가우스 괄호법을 이용한 유한 물점을 갖는 줌 렌즈에 대한 일반적인 수치해석적 근축광선 줌 궤적 추적 General Numerical Calculation Method for Paraxial Zoom Loci of Zoom Lenses with Finite Object Distance by Using Gaussian Bracket Method원문보기
가우스 괄호법을 이용하여 무한 물점을 포함한 모든 유한 물점을 대상으로 하는 모든 복잡한 줌 렌즈에서 사용가능한 일반적인 근축광선 줌 궤적 추적식을 유도하였다. 이를 Visual Basic으로 프로그램화하여 수치해석적으로 줌 궤적을 구하였다. 이 결과 이 식의 해는 물체의 거리에 관계없이 모든 종류의 줌 렌즈에서 줌 궤적에 대한 초기설계에 유연하면서 통합적으로 적용할 수 있다. 이 식의 유용성을 증명하기 위하여 $M_{4a}$와 $M_{4h}$ 형태의 4군 줌 렌즈들과 $M_{5n}$ 형태의 5군 줌 렌즈의 줌 궤적을 유한 물점에 대해서 빠르게 산출할 수 있음을 보였다.
가우스 괄호법을 이용하여 무한 물점을 포함한 모든 유한 물점을 대상으로 하는 모든 복잡한 줌 렌즈에서 사용가능한 일반적인 근축광선 줌 궤적 추적식을 유도하였다. 이를 Visual Basic으로 프로그램화하여 수치해석적으로 줌 궤적을 구하였다. 이 결과 이 식의 해는 물체의 거리에 관계없이 모든 종류의 줌 렌즈에서 줌 궤적에 대한 초기설계에 유연하면서 통합적으로 적용할 수 있다. 이 식의 유용성을 증명하기 위하여 $M_{4a}$와 $M_{4h}$ 형태의 4군 줌 렌즈들과 $M_{5n}$ 형태의 5군 줌 렌즈의 줌 궤적을 유한 물점에 대해서 빠르게 산출할 수 있음을 보였다.
We theoretically derive the set of general paraxial zoom locus equations for all zoom lens systems with finite object distance, including the infinite object distance case, by using the Gaussian bracket method and matrix representation of paraxial ray tracing. We make the zoom locus program by means...
We theoretically derive the set of general paraxial zoom locus equations for all zoom lens systems with finite object distance, including the infinite object distance case, by using the Gaussian bracket method and matrix representation of paraxial ray tracing. We make the zoom locus program by means of a numerical calculation method according to these equations in Visual Basic Language. Consequently, the solutions of this method can be consistently and flexibly used in all types of zoom lens in the step of initial design about zoom loci. Finally, in order to verify the justification and usefulness of this method, we show that two examples, such as $M_{4a}$ and $M_{4h}$ types of 4 groups, and one example, $M_{5n}$ type of 5 groups, which are very complicated zoom lens systems, can be rapidly and diversely traced through various interpolations by using this program.
We theoretically derive the set of general paraxial zoom locus equations for all zoom lens systems with finite object distance, including the infinite object distance case, by using the Gaussian bracket method and matrix representation of paraxial ray tracing. We make the zoom locus program by means of a numerical calculation method according to these equations in Visual Basic Language. Consequently, the solutions of this method can be consistently and flexibly used in all types of zoom lens in the step of initial design about zoom loci. Finally, in order to verify the justification and usefulness of this method, we show that two examples, such as $M_{4a}$ and $M_{4h}$ types of 4 groups, and one example, $M_{5n}$ type of 5 groups, which are very complicated zoom lens systems, can be rapidly and diversely traced through various interpolations by using this program.
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문제 정의
본 논문에서 구한 일반화된 근축광선의 줌 궤적공식을 이용한 알고리즘으로 작성한 줌 궤적 프로그램을 사용하여 비교적 복잡한 4군 줌렌즈와 5군 줌렌즈에서 기존에 특허로 발표된 자료들에 대한 줌 궤적을 구하여 비교해 봄으로써 본 프로그램의 타당성을 확인하고자 한다.
본 논문에서는 이러한 기존의 줌 렌즈 궤적을 구하는 방법들이 갖는 번거로움을 줄이고자 줌렌즈 궤적을 구하기 위한 초점거리 식과 zooming 방정식[7]과 광학계의 구속조건을 연립하여 해석적인 단일 변수 방정식을 구하지 않고 초기부터 수치해석을 이용한 줌 궤적 계산 프로그램을 만들고자 한다. 앞서 본 연구팀에서 가우스 괄호법을 이용하여 카메라 줌 렌즈와 같은 무한 물점을 갖는 복잡한 줌렌즈의 근축광선 줌 궤적을 수치해석적으로 구한 결과[6]를 확장하여 일반적인 모든 유한한 물점거리(무한 물전가리 포함)와 모든 줌렌즈 형태에 대해서 유연하게 적용할 수 있는 새로운 근축광선 줌 궤적 추적식을 유도하고, 이를 기존의 줌렌즈 특허에 적용하여 그 유용성을 증명하고자 한다.
그러나 이것은 초기 설계에 이용이 가능한 궤적으로 공차를 고려한 줌 궤적 분석이나 마지막 전체수차를 고려한 설계는 하지 않았다. 본 본문은 좋은 줌 렌즈를 설계하는 것이 목적이 아니라 무한 물점과 유한 물점에 대한 모든 줌 렌즈 형태에 대해서 일관된 줌 궤적 공식과 이를 이용한 프로그램을 제시하고 이 방법의 유효성을 검증하는 것이다. 비록 본 논문에서는 4군과 5군의 각각 한 가지씩의 형태만을 시도하였지만 모든 형태와 모든 보간법을 쉽게 적용할 수 있음을 확인하였다.
과 광학계의 구속조건을 연립하여 해석적인 단일 변수 방정식을 구하지 않고 초기부터 수치해석을 이용한 줌 궤적 계산 프로그램을 만들고자 한다. 앞서 본 연구팀에서 가우스 괄호법을 이용하여 카메라 줌 렌즈와 같은 무한 물점을 갖는 복잡한 줌렌즈의 근축광선 줌 궤적을 수치해석적으로 구한 결과[6]를 확장하여 일반적인 모든 유한한 물점거리(무한 물전가리 포함)와 모든 줌렌즈 형태에 대해서 유연하게 적용할 수 있는 새로운 근축광선 줌 궤적 추적식을 유도하고, 이를 기존의 줌렌즈 특허에 적용하여 그 유용성을 증명하고자 한다.
제안 방법
특히 선형보간법이나 곡선보간법에서 사용한 줌 렌즈의 wide와 tele 상태의 중간에 있는 줌의 구간을 똑같이 분배를 하여 중간 구간을 정했던 것을 위치이동 보간법에서는 이 중간 구간의 간격을 서로 다르게 보간함으로써 좀 더 유연하게 궤적을 구할 수 있도록 하였다. 그리고 구해진 궤적에 대해서 그래프를 보는 것과 이전에 구한 궤적과 새로 구해진 해가 얼마나 차이를 보이는가를 값으로 직접 볼 수 있도록 하였다. 줌 궤적과 필요한 데이터를 보여주는 그래프로는 면과 면 사이거리 그래프, 주요면 사이의 거리 z에 대한 그래프, 줌 렌즈의 EFL에 대한 그래프이다.
이러한 문제점들을 해결하기 위해서 본 논문에서는 참고문헌 [6]에서와 같이 반복적이고 체계적인 광선추적에 매우 편리한 가우스 괄호법을 이용하여 유한 물점에 대한 N군 줌렌즈들에 대한 근축광선 줌 궤적을 수치해석적으로 구하였다. 그리고 이 계산방법을 프로그램화하여 줌 궤적을 빠르게 구하는 것이 가능해지도록 하였으며, 작성한 프로그램을 사용하여 기존에 특허로 발표된 4군 줌렌즈와 5군 줌 렌즈 자료들에 대한 줌 궤적을 구하여 보았다.
그리고 추가적으로 줌 렌즈계가 이동하면서 움직이는 경로를 몇 구간으로 나누어 구할 것인지 입력해 주어야 한다. 또한 이 프로그램의 장점인 표 1의 줌 렌즈계의 형태를 지정할 수 있는데, 여러 가지 줌 렌즈 형태들에 따라서 미지수의 개수가 달라지고, 이로 인하여 보간법을 사용해야 할 군의 개수가 달라지기 때문에 선택해야할 보간 구간의 개수를 알려 주도록 프로그램화하였다. 또한 그림 4의 창에서 “LOCUS Option”은 궤적을 구하기 위한 보간의 형태를 선택하는 창이다.
이때 가로축의 단위는 mm이고 세로축은 줌의 wide와 tele 사이의 구간을 나눈 횟수이다. 이 때 사용한 줌궤적은 특허에 명시되어 있는 궤적인 M5n형태로 구했으며, 서로 다른 보간법을 사용하여 궤적을 산출하였다. 즉, 그림 7(a)는 M5n에 대한 줌 궤적으로 물체거리가 1000 mm일 경우 z1, z2, z4, k를 곡선보간하여 구한 각 군의 주요면 들에 대한 줌 궤적 그래프이다.
이러한 문제점들을 해결하기 위해서 본 논문에서는 참고문헌 [6]에서와 같이 반복적이고 체계적인 광선추적에 매우 편리한 가우스 괄호법을 이용하여 유한 물점에 대한 N군 줌렌즈들에 대한 근축광선 줌 궤적을 수치해석적으로 구하였다. 그리고 이 계산방법을 프로그램화하여 줌 궤적을 빠르게 구하는 것이 가능해지도록 하였으며, 작성한 프로그램을 사용하여 기존에 특허로 발표된 4군 줌렌즈와 5군 줌 렌즈 자료들에 대한 줌 궤적을 구하여 보았다.
또한 그림 4의 창에서 “LOCUS Option”은 궤적을 구하기 위한 보간의 형태를 선택하는 창이다. 즉 앞에서 설명한 것처럼 선형보간법과 곡선보간법, 그리고 위치이동 보간법으로 보간을 할 수 있도록 하였다. 특히 선형보간법이나 곡선보간법에서 사용한 줌 렌즈의 wide와 tele 상태의 중간에 있는 줌의 구간을 똑같이 분배를 하여 중간 구간을 정했던 것을 위치이동 보간법에서는 이 중간 구간의 간격을 서로 다르게 보간함으로써 좀 더 유연하게 궤적을 구할 수 있도록 하였다.
프로그램의 주 화면은 메뉴에서 원하는 기능을 선택하여 궤적을 구해나갈 수 있도록 하였으며, 이 주 화면은 열려있는 창을 나타내주는 탐색부와 에러를 알려는 에러 표시부 그리고 작업을 실행하는 작업부로 나누어 구성하였다. 탐색부는 입력하고자 하는 렌즈의 데이터를 입력하여 주거나 불러들인 렌즈의 데이터를 가져오도록 작성한 창이다.
대상 데이터
그림 5는 4개의 군으로 이루어진 줌 렌즈계의 줌 궤적 그래프를 구한 결과로 4군 줌 렌즈의 경우에 wide에서 tele까지 구간을 50개로 나누어 구하였다. 우선 첫 번째 구한 (a)는 4군 줌 렌즈의 M4a 형태로 물체거리 300 mm인 유한 물점일 때 z3을 곡선보간하고 k를 선형보간하여 구한 줌 궤적 그래프 이다. 그리고 (c)는 M4h의 2가지 형태 중 앞에서 말한 바와 같이 4군 줌 렌즈의 형태 중에서 가장 복잡한 줌 궤적으로 z1, z2, k를 곡선보간하여 구한 줌 궤적 그래프이다.
데이터처리
작성된 프로그램은 한 가지 형태의 궤적뿐만 아니라 군의 이동 형태에 대해서 해가 존재할 경우 이에 대응하는 줌 궤적을 구할 수 있다. 프로그램은 Visual Basic으로 작성하였으며, 각 군별로 이미 줌 궤적이 제시된 특허자료들을 활용하여 이 프로그램의 유효성을 검증하였다.
이론/모형
실제로 작성한 프로그램에서는 이 오차값이 10-8 이하가 될 때까지 진행시킨다. 그리고 식(16)에서 역행렬의 행렬식(determinant) 값이 0이 되는 경우를 피하기 위하여 포커-슈트라센법[10,11]을 이용하여 역행렬을 구하였는데, 이 경우 역행렬을 구할때 단위 행렬로 나누어 계산하기 때문에 계산이 간단해진다. 최종적으로 구해진 줌 궤적 값들에 초기값 z10, ⋯, zN0, K0을 더해주면 각 군들이 움직인 궤적을 구할 수 있다.
결국 최종적으로 구해진 줌 궤적의 해들은 이 방정식들을 만족해야만 한다. 만약 미지수가 많게 되면 연립방정식을 풀 수 없기 때문에 보간법을 사용하여 변수를 줄이는데 본 논문에서는 선형보간법과 곡선보간법인 라그랑즈 보간법을 선택하였다.[9] 이러한 보간법으로 초기설계에서 알고 있는 군의 이동점을 모두 지나는 방정식을 만들고, 이 방정식으로부터 알고 있는 군의 이동점들 사이의 중간값들을 구할 수 있다.
성능/효과
본 논문에서는 아직 4군, 5군 줌 궤적만을 해석해 놓았으나 이 계산방법을 도입하면 N군까지의 궤적 해석이 가능하다. 그러나 이것은 초기 설계에 이용이 가능한 궤적으로 공차를 고려한 줌 궤적 분석이나 마지막 전체수차를 고려한 설계는 하지 않았다.
본 본문은 좋은 줌 렌즈를 설계하는 것이 목적이 아니라 무한 물점과 유한 물점에 대한 모든 줌 렌즈 형태에 대해서 일관된 줌 궤적 공식과 이를 이용한 프로그램을 제시하고 이 방법의 유효성을 검증하는 것이다. 비록 본 논문에서는 4군과 5군의 각각 한 가지씩의 형태만을 시도하였지만 모든 형태와 모든 보간법을 쉽게 적용할 수 있음을 확인하였다.
의 경우 표 1에서 보듯이 많은 형태가 존재하고, 줌 궤적을 구하기 위해서는 2군, 3군 줌 렌즈계보다 더 많은 방정식을 연립하여 풀어야하는 문제가 생긴다. 특히 이 중에도 M4h형태와 같은 경우는 모든 군이 움직이는 경우로 직접 계산하여 풀어내기 매우 어렵지만 본 논문에서 제시한 2절의 가우스 괄호법을 이용한 이론식 및 이를 구현하는 알고리즘과 3절의 프로그램을 사용할 경우 매우 쉽게 구할 수 있다.
후속연구
또한 본 프로그램에서는 초기 줌 궤적이 나쁘더라도 서로 다른 보간법을 이용하여 다양한 방법으로 변화를 주면 또 다른 줌 궤적을 구할 수 있기 때문에 훨씬 다양한 줌 궤적을 구하여 비교가 가능하다. 이렇게 비교를 할 경우 제작에 가장 알맞은 군의 이동형태를 선택할 수 있는 장점이 있다.
질의응답
핵심어
질문
논문에서 추출한 답변
줌렌즈란?
줌렌즈는 배율 또는 유효 초점 거리가 연속적으로 변해도 상면이 고정되는 광학계로 정의된다.[1] 줌 렌즈의 발전사를 살펴보면 1차 대전시 적기의 출현을 감지하고자 하는 요구에서부터 시작되었다고 할 수 있다.
줌 렌즈는 무엇에 의해 시작되었는가?
줌렌즈는 배율 또는 유효 초점 거리가 연속적으로 변해도 상면이 고정되는 광학계로 정의된다.[1] 줌 렌즈의 발전사를 살펴보면 1차 대전시 적기의 출현을 감지하고자 하는 요구에서부터 시작되었다고 할 수 있다. 이런 줌 렌즈계는 일반적으로 카메라나 캠코더에 사용되는 광학계로 무한대 거리에 있는 물점에 대하여 설계를 한 후 근거리 물점에 대해서는 광학계의 일부 또는 전체를 이동하여 초점조절을 하는 경우[2]와 현미경을 비롯하여 복사기, FAX, 현상기에 사용되는 광학계로 유한 거리에 있는 물체를 상면에 축소 및 확대 결상시키는 역할을 하는 경우로 나눌 수 있다.
수치 해석에 의한 방법의 한계는?
이러한 고차방정식은 일반적으로 수치 해석에 의한 방법으로 줌 궤적을 구한다. 또한 이러한 방법들은 무한 물점의 경우와 유한거리에 있는 물체의 경우, 군의 개수 및 구속조건이 달라질 때마다 각각의 해석적인 방정식을 따로 유도해야 하고, 특히 군이 많은 줌 광학계들로 갈수록 식이 복잡해서 해를 구하기 어렵다.
참고문헌 (17)
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J. M. Ryu, J. H. Jo, J. H. Jung, Y. S. Chun, and G. M. Kang, 'Design of microscopic system using zoom structure with a fixed magnification and the independency on the vibration of object distance,' Proc. SPIE, vol. 5523, pp. 352-362, 2004
류재명, 임천석, 조재흥, 정진호, 전영세, 이강배, '와이어 본딩(wire-bonding) 검사용 현미경 광학계의 설계,' 한국광학회지, 제 14권 6호, pp. 613-622, 2003
정진호, 줌 렌즈계의 근축설계와 궤적해석(영남대학교, 대구, 1994) 박사학위청구논문, pp. 3
정진호, 정해빈, 이상수, '초점거리, 뒷초점거리, 앞초점거리를 만족하는 근축광학적 렌즈설계,' 새물리, 제27권 6호, pp. 576-582, 1987
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K. Tanaka, 'Zooming components loci of a generally constructed medhanically compensated zoom lens,' Optik, vol. 112, no. 6, pp. 232-238, 2001
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