[논문]단순지지 경계조건을 가진 임의 형상 평판의 효율적인 고유진동수 추출을 위한 NDIF법의 대수 고유치 문제로의 정식화

강상욱; 김진곤

doi:10.5050/ksnvn.2009.19.6.607

단순지지 경계조건을 가진 임의 형상 평판의 효율적인 고유진동수 추출을 위한 NDIF법의 대수 고유치 문제로의 정식화
A Formulation of NDIF Method to the Algebraic Eigenvalue Problem for Efficiently Extracting Natural Frequencies of Arbitrarily Shaped Plates with the Simply Supported Boundary Condition 원문보기

한국소음진동공학회논문집 = Transactions of the Korean society for noise and vibration engineering, v.19 no.6 = no.147, 2009년, pp.607 - 613

강상욱 (한성대학교 기계시스템공학과) , 김진곤 (대구가톨릭대학교 기계자동차공학부)

Abstract ▼ AI-Helper

A new formulation of NDIF method to the algebraic eigenvalue problem is introduced to efficiently extract natural frequencies of arbitrarily shaped plates with the simply supported boundary condition. NDIF method, which was developed by the authors for the free vibration analysis of arbitrarily shaped membranes and plates, has the feature that it yields highly accurate natural frequencies compared with other analytical methods or numerical methods(FEM and BEM). However, NDIF method has the weak point that it needs the inefficient procedure of searching natural frequencies by plotting the values of the determinant of a system matrix in the frequency range of interest. A new formulation of NDIF method developed in the paper doesn't require the above inefficient procedure and natural frequencies can be efficiently obtained by solving the typical algebraic eigenvalue problem. Finally, the validity of the proposed method is shown in several case studies, which indicate that natural frequencies by the proposed method are very accurate compared to other exact, analytical, or numerical methods.

주제어

AI 본문요약
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문제 정의

이 논문에서 대수 고유치 문제로 새로이 정식화된 NDIF법의 정확성을 검증하기 위해, 두 가지 형상의 평판에 대해 이 논문에서 개발한 기법을 적용하였다. 두 예제에서는 두께(h)가 0.
이 논문에서는 단순 지지 경계조건을 가진 임의 형상 평판의 고유진동수를 효율적으로 구하기 위한 방안으로, 기존의 NDIF법을 대수 고유치 문제로 정식화하는 방법(MNDIF법)이 성공적으로 개발되었다.
상술한 바와 같이, NDIF법이 유한요소법이나 경계요소법에 비해 적은 수치 계산량으로도 고정밀도 고유치 해석 결과를 제공하는 장점이 있으나, 아직 까지 유한요소법이나 경계요소법에 비해 범용/상용으로 이용되지 않는 이유는 최종 시스템 행렬식이 대수 고유치 문제로 정식화가 되지 않는 단점이 있기 때문이다. 이 논문에서는 이러한 NDIF법의 단점을 해결하기 위해 NDIF법의 대수 고유치 문제로의 정식화 기법을 개발하고자 한다.

제안 방법

이 예제에서는 Fig. 2와 같이 가로 길이가 1.2 m, 세로 길이가 0.9 m인 직사각형 평판을 24개의 노드로 이산화하여 고유치 해석이 이루어졌다. 참고로이 예제에서 고려하고 있는 단순지지 경계단을 가진 직사각형 평판은 엄밀해를 가지므로 해석 결과는 이들 엄밀해와 비교되었다.
이 예제에서는 Fig. 3에서와 같은 임의 사각형 평판에 대해 이 연구에서 제안한 방법을 적용하였 으며, NDIF법 및 MNDIF법을 적용하기 위하여 평판의 경계는 그림과 같이 22개의 노드들로 이산화 되었다.

대상 데이터

두 예제에서는 두께(h)가 0.005 m, 영률(E)이 210 GPa, 푸아송 비(v)가 0.3, 밀도(ρ s /h)가 7800 kg/m 3 인 물성치를 가진 평판이 사용되었다.

이론/모형

. 대신에 전체 노드들 사이의 변위 상관 관계를 정의하기 위해, 지배방정식을 정확히 만족하는 NDIF를 사용한다⁽³⁾. 이러한 방법에 의해 유한요소법이나 경계요소법에 비해 수치 계산량을 최소화하고 고정밀도 계산 결과를 도출하는 것이 NDIF법의 중요한 특징이자 장점이다.

성능/효과

개발된 MNDIF법은 기존의 NDIF법에 비해 매우 효율적으로 평판의 고유진동수를 제공함이 보여졌다. 더 나아가 MNDIF법에 의해 구해진 결과는 기존의 NDIF법 결과에 비해 거의 오차가 없을 뿐만 아니라, FEM에 비해 매우 정확한 고유진동수를 제공함이 두 가지 예제를 통해 검증되었다.
개발된 MNDIF법은 기존의 NDIF법에 비해 매우 효율적으로 평판의 고유진동수를 제공함이 보여졌다. 더 나아가 MNDIF법에 의해 구해진 결과는 기존의 NDIF법 결과에 비해 거의 오차가 없을 뿐만 아니라, FEM에 비해 매우 정확한 고유진동수를 제공함이 두 가지 예제를 통해 검증되었다.
반면에 1089개의 많은 노드를 사용한 FEM 결과는 단지 24개의 노드를 사용한 MNDIF법 결과에 비해 상대적으로 큰 오차를 가짐을 확인할 수 있다. 그리고 NDIF법이 MNDIF법에 비해 정확한 것으로 확인되는데, 이는 MNDIF법이 식 (10)에서 베셀 함수를 시리즈 함수로 근사화하는 과정을 이용하기 때문이다.
그리고 표에서 고유진동수값 바로 밑에 괄호로 표시된 값은 엄밀해(exact method에 의한 해석 결과)에 대한 오차를 보여준다. 표에서 단지 24개의 노드를 사용한 MNDIF법 결과를 엄밀해와 비교해보면 오차가 0.05 % 이내로 이 논문에서 제안하는 방법(MNDIF 법)이 아주 정확함을 확인할 수 있다.
그리고 고유진동수 하단에 있는 괄호 속의 값들은 NDIF법에 대한 오차를 보여준다. 표에서 확인할 수있듯이, 이 논문에서 제시된 MNDIF법은 기존의 NDIF법과 비교해볼 때 오차가 0.5 % 이내로 매우 정확한 해석 결과를 제공함을 알 수 있다. 반면에 FEM은 MNDIF법에 비해 상대적으로 큰 오차를 보여주고 있음이 확인된다.

후속연구

결과적으로 NDIF법의 최종 시스템 행렬식 식 (2)에서 고유치를 추출하기 위해서는 주파수 파라미터를 증가시키면서(sweeping) 시스템 행렬의 판별식 det[SM (Λ)] 가 극소가 되는(즉, 시스템 행렬이 특이 치를 갖는) 주파수 파라미터 값을 일일이 찾아야 하는 비효율적인 과정이 필요하다.

질의응답

핵심어	질문	논문에서 추출한 답변
	유한요소법(1)과 경계요 소법은 어떤 방법을 이용하는가?	임의 형상 평판의 진동 해석을 위해 가장 일반적 으로 사용되는 해석 기법인 유한요소법(1)과 경계요 소법(2)은 해석 대상물의 내부 영역 또는 경계를 여러 개의 요소로 분할한 후 노드와 노드 사이의 변위를 보간 함수로 근사화시키는 방법을 이용한다. 그러나 이들 보간 함수들이 해석 대상 물체의 운동지배 방정식을 만족하지 않는 단점으로 인해, 유한 요소법과 경계요소법은 해의 정밀도 확보에 있어서 한계를 가지며 많은 수치 계산량을 필요로 하는 단점을 가지고 있다.
	임의 형상 평판의 진동 해석을 위해 힐반적으로 사용되는 해석 기법은 무엇인가?	임의 형상 평판의 진동 해석을 위해 가장 일반적 으로 사용되는 해석 기법인 유한요소법(1)과 경계요 소법(2)은 해석 대상물의 내부 영역 또는 경계를 여러 개의 요소로 분할한 후 노드와 노드 사이의 변위를 보간 함수로 근사화시키는 방법을 이용한다. 그러나 이들 보간 함수들이 해석 대상 물체의 운동지배 방정식을 만족하지 않는 단점으로 인해, 유한 요소법과 경계요소법은 해의 정밀도 확보에 있어서 한계를 가지며 많은 수치 계산량을 필요로 하는 단점을 가지고 있다.
	유한요소법(1)과 경계요 소법은 어떤 단점을 갖고 있는가?	임의 형상 평판의 진동 해석을 위해 가장 일반적 으로 사용되는 해석 기법인 유한요소법(1)과 경계요 소법(2)은 해석 대상물의 내부 영역 또는 경계를 여러 개의 요소로 분할한 후 노드와 노드 사이의 변위를 보간 함수로 근사화시키는 방법을 이용한다. 그러나 이들 보간 함수들이 해석 대상 물체의 운동지배 방정식을 만족하지 않는 단점으로 인해, 유한 요소법과 경계요소법은 해의 정밀도 확보에 있어서 한계를 가지며 많은 수치 계산량을 필요로 하는 단점을 가지고 있다.

참고문헌 (24)

Bathe, K., 1982, “Finite Element Procedures in Engineering Analysis,” Prentice-Hall, New Jersey
Brebbia, C. A., Telles, J. C. F. and Wrobel, L. C., 1984, “Boundary Element Techniques,” Springer-Verlag, New York
Kang, S. W. and Lee, J. M., 1999, “Vibration Analysis of Arbitrarily Shaped Membrane Using Non-dimensional Dynamics Influence Function,” Journal of Sound and Vibration, Vol. 221, pp. 117-132

상세보기
Kang, S. W. and Lee, J. M., 2000, “Application of Free Vibration Analysis of Membranes Using the Non-dimensional Dynamics Influence Function,” Journal of Sound and Vibration, Vol. 234, No. 3, pp. 455-470

상세보기
Kang, S. W. and Lee, J. M., 2000, “Eigenmode Analysis of Arbitrarily Shaped Twodimensional Cavities by the Method of Pointmatching,” Journal of the Acoustical Society of America, Vol. 107, No. 3, pp. 1153-1160

상세보기
Kang, S. W. and Lee J. M., 2001, “Free Vibration Analysis of Arbitrarily Shaped Plates with Clamped Edges Using Wave-type Functions,” Journal of Sound and Vibration. Journal of Sound and Vibration, Vol. 242. No, 1, pp. 9-26

상세보기
Kang, S. W., 2002, “Free Vibration Analysis of Arbitrarily Shaped Plates with a Mixed Boundary Condition Using Non-dimensional Dynamic Influence Functions,” Journal of Sound and Vibration, Vol. 256, No. 3, pp. 533-549

상세보기
Kang, S. W. and Lee J. M., 2002, “Free Vibration Analysis of Composite Rectangular Membranes with an Oblique Interface,” Journal of Sound and Vibration, Vol. 251, No. 3, pp. 505-517

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Kang, S. W., Kim, I. S. and Lee, J. M., 2003, “Free Vibration Analysis of Arbitrarily Shaped Plates with Free Edges Using Non-dynamic Influence Functions,” Transactions of the Korean Society for Noise and Vibration Engineering, Vol. 13, No. 10, pp. 821-827

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Kang, S. W. 2004, “Free Vibration Analysis of Composite Rectangular Membranes with a Bent Interface,” Journal of Sound and Vibration, Vol. 272, No. 1, pp. 39-5

상세보기
Kang, S. W. and Lee, J. M., 2004, “Free Vibration Analysis of an Unsymmetric Trapezoidal Membrane,” Journal of Sound and Vibration, Vol. 272, No. 2, pp. 450-460

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Kang, S. W., 2007, “Free Vibration Analysis of Clamped Plates with Arbitrary Shapes Using Series Functions,” Transactions of the Korean Society for Noise and Vibration Engineering, Vol. 13, No. 10, pp. 531-538

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Kang, S. W., 2007, “Free Vibration Analysis of Arbitrarily Shaped Polygonal Plates with Free Edges by Considering the Phenomenon of Stress Concentration at Corners,” Transactions of the Korean Society for Noise and Vibration Engineering, Vol. 17, No. 3, pp. 220-225

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Kang, S. W., Kim, I. S. and Lee, J. M., 2008, “Free Vibration Analysis of Arbitrarily Shaped Plates with Smoothly Varying Free Edges Using NDIF Method,” Journal of Vibration and Acoustics, Transaction of ASME, Vol. 130, No. 4, pp. 041010.1-041010.8
Kang, S. W. and Atluri, S. N., 2008, “Development of Meshless Method for Free Vibration Analysis of Arbitrarily Shaped Free Plates Using Local Polar Coordinates,” Transactions of the Korean Society for Noise and Vibration Engineering, Vol. 18, No. 6, pp. 674-680

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Kang, S. W. and Kim, S. H., 2008, “Vibration Analysis of Simply Supported Rectangular Plates with Unidirectionally, Arbitrarily Varying Thickness,” Journal of Sound and Vibration, Vol. 312, pp. 551-562

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Nardini, D. and Brebbia C. A., 1982, “A New Approach to Free Vibration Analysis Using Boundary Elements,” Applied Mathematical Modeling. Vol. 7, No. 3, pp. 157-162
Banerjee, P. K. and Ahmad, S., 1988, “A New Approach for the Acoustic Eigenfrequency Analysis,” International Journal of Numerical Methods Engineering, Vol. 26, pp. 1299-1309

상세보기
Blevins, R. D., 1979, “Formulas for Natural Frequency and Mode Shape,” Litton Educational Publishing, New York
Conway, H. D. and Farnham, K. A., 1965, “The Free Flexural Vibration of Triangular, Rhombic and Parallelogram Plates and Some Analogies,” International Journal of Mechanical Sciences, Vol. 7, pp. 811-816

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Spiegel, M. R., 1983, “Advanced Mathematics,” McGraw-Hill, Inc, Singapore
Gohberg, I., Lancaster, P. and Rodman, L., 1982, “Matrix Polynomials,” Academic Press, New York
Ruhe, A., 1973, “Algorithms for the Nonlinear Eigenvalue Problem,” Journal of Numerical Analysis. Vol. 10, pp. 674-689

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Davis, G. J., 1981, “Numerical Solution of a Quadratic Matrix Equation,” Journal of Scientific Computing, Vol. 2, pp. 164-175

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저자의 다른 논문 :

표제어: PCR

동의어: Packet Collision Rate

용어 설명 출처 목록 (6)

용어 설명: PCR은 세균 특이성이 있는 primer를 이용하여 적은 수의 세균이 있을지라도 쉽게 검출할 수 있는 유용한 방법이며, 이를 이용하여 구강 내 치면세균막이나 타액에서 직접 세균을 검출할 수 있게 되었다[8].

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