[논문]단순 지지 경계 조건을 가진 임의 형상 평판의 고정밀도 자유 진동 해석을 위한 NDIF법 개발

강상욱; 우윤환

doi:10.5050/ksnve.2011.21.2.186

단순 지지 경계 조건을 가진 임의 형상 평판의 고정밀도 자유 진동 해석을 위한 NDIF법 개발
Development of NDIF Method for Highly Accurate Free Vibration Analysis of Arbitrarily Shaped Plates with Simply Supported Boundary Condition 원문보기

한국소음진동공학회논문집 = Transactions of the Korean society for noise and vibration engineering, v.21 no.2, 2011년, pp.186 - 193

강상욱 (한성대학교 기계시스템공학과) , 우윤환 (한성대학교 기계시스템공학과)

Abstract ▼ AI-Helper

The NDIF method(non-dimensional dynamic influence function method) for free vibration analysis of arbitrarily shaped plates with the simply supported edge is newly developed in the paper. In order to extract the system matrix that gives the natural frequencies and natural modes of the plate of interest, the difficulty of measuring higher differential terms involved in the simply supported boundary condition is successfully overcome. Finally, the excellence of the characteristics of convergence and accuracy of the proposed method is shown through two verification examples, which indicate that natural frequencies and natural modes obtained by the proposed method are very accurate and swiftly converged even though a small number of nodes are used compared with FEM.

주제어

AI 본문요약
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문제 정의

이 논문에서는 단순 지지 경계 조건 식 속에 포함되어 있는 고차 미분 항을 수치해석적으로 정확히 고려하여, NDIF법을 단순지지 임의 형상 평판에 확장/적용하는 연구가 성공적으로 이루어졌다. 검증 예제에서 확인할 수 있듯이, 이 논문에서 제안된 방법은 적은 개수의 노드를 사용함에도 불구하고 엄밀해 또는 FEM 해석 결과에 신속히 수렴해서, 정확한 고유진동수와 고유모드를 제공함이 확인되었다.
이 논문에서는 지금까지 다루지 못한 경계 조건인 단순지지 경계 조건을 가진 임의 형상 평판에 NDIF법을 적용하는 연구가 수행되었다. 제안된 방법은 저자의 자유단 평판에 대한 이전 연구^(21,23)와는 달리 유선형 및 다각형 평판 모두에 적용 가능한 장점을 가진다.

제안 방법

. 더 나아가, 본 저자는 고정단 경계 조건을 가진 임의 형상 평판⁽¹⁹⁾과 혼합 경계조건을 가진 임의 형상평판⁽²⁰⁾에 NDIF법을 응용/확장하는 연구도 수행하였다.
상기의 단점을 극복하기 위한 방안으로, 본 저자는 해석 대상물의 경계를 노드 만으로 이산화하는 무차원 동영향 함수법(NDIF법, Non-dimensional dynamic influence function method)을 처음으로 개발하였으며⁽¹⁷⁾, NDIF법을 이용하여 임의 형상 멤브레인의 고유진동수 및 고유모드를 정확히 구할 수 있는 방법을 제안하였다^(17,18). 더 나아가, 본 저자는 고정단 경계 조건을 가진 임의 형상 평판⁽¹⁹⁾과 혼합 경계조건을 가진 임의 형상평판⁽²⁰⁾에 NDIF법을 응용/확장하는 연구도 수행하였다.
이 논문에서 정립한 단순 지지 평판에 대한 NDIF법의 수렴성 및 정확성을 검증하기 위해 두 가지 종류의 평판이 검증 예제로 고려되었다. 두께(h)가 7 mm, 영률(E)이 210 GPa, 푸아송비(v)가 0.
이 논문에서 제안된 방법의 정확성을 검증하기 위해, 엄밀해가 존재하는 반지름이 1 m인 단순 지지 원형 평판을 검증 예제로 먼저 고려하였다.
제안된 NDIF법의 수렴성을 보여주기 위해, 원형 평판의 경계 노드 개수 N을 12개, 16개, 20개로 증가시키면서 해석을 수행하였으며, 해석 결과는 Table 1에서 제시되었다. Fig.
이러한 멤브레인의 고유진동수를 잉여 고유진동수(spurious natural frequency)라 부르며, 이들 잉여 고유진동수를 효과적으로 제거할 수 있는 방안에 대한 연구가 향후 진행될 것이다. 참고로, 해석 결과 속에 섞여 있는 평판 고유진동수와 잉여 고유진동수를 구분하기 위하여, 멤브레인에 대한 NDIF법 해석을 수행하여 멤브레인 고유치를 먼저 추출하였다.

대상 데이터

이 논문에서 정립한 단순 지지 평판에 대한 NDIF법의 수렴성 및 정확성을 검증하기 위해 두 가지 종류의 평판이 검증 예제로 고려되었다. 두께(h)가 7 mm, 영률(E)이 210 GPa, 푸아송비(v)가 0.3, 밀도(p_s/h)가 7820 kg/m³인 물성치를 가지는 평판이 이 예제들에서 사용되었다.

데이터처리

이 검증 예제에서는 Fig. 4와 같이 원형과 사각형 모양이 결합된 임의 형상 평판에 대한 자유진동 해석이 수행되었다. NDIF법을 적용하기 위해 평판의 경계는 12개, 16개, 20개의 노드로 이산화되었으며, Fig.
이 논문에서 제안된 NDIF법의 정확성 및 수렴성을 검증하기 위하여, NDIF법에 의해 구해진 고유진동수와 고유모드 형상은 엄밀해 또는 FEM(NASTRAN)에 의해 구해진 결과들과 비교되었다.

성능/효과

Table 1에서 알 수 있듯이, 이 논문에서 제안된 NDIF법인 경우, 노드의 개수가 증가함에 따라 고유진동수가 엄밀해⁽²⁵⁾에 정확히 수렴되고 있음을 확인할 수 있다. 더 나아가, 단지 20개의 노드만을 사용한 NDIF법 해석 결과와 1732개 노드를 사용한 FEM 해석 결과를 엄밀해와 비교해볼 때, 단지 20개의 노드를 사용한 NDIF법이 훨씬 더 정확한 결과를 제공함을 확인할 수 있다.
이 논문에서는 단순 지지 경계 조건 식 속에 포함되어 있는 고차 미분 항을 수치해석적으로 정확히 고려하여, NDIF법을 단순지지 임의 형상 평판에 확장/적용하는 연구가 성공적으로 이루어졌다. 검증 예제에서 확인할 수 있듯이, 이 논문에서 제안된 방법은 적은 개수의 노드를 사용함에도 불구하고 엄밀해 또는 FEM 해석 결과에 신속히 수렴해서, 정확한 고유진동수와 고유모드를 제공함이 확인되었다. 향후에는 이 논문에서 해결 못한 경계 노드 P_i와 노드 P_k가 일치했을 경우에 발생하는 문제와 잉여 고유진동수 발생 문제를 해결하기 위한 추가 연구가 진행될 것이다.
다섯 번째 고유모드는 원주 방향으로 3개의 노달라인(nodal line)을 가지고 있기 때문에 원주 방향으로 모드 형상 변화가 심한 모드이다. 결과적으로 12개의 노드만으로는 다섯 번째 모드 형상을 표현하기에는 노드 개수가 부족해서 다섯 번째 고유진동수가 구해지지 않은 것으로 예측할 수 있다.
에 정확히 수렴되고 있음을 확인할 수 있다. 더 나아가, 단지 20개의 노드만을 사용한 NDIF법 해석 결과와 1732개 노드를 사용한 FEM 해석 결과를 엄밀해와 비교해볼 때, 단지 20개의 노드를 사용한 NDIF법이 훨씬 더 정확한 결과를 제공함을 확인할 수 있다.
이 논문에서 제안된 NDIF법에 의한 해석 결과와 FEM에 의한 해석 결과는 Table 2에 제시되어있다. 앞에서 예를 들은 원형 평판의 경우와 마찬가지로, NDIF법의 경우 경계 노드의 수가 증가함에 따라 고유진동수가 특정 값으로 수렴되고 있는 경향을 확인할 수 있으며, 단지 20개의 경계 노드를 사용한 경우에도 3124개의 노드를 사용한 FEM 해석 결과와 거의 일치함을 확인할 수 있다. 이러한 사실로부터 이 논문에서 제안된 NDIF법은 적은 개수의 노드를 사용한 경우에도 우수한 수렴성과 정확성을 가진다고 말할 수 있다.
앞에서 예를 들은 원형 평판의 경우와 마찬가지로, NDIF법의 경우 경계 노드의 수가 증가함에 따라 고유진동수가 특정 값으로 수렴되고 있는 경향을 확인할 수 있으며, 단지 20개의 경계 노드를 사용한 경우에도 3124개의 노드를 사용한 FEM 해석 결과와 거의 일치함을 확인할 수 있다. 이러한 사실로부터 이 논문에서 제안된 NDIF법은 적은 개수의 노드를 사용한 경우에도 우수한 수렴성과 정확성을 가진다고 말할 수 있다.
5는 NDIF법에 의해 구해진 임의 형상 평판의 고유모드 형상을 보여준다. 지면 관계상 나머지 고유모드들은 제시되지 않았지만, 모든 고유모드들이 FEM에 의해 구한 고유모드 형상과 잘 일치 함을 확인 할 수 있었다.
3은 이 논문에서 제안된 NDIF법에 의해 구해진 고유모드 형상을 보여준다. 지면 관계상 단지 두 개의 모드 형상만을 제시하지만, 나머지 고유모드들도 FEM에 의해 구해진 모드들과 잘 일치하는 것으로 확인 되었다.

후속연구

이러한 사실은 지금까지 본 저자가 수행해온 연구 결과들^(17~20)과도 일치한다. 이러한 멤브레인의 고유진동수를 잉여 고유진동수(spurious natural frequency)라 부르며, 이들 잉여 고유진동수를 효과적으로 제거할 수 있는 방안에 대한 연구가 향후 진행될 것이다. 참고로, 해석 결과 속에 섞여 있는 평판 고유진동수와 잉여 고유진동수를 구분하기 위하여, 멤브레인에 대한 NDIF법 해석을 수행하여 멤브레인 고유치를 먼저 추출하였다.
검증 예제에서 확인할 수 있듯이, 이 논문에서 제안된 방법은 적은 개수의 노드를 사용함에도 불구하고 엄밀해 또는 FEM 해석 결과에 신속히 수렴해서, 정확한 고유진동수와 고유모드를 제공함이 확인되었다. 향후에는 이 논문에서 해결 못한 경계 노드 P_i와 노드 P_k가 일치했을 경우에 발생하는 문제와 잉여 고유진동수 발생 문제를 해결하기 위한 추가 연구가 진행될 것이다.

질의응답

핵심어	질문	논문에서 추출한 답변
	유한요소법과 경계요소법의 단점은 무엇인가?	상기의 두 방법은 해석 대상물의 전체 영역 또는 경계 영역을 여러 개의 노드와 요소로 분할한 후 노드와 노드 사이의 변위를 보간 함수로 근사화시키는 방법을 이용한다. 그러나 이들 보간 함수들이 해석 대상 평판의 운동 지배방정식을 만족하지 않는 단점으로 인해, 유한요소법과 경계요소법은 해의 정밀도 확보에 있어서 한계를 가지며 많은 수치 계산량을 필요로 하는 단점을 가지고 있다(17).
	NDIF법의 단점을 극복하기 위한 평면파(plane wave)를 기저함수로 이용하는 해석적 방법의 한계점은 무엇인가?	최근에 와서, 본 저자는 고정단 경계 조건에 비해 수치 해석적으로 다루기가 상대적으로 어려운 자유단 경계 조건을 가진 평판의 고유진동수와 고유모드를 NDIF법을 이용하여 정확히 구하기 위한 다양한 연구들을 수행하였으나(21,23), 단지 원형, 타원형과 같은 유선형 평판에만 적용 가능한 한계를 극복하지는 못하였다. 이러한 한계를 극복하기 위하여 저자는 평면파(plane wave)를 기저함수로 이용하는 해석적 방법을 제안하였으나(22), 이 방법은 유선형 평판에는 적용 못하고 다각형 평판에만 적용 가능한 한계를 가진다.
	다양한 형상 및 경계 조건을 가진 평판의 자유 진동 해석 기법에 대한 해석적 및 이론적 방법에 대한 연구들에는 무엇이 있는가?	다양한 형상 및 경계 조건을 가진 평판의 자유 진동 해석 기법에 대한 해석적 및 이론적 방법에 대한 다양한 연구들이 지금까지 꾸준히 연구되고 있다(1~14). 이와 관련된 몇 가지 선행 연구들을 살펴보면, Irie(1)와 Conway(2)는 정다각형 평판에 대한 자유진동해석 기법에 대한 연구를 수행하였고, Singh(3)은 원형 및 타원 평판에 대한 고유치와 고유모드 추출 기법을 제안하였다. 또, Durvalsula(7~11)는 Rayleigh-Ritz법, Galerkin법 및 좌표계 매핑법 등의 다양한 이론적 기법을 이용하여 평행사변형(7), 사다리꼴(8,9), 기울어진 사각형(10,11) 평판에 대한 고유치 해석 기법을 개발하였다.

참고문헌 (25)

Irie, T., Yamada, G. and Umesato, K., 1981,

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Conway, H. D., 1961, The Bending, Buckling,

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Singh, B. and Chakraverty, S., 1992,

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Conway, H. D. and Karnham, K. A., 1965,

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Chopra, I. and Durvasula, S., 1972, Vibration

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Durvasula, S., 1968, Natural Frequencies and

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Durvasula, S., 1969, Natural Frequencies and

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Blevibs, R. D., 1979, Formulas for Natural

저자의 다른 논문 :

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표제어: PCR

동의어: Packet Collision Rate

용어 설명 출처 목록 (6)

용어 설명: PCR은 세균 특이성이 있는 primer를 이용하여 적은 수의 세균이 있을지라도 쉽게 검출할 수 있는 유용한 방법이며, 이를 이용하여 구강 내 치면세균막이나 타액에서 직접 세균을 검출할 수 있게 되었다[8].

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