[논문]점탄성 유체의 난류 해석을 위한 수정된 <tex>$k-{\\varepsilon}$</tex> 난류모델 개발 및 혈류역학에의 적용

노경철; 유홍선

점탄성 유체의 난류 해석을 위한 수정된 $k-{\\varepsilon}$ 난류모델 개발 및 혈류역학에의 적용
DEVELOPMENT OF A MODIFIED $k-{\\varepsilon}$ TURBULENCE MODEL FOR VISCO-ELASTIC FLUID AND ITS APPLICATION TO HEMODYNAMICS 원문보기

한국전산유체공학회지 = Journal of computational fluids engineering, v.15 no.4 = no.51, 2010년, pp.1 - 8

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This article describes the numerical investigation of turbulent blood flow in the stenosed artery bifurcation under periodic acceleration of the human body. Numerical analyses for turbulent blood flow were performed with different magnitude of periodic accelerations using a modified turbulence model which was considering drag reduction of non-Newtonian fluid. The blood was considered to be a non-Newtonian fluid which was based on the power-law viscosity. In order to validate the modified $k-{\varepsilon}$ model, numerical simulations were compared with the standard $k-{\varepsilon}$ model and the Malin's low Reynolds number turbulence model for power-law fluid. As results, the modified $k-{\varepsilon}$ model represents intermediate characteristics between laminar and standard $k-{\varepsilon}$ model, and the modified $k-{\varepsilon}$ model showed good agreements with Malin's verified power law model. Moreover, the computing time and computer resource of the modified $k-{\varepsilon}$ model were reduced about one third than low Reynolds number model including Malin's model.

주제어

AI 본문요약
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문제 정의

본 논문은 혈류 및 비뉴턴 유체의 난류 현상 해석을 위해 새로운 난류 모델을 제안하였으며, 제안된 난류 모델은 실험 및 기존의 난류모델과의 비교를 통해 해석을 신뢰성 및 적용 가능성을 확인하였다. 새로운 난류모델인 수정된 k-ε 난류 모델은 기존의 고 레이놀즈수 모델인 standard k-ε 난류 모델에 비뉴턴 유체 난류시 반드시 수반되는 저항 감소 현상을 완충 함수를 이용하여 고려하였다.

가설 설정

0 m/s²이며, w_b는 혈압 맥동 주기 변수(2πf_p), 위상각 Φ는 주기가속도 영향을 최대로 나타내기 위해 0^∘를 사용하였다. 가속도 크기에 따른 혈류 특성 변화를 해석하기 위하여 가속도 주기 및 혈압 맥동 주파수 f_p는 1.2 Hz로 동일하다고 가정하였으며[24], 혈관 입구에서의 혈압 맥동 파형은 주기가속도와 마찬가지로 삼각 함수를 이용하여 식 (9)와 같이 표현하였다[24].

제안 방법

Fig. 1은 난류모델 해석 사용된 분지 혈관의 개략도로서, 혈관의 기본 형상 및 제원은 경동맥(carotid artery)를 기준으로 모델링하였으며, 총경동맥(common carotid artery) 부분에 직경기준 협착율이 75 %인 중증 동맥경화 혈관을 사용하였다[24]. 일반적으로 경동맥 부분에는 난류가 거의 발생하지 않으나, Fig.
2와 같이 심장 이완기에는 압력차가 0 Pa, 심장 수축기에는 400 Pa의 압력 차를 적용하였으며, 정압력 A₀는 200 Pa로 설정하였다. 경계조건으로 압력 경계조건을 사용한 이유는 중력가속도 변화에 따른 유입, 유출 혈류량 변화를 해석하기 위함이며, 속도 및 유량 경계조건에서는 중력조건이 고려되지 않기 때문에, 본 논문에서는 혈류량을 고려한 압력 경계 조건을 사용하였다.
는 가속도 주기와 동일한 값을 적용하였다. 경동맥의 평균유량[25]을 적용하기 위하여 입출구부에 Fig. 2와 같이 심장 이완기에는 압력차가 0 Pa, 심장 수축기에는 400 Pa의 압력 차를 적용하였으며, 정압력 A₀는 200 Pa로 설정하였다. 경계조건으로 압력 경계조건을 사용한 이유는 중력가속도 변화에 따른 유입, 유출 혈류량 변화를 해석하기 위함이며, 속도 및 유량 경계조건에서는 중력조건이 고려되지 않기 때문에, 본 논문에서는 혈류량을 고려한 압력 경계 조건을 사용하였다.
따라서 본 논문에서 제안하는 난류모델은 벽 법칙(wall function)을 이용하여 벽면의 격자 감소 및 해석시간이 상대적으로 빠른 standard k-ε 모델을 기반으로, 비뉴턴 유체의 고유한 난류현상인 저항감소 현상을 고려하였으며, 이를 기존의 실험[12] 및 standard k-ε 모델 해석 결과와 비교하여 수정된 k-ε 모델의 신뢰성 및 효율성을 확보하였다.
Escudier[21]의 실험에 의하면 벽 좌표계 기준으로 y+값이 10이하인 점성저층(viscous sublayer)에서는 비뉴턴 유체와 뉴턴 유체와의 특성 차이가 없는 것으로 측정되어 저항 감소 현상이 점성저층에서는 발생하지 않으며, 저항 감소 현상은 주로 완충층(buffer layer)에서 일어난다고 발표하였으며, 다른 실험결과[12,22]에서도 저항 감소가 커질수록 완충층의 두께가 증가하며, 속도분포가 Virk의 최소저항점근선에 도달한다고 보고하였다. 또한 평균속도분포(mean velocity profile)의 기울기와 난류 점성(turbulent viscosity)은 저항 감소 변화에 따라 연동하여 변화되므로 이러한 특성을 고려한 난류 점성에 대한 모델링을 식 (1)과 같이 완충 함수(damping function)를 이용하여 표현하였다.
3을 이용하였으며, 난류모델 및 혈액 구성 방정식, 주기가속도, 혈압맥동 파형은 User-Define Function(UDF)를 이용하였다. 비정상 해석을 위해 0.002초 간격의 시간간격을 사용하여 주기적인 혈류 해석이 이루어지도록 4주기 해석을 수행하였다. 해석 격자는 격자민감도 해석을 통해 평균 격자 크기가 0.
새로운 난류모델인 수정된 k-ε 난류 모델은 기존의 고 레이놀즈수 모델인 standard k-ε 난류 모델에 비뉴턴 유체 난류시 반드시 수반되는 저항 감소 현상을 완충 함수를 이용하여 고려하였다.

대상 데이터

해석영역은 실험과 동일하게 곧은 직관을 2차원 축대칭을 이용하여 모사하였으며, 격자구성은 벽 법칙(wall function)을 이용하기 때문에 y+≅11.5를 기준으로 벽면에서 첫 번째 격자를 구성하였으며, 격자수는 10,000개로 구성하였다.

데이터처리

본 논문에서 제안된 수정된 k-ε 난류 모델의 검증을 위해 Dodge[12]의 실험값과 standard k-ε 난류 모델의 해석 결과와 비교하였다.

이론/모형

1과 같이 협착이 매우 심한경우와 외력인 중력가속도가 가해지는 상황에서는 협착부의 단면적 감소와 혈류 속도 증가로 인해 난류가 발생할 수 있다[4]. 따라서 본 연구에서도 Sud[25], Mandal[26], Ro[24] 등이 수행한 연구와 같이 중증 혈관 모델에 주기 가속도(periodic acceleration)을 적용하여 난류 해석을 수행하고자 한다. 주기 가속도는 진동과 같이 단기간에 인체에 작용하는 외력으로 주기 가속도 크기에 따라 주기가 혈류 맥동과 일치할 경우에는 비례적으로 증가 혹은 감소하게 되므로, 두통 및 어지러움을 유발 시킬 수 있는 것으로 보고되었으며[26], 급격한 혈류속도 변화는 혈관 내벽에 교번 전단력 증가 및 협착이후에 재순환영역이 커지게 되어, 동맥경화의 발병에 원인중 하나로 꼽히고 있다[27].
수치해석은 범용 열유체 해석 프로그램인 FLUENT V6.3을 이용하였으며, 난류모델 및 혈액 구성 방정식, 주기가속도, 혈압맥동 파형은 User-Define Function(UDF)를 이용하였다. 비정상 해석을 위해 0.
혈액의 점도 구성 방정식(constitutive equation)은 다양한 모델들이 있으나 본 연구에서는 수정된 power-law 모델[28]을 사용하여 식 (10)과 같이 혈액의 유변학적 특성을 표현하였다.

성능/효과

또한 고 점탄성 유체는 완충층의 확장이 크게 일어나므로, 반드시 저항감소 현상을 고려한 난류모델을 사용해야 전체 유동장 예측의 오차를 줄일 수 있을 것으로 보이며, 본 논문에서 제안된 수정된 k-ε 난류 모델은 이러한 단점을 보완하면서 기존의 저 레이놀즈수 난류모델을 응용한 모델들과 같이 결과의 신뢰성을 확보하면서 해석 시간을 대폭 감소시킬 수 있다.
또한 실제 혈류 해석시 적용하여, 혈류의 난류해석에는 반드시 저항 감소를 고려한 난류모델을 사용해야 됨을 확인하였다. 일부 혈류역학 논문에서는 난류 해석시 혈관의 복잡성 및 과도한 시간이 소요되므로 standard k-ε 난류 모델을 사용하는 경우가 있으나, 저항 감소를 고려한 난류 모델들을 사용하는 것이 보다 정확한 혈류 특성을 예측할 수 있을 것으로 판단된다.
수정된 k-ε 난류 모델은 malin 모델과 유사한 경향을 보이고 있어서 비뉴턴 유체 난류의 저항 감소현상을 매우 잘 예측하는 것으로 판단된다.
층류 해석은 실험 결과와 완벽히 일치하는 결과를 보이나 난류 해석시에는 Fig. 3의 (a)와 같이 standard k-ε 모델은 뉴턴 유체 해석에는 정확한 예측 결과를 보여주지만, 비뉴턴 해석시 에는 power-law 지수에 관계없이 저항 감소 현상을 전혀 예측하지 못하는 경향을 보이고 있어, 비뉴턴 유체 해석시에는 standard k-ε 난류 모델을 사용하면 매우 큰 오차를 발생시킬 수 있음을 확인하였다.
002초 간격의 시간간격을 사용하여 주기적인 혈류 해석이 이루어지도록 4주기 해석을 수행하였다. 해석 격자는 격자민감도 해석을 통해 평균 격자 크기가 0.45 mm로 구성하여 약 281,250 개 격자가 사용되었으며, 계산시간은 병렬 quad-core 3GHz 시스템에서 약 24 시간이 소요되었다.

후속연구

standard k-ε 난류 모델은 안쪽벽의 저항을 과다 예측하여, 안쪽벽의 속도를 매우 낮게 해석하며, 이로 인하여 전체 단면 속도를 완만하게 계산할수밖에 없는 한계를 지니고 있다. 혈액은 power-law 지수가 약 0.5에 해당되는 비교적 고 점탄성 유체이므로 혈류의 난류 해석시에는 반드시 저항 감소 현상을 고려하여야 혈류 속도 예측이 정확해지며, 혈류 해석의 가장 중요한 벽 전단응력(wall shear stress) 예측에 적용될 수 있을 것으로 사료된다.

질의응답

핵심어	질문	논문에서 추출한 답변
	난류현상과 관련이 깊은 물성치는 무엇인가?	혈류(blood flow)는 혈액 자체의 높은 점성 및 비교적 작은 혈관 직경으로 인하여 동맥을 비롯한 대부분의 혈관에서는 층류 유동이 관찰되지만, 혈류 특성상 맥동으로 인해 대동맥 궁(aortic arch)을 비롯한 경동맥(carotid artery) 등에서는 난류 현상이 관찰되기도 한다[1]. 레이놀즈수(reynolds number)와 매우 관련이 깊은 난류현상은 파이프 유동에서 레이놀즈수가 한계 값을 넘어 갈 때 하류에서 난류가 발생 할지라도 입구 근처에서는 층류가 유지 되며, 난류는 층류 유동에서 점차적으로 발전된다는 것을 보여준다. 이 개념을 혈관의 맥동 유동에 적용시켜 보면, 유동 속도는 시간에 따라 변화하게 됨으로 순간 속도에 근거한 레이놀즈수는 시간에 따라 변하게 되며, 속도가 증가하는 구간에서 레이놀즈수는 증가하여 임계 레이놀즈수인 2,300까지 증가한다.
	혈액 유동에서 맥동에 의해 발생된 난류 유동의 특징은?	혈액 유동에서 맥동에 의해 발생된 난류 유동의 특징은 비뉴턴 유체(non-newtonian fluid)의 난류 유동이라는 것이다. 혈액과 같이 점탄성(visco-elastic) 특성을 나타내는 폴리머 용액이 원관 내를 난류 상태로 흐를 때 유동저항은 동일한 레이놀즈 수에서 newton 유체의 유동 저항에 비해 현저히 감소한다.
	k-ε 난류 모델의 장점은?	새로운 난류모델인 수정된 k-ε 난류 모델은 기존의 고 레이놀즈수 모델인 standard k-ε 난류 모델에 비뉴턴 유체 난류시 반드시 수반되는 저항 감소 현상을 완충 함수를 이용하여 고려하였다. 이를 통하여 비뉴턴 난류 해석시 많이 사용되어진 저 레이놀즈수 모델에 비하여 해석 시간의 단축 및 비뉴턴 유체 중 점탄성 유체에 일관적으로 적용 할 수 있는 장점을 가지고 있다.

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