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문제 정의
- 본 연구에서는 우리나라의 강우빈도해석에 널리 적용되고 있는 Gumbel 분포에 적합한 도시위치공식을 추정하기 위해 Gumbel 분포의 순서통계량과 확률가중모멘트를 이용하여 다양한 표본크기에 대한 도시위치공식의 기본식을 유도하고, 최적화 기법 중 하나인 유전자 알고리즘(genetic algorithm)을 이용하여 유도된 도시위치공식의 매개변수를 추정하였다. 또한 Gumbel 분포에 더 적합한 도시위치공식을 알아보기 위해 이론적으로 유도된 Gumbel 분포에 대한 축소변량(NERC, 1975)을 기준으로 본 연구에서 추정한 도시위치공식과 기존에 사용되고 있던 도시위치공식에 의해 계산되는 축소변량 사이의 평균제곱근오차(Root Mean Square Error, RMSE)와 편의(bias)를 비교하였다.
제안 방법
- 본 연구에서는 유전자 알고리즘의 한 종류인 real-coded genetic algorithm(Deb and Beyer, 2001; Beyer and Deb, 2001)을 적용하였고, 유전자 알고리즘의 목적함수(objective function)는 Eq. (10)의 좌변과 우변간의 평균제곱근오차로 설정하여 평균제곱근오차가 최소가 되는 매개변수를 추정토록 하였다. 유전자 알고리즘의 초기조건 중 모집단 수는 1,000개, 전체 세대수(generation)는 500세대, 교배 확률은 0.
- 본 연구에서는 금회 추정된 도시위치공식의 실제 적용성을 알아보기 위해 Eq. (12)와 함께 기존에 사용되고 있는 도시위치공식에 의해 추정되는 비초과확률(q)과 그에 대한 재현기간(RT)을 산정하여 비교하였다. 기존에 사용되고 있는 도시위치공식은 Blom(1958), Gringorten(1963), Cunnane(1978), De(2000)에 의해 제시된 도시위치공식으로 형태는 Table 1과 같다.
- 본 연구에서는 Gumbel 분포 계열의 자료에 가장 적합한 도시위치공식을 검토하기 위해 Eq. (13)과 같이 본 연구에서 추정된 도시위치공식과 기존에 주로 이용되어오던 도시위치공식의 정확도를 비교하였다. 본 연구에서 추정한 도시위치공식과의 비교를 위해 선정한 도시위치공식은 Blom(1958), Gringorten(1963), Cunnane(1978)에 의해 유도된 도시위치공식이다.
- (12)와 같이 가장 큰 표본크기에 대해 편향된 입력 자료를 사용한 경우(Case 1)와 Flood Studied Report(NERC, 1975)에서 제시하고 있는 Gumbel 분포의 축소변량만을 입력 자료로 사용한 경우(Case 2)로 구분하여 매개변수를 추정하였고, 그 결과를 정리하면 Table 3과 같다. Case 1의 RMSE는 0.09512로 Case 2의 0.07767에 비해 상대적으로 높은 것으로 나타남에 따라 본 연구에서는 Case 2의 결과를 Gumbel 분포에 대한 도시위치공식의 매개변수로 선정하였고, 이를 정리하면 다음과 같다.
- 본 연구에서는 우리나라의 강우빈도해석에 널리 적용되고 있는 Gumbel 분포에 적합한 도시위치공식을 추정하기 위해 Gumbel 분포의 순서통계량과 확률가중모멘트를 이용하여 다양한 표본크기에 대한 도시위치공식의 기본식을 유도하고, 최적화 기법 중 하나인 유전자 알고리즘(genetic algorithm)을 이용하여 유도된 도시위치공식의 매개변수를 추정하였다. 또한 Gumbel 분포에 더 적합한 도시위치공식을 알아보기 위해 이론적으로 유도된 Gumbel 분포에 대한 축소변량(NERC, 1975)을 기준으로 본 연구에서 추정한 도시위치공식과 기존에 사용되고 있던 도시위치공식에 의해 계산되는 축소변량 사이의 평균제곱근오차(Root Mean Square Error, RMSE)와 편의(bias)를 비교하였다.
- 본 연구에서는 Gumbel 분포에 적합한 도시위치공식을 새롭게 추정하기 위해 Gumbel 분포의 순서통계량과 확률가중모멘트를 이용하여 다양한 표본크기에 대한 도시위치공식의 기본식을 유도하였고, 도시위치공식의 매개변수를 추정하기 위해 유전자 알고리즘을 이용하였다. 또한 금회 추정된 도시위치공식을 포함하여 Gumbel 분포에 대해 가장 적합한 도시위치공식을 알아보기 위해 축소변량간의 오차를 산정하여 정확도를 비교한 결과, 아래와 같은 결론을 얻었다.
- 본 연구에서는 Gumbel 분포에 적합한 도시위치공식을 새롭게 추정하기 위해 Gumbel 분포의 순서통계량과 확률가중모멘트를 이용하여 다양한 표본크기에 대한 도시위치공식의 기본식을 유도하였고, 도시위치공식의 매개변수를 추정하기 위해 유전자 알고리즘을 이용하였다. 또한 금회 추정된 도시위치공식을 포함하여 Gumbel 분포에 대해 가장 적합한 도시위치공식을 알아보기 위해 축소변량간의 오차를 산정하여 정확도를 비교한 결과, 아래와 같은 결론을 얻었다.
- 정확도 측정은 도시위치공식을 이용하여 산정되는 축소변량과 Flood Studied Report(NERC, 1975)에서 제시하고 있는 이론적인 Gumbel 분포의 축소변량간의 오차를 산정하여 수행되었다. 여기에서 산정한 오차는 표본크기에 대한 평균제곱근오차와 순서별 편의이며, Flood Studied Report(NERC, 1975)에 제시되고 있는 Gumbel 분포의 축소변량이 표본크기 50까지임을 고려하여 정확도 비교를 수행하였다.
- 본 연구에서 추정한 도시위치공식과의 비교를 위해 선정한 도시위치공식은 Blom(1958), Gringorten(1963), Cunnane(1978)에 의해 유도된 도시위치공식이다. 정확도 측정은 도시위치공식을 이용하여 산정되는 축소변량과 Flood Studied Report(NERC, 1975)에서 제시하고 있는 이론적인 Gumbel 분포의 축소변량간의 오차를 산정하여 수행되었다. 여기에서 산정한 오차는 표본크기에 대한 평균제곱근오차와 순서별 편의이며, Flood Studied Report(NERC, 1975)에 제시되고 있는 Gumbel 분포의 축소변량이 표본크기 50까지임을 고려하여 정확도 비교를 수행하였다.
이론/모형
- (1986)은 확률가중모멘트를 이용하여 GEV 분포에 대한 도시위치공식을 추정하였고, In-na and Nguyen(1989)은 Arnell et al.(1986)의 방법론을 사용함과 동시에 형상 매개변수(shape parameter)를 고려할 수 있는 도시위치공식을 GEV 분포에 대해 유도하였다. 또한 Nguyen et al.
- Gumbel 분포에 대한 도시위치공식의 매개변수를 추정하기 위해 본 연구에서는 유전자 알고리즘을 적용하였다. 유전자 알고리즘은 1960년대에 Holland(1975)와 그의 동료들에 의해서 창안되었으며 다윈(Darwin)이 제안한 적자생존(survival of the fittest)을 컴퓨터 기법화한 최적화 방법이다.
- (13)과 같이 본 연구에서 추정된 도시위치공식과 기존에 주로 이용되어오던 도시위치공식의 정확도를 비교하였다. 본 연구에서 추정한 도시위치공식과의 비교를 위해 선정한 도시위치공식은 Blom(1958), Gringorten(1963), Cunnane(1978)에 의해 유도된 도시위치공식이다. 정확도 측정은 도시위치공식을 이용하여 산정되는 축소변량과 Flood Studied Report(NERC, 1975)에서 제시하고 있는 이론적인 Gumbel 분포의 축소변량간의 오차를 산정하여 수행되었다.
- 본 연구에서는 유전자 알고리즘의 한 종류인 real-coded genetic algorithm(Deb and Beyer, 2001; Beyer and Deb, 2001)을 적용하였고, 유전자 알고리즘의 목적함수(objective function)는 Eq. (10)의 좌변과 우변간의 평균제곱근오차로 설정하여 평균제곱근오차가 최소가 되는 매개변수를 추정토록 하였다.
성능/효과
- 이와 같은 결과는 Eq. (12)의 매개변수 추정에 있어 표본크기 30 이후의 표본크기에 대해서는 가장 큰 표본크기에 대한 결과만을 적용함에 따라 입력 자료가 가장 큰 표본크기에 대해 편향됨과 동시에 비초과확률과 초과확률간의 관계를 고려하지 않아 나타난 것으로 판단된다.
- 1) 유도된 기본식에 유전자 알고리즘을 적용하여 Gumbel 분포에 대한 도시위치공식을 유도하는 것이 가능한 것으로 나타났다. 그러나 제한조건이 적용되지 않은 경우 유전자 알고리즘에 의해 추정된 도시위치공식에 의해 산정되는 비초과확률과 초과확률의 합이 1을 초과하는 오류를 포함하고 있는 것으로 나타났다.
- 2) 초과확률과 비초과확률의 관계를 고려하여 본 연구에서 재추정한 도시위치공식은 Gringorten의 도시위치공식보다는 축소변량간 평균제곱근오차와 순서별 편의가 상대적으로 크게 산정되었으나, Cunnane과 Blom의 도시위치공식보다는 작게 산정되는 것으로 분석되었다.
- 3) 본 연구에서 제안한 공식을 포함해서 기존에 Gumbel 분포에 적용되고 있는 공식중에서는 Gringorten 공식이 가장 좋은 결과를 보였다.
- 4년으로 산정되었고, Blom(1958)과 Cunnane(1978)의 도시위치 공식의 경우는 이보다 더 작은 것으로 나타났다. 결과적으로 Gringorten(1963)에 의한 도시위치공식을 적용하는 경우 순서가 높아질수록 산정된 재현기간이 가장 큰 것으로 나타났다.
- 1) 유도된 기본식에 유전자 알고리즘을 적용하여 Gumbel 분포에 대한 도시위치공식을 유도하는 것이 가능한 것으로 나타났다. 그러나 제한조건이 적용되지 않은 경우 유전자 알고리즘에 의해 추정된 도시위치공식에 의해 산정되는 비초과확률과 초과확률의 합이 1을 초과하는 오류를 포함하고 있는 것으로 나타났다.
- 02466인 것으로 나타났다. 또한 유전자 알고리즘을 이용한 매개변수의 추정에 있어 seed number에 따른 매개변수 추정 결과가 동일하게 나타나 매개변수 추정과정에서의 seed number의 영향은 미미한 것으로 판단되었다. 이에 따른 결과를 정리하면 Eq.
- 유전자 알고리즘의 적용 결과를 살펴보면, 모의회수에 관계없이 도시위치공식의 매개변수는 a =-0.296102, b = 0.222769로 추정되었는데, 이때의 최소 평균제곱근 오차는 0.02466인 것으로 나타났다. 또한 유전자 알고리즘을 이용한 매개변수의 추정에 있어 seed number에 따른 매개변수 추정 결과가 동일하게 나타나 매개변수 추정과정에서의 seed number의 영향은 미미한 것으로 판단되었다.
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