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[국내논문] 와이블 분포와 정시중단 하에서의 MLE와 LSE의 정확도 비교
A Comparison of Estimation Methods for Weibull Distribution and Type I Censoring 원문보기

品質經營學會誌 = Journal of Korean society for quality management, v.38 no.4, 2010년, pp.480 - 490  

김성일 (한양대학교 산업공학과) ,  박민용 (한양대학교 산업공학과) ,  박정원 (한국산업기술시험원)

Abstract AI-Helper 아이콘AI-Helper

In this paper, two estimation methods(least square estimation and maximum likelihood estimation) were compared for Weibull distribution and Type I censoring. Data obtained by Monte Carlo simulation were analyzed using two estimation methods and analysis results were compared by MSE(Mean Squared Erro...

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문제 정의

  • (2009)는 다양한 경우를 고려하여 LSE와 MLE를 비교하여 포괄적인 결과를 제시한 반면, 시뮬레이션 조건이 까다로워 현실적으로 일반 사용자들이 볼 때 어려움이 많다. 따라서 본 논문에서는 실제 현장에서 자주 사용되는 시험상황에 맞춰 시뮬레이션을 실시하고, 그 결과에 기초하여 일반 사용자들이 이해하기 쉽게 추정 방법 선택의 가이드라인을 제시하고자 한다.
  • 위 조건에서 β를 0.5, 1, 3으로 정한 것은 와이블 분포의 고장확률밀도함수에서 형상 파라미터가 β < 1 과 β = 1 그리고 β > 1 인 경우 고장형태가 각각 초기, 우발, 마모 고장인 것을 이용하여 각 고장 형태별로 LSE와 MLE의 차이점을 알아보기 위한 것이다.
  • 하지만 고장 수가 1개일 경우에 LSE와 비교가 불가능 하고, 추정치 또한 신뢰할 수 없으므로 최소 고장 수를 2개로 정하였다. 또한, 고장비율은 고장 수/시료 수로 같은 고장비율이 같을 때 추정방법에 따른 영향을 파악하기 위함이다. 예를 들면 시료 수가 10개이고 고장 수가 5개, 그리고 시료 수가 30개이고 고장 수가 15개라면 두 경우 모두 고장비율이 50%로 동일하다.
  • 예를 들면 시료 수가 10개이고 고장 수가 5개, 그리고 시료 수가 30개이고 고장 수가 15개라면 두 경우 모두 고장비율이 50%로 동일하다. 따라서 고장비율이 동일하다면 시료 수와 고장 수에 상관없이 추정방법에 차이가 있는지 알아보았다. 하지만 고장 수 2개와 3개는 각 시료 수에 따라 고장비율이 다르지만 신뢰성 시험에서 고장이 많이 발생하지 않는다는 가정하에서 정한 것이다.
  • 본 연구에서는 산업계에서 수명분포로서 일반적으로 사용되는 와이블 분포를 이용하여 완전데이터와 정시 중단데이터를 시료 수, 고장 수, 고장 비율의 여러 조합에 따라 LSE와 MLE 중 어떤 추정방법이 더 좋은지 비교해 보았다.

가설 설정

  • LSE와 MLE의 와이블 분포 파라미터 추정방법을 기술 하였다. 이 때, 수식의 이해를 돕기 위해 완전자료의 경우를 가정하였다.
  • 랜덤 와이블 변수를 발생 시켰을 때 얻어진 값을 고장 시간이라 보고 변수를 정렬하여 정시중단시험을 진행한 것으로 가정하였다. 또한, 시료 수와 고장 수가 동일하다면 완전자료를 얻은 것으로 가정하였다.
  • 랜덤 와이블 변수를 발생 시켰을 때 얻어진 값을 고장 시간이라 보고 변수를 정렬하여 정시중단시험을 진행한 것으로 가정하였다. 또한, 시료 수와 고장 수가 동일하다면 완전자료를 얻은 것으로 가정하였다.
  • 여기서 고장 수는 정시 중단 시험 후 고장이 발생했다는 가정하에서의 기대 고장 수 이다. 고장 수를 2개, 3개 그리고 고장비율로 정한 것은 실제적인 신뢰성 시험에서 고장이 많이 발생하지 않는다.
  • 따라서 고장비율이 동일하다면 시료 수와 고장 수에 상관없이 추정방법에 차이가 있는지 알아보았다. 하지만 고장 수 2개와 3개는 각 시료 수에 따라 고장비율이 다르지만 신뢰성 시험에서 고장이 많이 발생하지 않는다는 가정하에서 정한 것이다.
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질의응답

핵심어 질문 논문에서 추출한 답변
수명분포의 파라미터 추정방법은 상황에 따라 어떻게 사용되는가? 이 두가지 방법의 추정 결과가 다르기 때문에 어떤 방법을 사용하여야 하는지 선택해야 하는 상황에 놓이기 때문이다. 미니탭(Minitab)에서는 R13버전까지 기본 옵션으로 MLE를 사용하였다가 R14버전부터는 LSE를 사용하고 있다. 통계 소프트웨어 미니탭을 개발한 Minitab Inc.
일반적으로 사용되는 수명분포의 파라미터 추정방법은 어떤 것들이 있는가? 일반적으로 사용되는 수명분포의 파라미터 추정방법에는 최소제곱추정법(Least Square Estimator: LSE) 과 최대우도추정법(Maximum Likelihood Estimator: MLE)이 있다. 6 시그마 운동의 전개와 함께 산업계에서 널리 사용하게 된 통계 소프트웨어 미니탭에도 추정 방법에 대한 옵션으로 LSE와 MLE를 제시하고 있다.
LSE와 MLE의 장단점을 비교하시오 1. 만일 데이터의 형태가 완전자료라면 LSE는 이론상으로 Bias가 없지만, 누적고장확률(plotting position) 계산 선택에 따라 Bias가 있을 수도 있다. 이와 반대로 MLE는 시료의 크기가 증가할수록 Bias가 감소 하게 된다. 2. LSE는 분산 추정을 바로 할 수 없기 때문에 분산 추정이 크게 되는데 반해 MLE는 작게 구해진다. 3. 분포의 모형 확정시 사용되는 Correlation Coeff icient에 대한 P-Value는 LSE가 MLE보다 더 정밀하다. 하지만 파라미터의 경우는 그 반대이다. 대시료 뿐만 아니라 소시료의 경우에도 MLE는 좋은 추정량을 갖게 된다. 4. MLE는 Newton-Raphson Method와 같은 최적해 검색 방법을 사용해야 하므로 컴퓨터 통계 패키지 프로그램을 사용하지 않으면 계산이 힘들다. 하지만 LSE는 컴퓨터 통계 패키지 프로그램을 사용하지 않아도 계산이 가능하다.
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참고문헌 (10)

  1. 이상용(2003), 신뢰성공학 , 형설출판사. 

  2. Bugaighis, M. M. (1988), "Efficiencies of MLE and BLUE for Parameters of an Accelerated Life-Test Model", IEEE transactions on reliability, Vol. 37, No. 2, pp. 230-233. 

  3. Dodsn, B. (1994), Weibull analysis, American Soc iety for Quality Press, Milwaukee, Wisconsin. 

  4. Genschel, U. and Meeker, W. Q.(2009-06), "A Com parison of Maximum Likelihood and Median Rank Regression for Weibull Estimation", Iowa State University. 

  5. Gibbons, D. and Vance C.(1981), "A simulation study of estimators for the 2-Parameter Weibull Distribution", IEEE transactions on reliability, Vol. R30, No. 1, pp. 61-66. 

  6. Hossain, A. and Howlader, H. A. (1996), "Unweight ed least squares estimation of Weibull parameters", Journal of Statistical Computation and Simulation, 54, pp.265-271. 

  7. Hossain, A. and Zimmerb, W. (2002), "Comparison of estimation methods for Weibull parameters: Complete and censored samples", Journal of Statist ical Computation and Simulation, 73, pp.145-153. 

  8. Law, Averill M. and David Kelton, W.(1982), Simula tion Modeling and Analysis, McGraw-Hill, New York. 

  9. Lawless, J.F(1982), Statistical Models and Methods for Lifetime Data, Wiley, New York. 

  10. http://www.minitab.co.kr/minitab/member/mtbqna_view.asp?boardAll&number5165&page1&abspos1 

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