 명제를 증명하는 과제를 제시했을 때, 그 명제에 대한 직접적인 증명에 앞서, GSP를 사용하여 학생들 스스로 삼각형을 작도하고, 그 삼각형의 내각과 외각의 크기를 측정하고, 삼각형의 각 꼭짓점을 드래그 (drag)하여 생성되는 많은 종류의 예들을 관찰함으로써 그 명제가 항상 참이 됨을 확인하는 과정이 학생들이 증명해야할 과제에 대해 이해하는데 도움이 되었다.
먼저, GSP를 사용하여 증명과제를 시각적으로 표현하고(작도), 그 소프트웨어의 측정이나 드래그(drag)등의 기능을 이용하여 그 시각적 표현에 대해서 관찰하는 과정이 학생들이 증명과제를 이해하는데 도움이 되었다. 또한 소프트웨어의 측정, 변환, 드래그(drag) 등의 기능들은 학생들 스스로 증명 과정에 필요한 아이디어를 발견하고 탐구하는데 효과적으로 사용되어질 수 있었다.
예를 들면, 삼각형의 두 내각의 크기의 합은 이웃하지 한 외각의 크기와 같다'라는 명제를 증명하는 과제를 제시했을 때, 그 명제에 대한 직접적인 증명에 앞서, GSP를 사용하여 학생들 스스로 삼각형을 작도하고, 그 삼각형의 내각과 외각의 크기를 측정하고, 삼각형의 각 꼭짓점을 드래그 (drag)하여 생성되는 많은 종류의 예들을 관찰함으로써 그 명제가 항상 참이 됨을 확인하는 과정이 학생들이 증명해야할 과제에 대해 이해하는데 도움이 되었다. 명제에 대해 이해를 한 후 학생들은 연역적 증명 과정에 필요한 아이디어들을 발견하기 위해서 자신의 추측을 토대로 삼각형을 변환시켜보거나, 보조선 또는 보조 도형들을 작도하여 자신들의 추측을 확인하고, 다시 추측 하고, 확인하는 지속적인 추론 과정을 통해 증명 과정에 필요한 아이디어들을 발견할 수 있었다. GSP가 제공하는 탐구 및 발견의 과정들은 증명학습의 인지적 측면 뿐 아니라 학생들의 창의력, 도전정신, 학습에 대한 흥미와 호기심, 자신감과 같은 정의적인 측면에서도 긍정적인 역할을 할 수 있었다.
문항 3은 삼각형의 중점연결정리의 증명에 관한 문항이고, 문항 4는 '삼각형의한 변에 평행한 직선이 나머지 두 선분을 같은 비율로 나눈다'는 명제를 증명하는 문항이었다. 응답자의 27%가 문항 3에 완벽한 증명과정을 제시하였고, 36%는 문항 4에 완벽한 증명 과정을 제시하였다. 문항 3의 경우 두 가지 요소(1.
A집단에서는 38%의 학생들이 앞으로 증명을 더 배워보고 싶다고 대답한 반면에 내집단에서는 단지 12%의 학생만이 더 배우고 싶다고 응답하였다. 이 결과를 문항 1의 결과와 비교했을 때, 비록 증명 배우는 것을 좋아하지는 않지만 더 배우기를 원하는 학생들이 있음을 알 수 있었다.
첫째, 전체 응답자의 절반 이상의 학생들이 증명학습에 대해서 부정적인 견해를 보여주었다. 예를 들면, 전체 응답자 중에서 56%는 증명학습을 좋아하지 않는다고 응답한 반면, 단지 16%만이 증명학습을 좋아한다고 응답하였다.
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