[논문]중등 학교수학의 교수-학습과 그래핑 계산기 활용과의 관계에 대한 고찰

조정수

doi:10.7858/eamj.2010.26.2.165

중등 학교수학의 교수-학습과 그래핑 계산기 활용과의 관계에 대한 고찰 원문보기

East Asian mathematical journal, v.26 no.2, 2010년, pp.165 - 177

조정수 (Department of Mathematics Education College of Education Yeungnam University)

Abstract ▼ AI-Helper

The purpose of this study is to review previous studies regarding the relationship between graphing calculators usage and teaching and learning school mathematics and to suggest practical implications for further research in mathematics education. Through reviewing the total of 21 studies five subsections are divided in order to gain the answers to the research questions. The results of this study are as follows: students typically used graphing calculators in drawing graphs of functions, and they used graphing calculators as a tool for calculations, transformations, data collection and analysis, visualization, and checking. The implications for further research are suggested corresponding to these results.

주제어

AI 본문요약
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문제 정의

본 연구는 학생들이 그래핑 계산기를 활용하는 것이 학교수학의 교수-학습에 어떤 영향을 주는지를 알아보고자 선행 연구물을 분석하였다. 구체적으로, 학생들이 그래핑 계산기를 사용하고자 하는 것은 어떤 유형의 수학 문제를 풀 때이며 그런 경우 어떻게 사용하는지, 그리고 그래핑 계산기를 사용함으로써 학생들은 어떤 수학적 지식과 기능을 배우게 되고, 이렇게 배운 지식과 기능을 어떻게 사용하는지에 대한 답을 얻고자 했다.
본 연구는 Texas Instruments가 지원하고 미시건 주립대학교에서 수행된 연구보고서인 Handheld Graphing Technology in Secondary Mathematic(Texas Instruments, 2002)와 계산기 사용이 학생의 학업성취도와 태도에 미치는 효과를 메타 분석한 Ellington(2003)의 연구를 참고하여 2003년까지 발표된 그래핑 계산기 논문을 중심으로 위에서 진술한 두 가지 연구문제에 대한 답을 찾고자 수행되었다.
본 연구는 학생들이 그래핑 계산기를 활용하는 것이 학교수학의 교수-학습에 어떤 영향을 주는지를 알아보고자 선행 연구물을 분석하였다. 구체적으로, 학생들이 그래핑 계산기를 사용하고자 하는 것은 어떤 유형의 수학 문제를 풀 때이며 그런 경우 어떻게 사용하는지, 그리고 그래핑 계산기를 사용함으로써 학생들은 어떤 수학적 지식과 기능을 배우게 되고, 이렇게 배운 지식과 기능을 어떻게 사용하는지에 대한 답을 얻고자 했다.

가설 설정

둘째, 그래핑 계산기를 사용함으로써 학생들은 어떤 수학적 지식과 기능을 배우는가? 그리고 이 지식과 기능을 어떻게 사용하는가?

제안 방법

두 가지 연구문제에 따라 위와 같이 주제별로 분류한 다음, 각 주제에 대한 연구 결과를 조사, 요약함으로써 중⋅고등학교 수학교실에서의 교수-학습과 그래핑 계산기 활용과의 관계를 파악하고자 한다.
두 번째 연구문제는 그래핑 계산기를 사용함으로써 학생들은 어떤 수학적 지식과 기능을 배우는가? 그리고 이 지식과 기능을 어떻게 사용하는가이다.
둘째, 학생들은 그래핑 계산기를 계산, 변환, 자료 수집과 분석, 시각화, 그리고 검산의 도구로 주로 사용하였다. 대수 문제의 증명에서는 사용하지 않았고, 대수적 정보와 그래프 정보를 통합하는데 어려움이 있었다.

대상 데이터

미적분 수강 학생들의 문제 풀이 전략을 조사한 연구에 따르면(Harskamp, Suhre, & van Streun, 2000), 미적분 개념의 응용 능력을 증대시키기 위해서는 그래핑 계산기를 활용하는데 많은 시간을 보낼 필요가 있다. 이 연구는 세 가지 조건(1년간의 계산기 활용, 2개월간의 계산기 활용, 계산기 활용 없음)에 노출된 학생들을 대상으로 수행되었다. 두 처치집단 중 그래핑 계산기를 1년간 활용한 집단은 그래프에 관한 내용을 포함하지 않은 사후검사에서 2개월간 계산기를 활용하거나 계산기를 전혀 활용하지 않은 학생들보다 유의미하게 더 높은 성취를 보였다.
첫 번째 연구문제인 수학 문제의 유형과 그래핑 계산기 사용을 주제로 수행된 12편의 연구를 조사하였고, 두 번째 연구문제인 그래핑 계산기 사용에 의해 습득 하는 수학적 지식과 기능을 주제로 수행된 9편의 연구를 조사함으로써 총 21편의 연구를 고찰하였다.

이론/모형

학생들의 대수 학습에 관해 연구(Graham & Thomas, 2000; Thompson & Senk, 2001)에서 사용되었던 교육과정은 그래핑 계산기의 활용과 사용을 가정하여 만들어진 것으로 그래핑 계산기가 수학의 교수-학습 도구로 활용되었다.

성능/효과

그러나 CAS 계산기 사용이 허용되지 않는 경우, 공식적인 대학 미적분 입학시험, 풀이의 중간 단계 또는 그러한 단계에서 나오는 값을 요구하는 계산기와 관련이 적은 시험, 계산기에 의해 주어지지 않는 형식의 답, 다양한 계수의 사용, 주어진 잘못된 풀이를 다시 쓰기 형식의 시험에서 실험집단은 비교집단보다 더 잘 수행하지 못했다. 그래서 4주간의 교육을 받은 학생들은 그들이 연습했던 절차적인 과제에 대해서는 CAS 계산기를 성공적으로 활용했지만, 그런 제한적인 활용은 계산기와 관련이 적은 과제로 전이되거나 수학 안에 내재된 개념적인 이해에 영향을 미치지는 못한다는 결론을 내렸다.
학생의 함수 학습에 관하여 보고했던 연구는 학생들의 그래핑 계산기 활용이 그들이 함수에 대한 이해를 증진시키는 것을 돕는다고 했다(Hollar & Norwood, 1999; Schwarz & Hershkowitz, 1999). 그래핑 계산기와 그것의 활용을 지지하는 교과서를 사용하는 학생들이 전통적인 수업을 받은 학생들보다 일반적으로 함수에 대해 유의미하게 더 나은 이해를 보였다.
이 연구는 세 가지 조건(1년간의 계산기 활용, 2개월간의 계산기 활용, 계산기 활용 없음)에 노출된 학생들을 대상으로 수행되었다. 두 처치집단 중 그래핑 계산기를 1년간 활용한 집단은 그래프에 관한 내용을 포함하지 않은 사후검사에서 2개월간 계산기를 활용하거나 계산기를 전혀 활용하지 않은 학생들보다 유의미하게 더 높은 성취를 보였다. 게다가 장기간 그래핑 계산기를 활용했던 학생들은 알고리즘적 접근뿐 아니라 그래프적 접근을 활용한 반면, 단기간 계산기를 활용한 학생들은 배웠던 모든 다른 전략 대신에 그래프적 전략을 주로 활용했다.
CAS 계산기로 문제 푸는데 적합한 문제들로 1시간짜리 교육을 4회 받은 학생들은 CAS 계산기를 사용하지 않은 비교집단 학생들보다 유의미하게 더 높은 점수를 받았다. 따라서 실험집단 학생들은 계산기가 유용한 문제에 계산기를 성공적으로 활용했다는 사실을 알 수 있었다. 그러나 CAS 계산기 사용이 허용되지 않는 경우, 공식적인 대학 미적분 입학시험, 풀이의 중간 단계 또는 그러한 단계에서 나오는 값을 요구하는 계산기와 관련이 적은 시험, 계산기에 의해 주어지지 않는 형식의 답, 다양한 계수의 사용, 주어진 잘못된 풀이를 다시 쓰기 형식의 시험에서 실험집단은 비교집단보다 더 잘 수행하지 못했다.
셋째, 그래핑 계산기를 사용한 학생들의 경우 함수 개념의 이해와 표상 능력의 향상이 있었고, 현실적 맥락의 대수 문제를 푸는 능력의 신장은 있었지만 대수의 절차적 기능의 향상에는 별다른 효과가 없었다. 그리고 여전히 대수 문장제를 기호를 사용하여 푸는 것을 선호했고, 그래프로 풀려고 하지 않았다.
게다가 장기간 그래핑 계산기를 활용했던 학생들은 알고리즘적 접근뿐 아니라 그래프적 접근을 활용한 반면, 단기간 계산기를 활용한 학생들은 배웠던 모든 다른 전략 대신에 그래프적 전략을 주로 활용했다. 이 결과로 볼 때, 학생들의 그래핑 계산기 사용 시간의 증가는 학생들의 문제 풀이 전략의 범위를 확대시키는 것으로 나타났다고 추정된다. 이 연구에 따르면, 그래핑 계산기 접근에 있어 경험과 시간의 길이가 수학을 배우고 행하는데 있어 중요 요인이 된다고 볼 수 있다.
Quesada & Maxwell(1994)은 그래핑 계산기를 활용되도록 설계된 교과서와 그래핑 계산기를 가지고 기초 미적분학을 지도한 효과를 검증하는 연구를 수행했다. 이 연구에 따르면, 실험집단 학생들이 통제집단 학생들보다 문장제와 함수, 그래프 그리기, 방정식의 성질을 포함한 문제들로 출제된 학기말 시험에서 성적이 더 뛰어났다는 사실을 발견했다. Ruthven(1990)은 1년간 정기적으로 그래핑 계산기를 사용한 수업을 수강한 학생들과 그래핑 계산기를 정기적으로 사용하지 않은 수업을 수강한 학생들의 다항식 그래프 그리기에 관한 시험에서 이들의 수행능력 차이를 비교하였다.
이러한 연구 결과로부터 수학교실에서의 그래핑 계산기 활용에 대한 교수-학습 및 후속 연구에 대해 다음과 같은 제언을 내릴 수 있었다. 첫째, 수학의 교수-학습 과정에서 그래핑 계산기를 사용하는 경우, 교사는 학생들이 그래핑 계산기를 수학적 개념, 원리, 법칙에 대한 개념적 이해 없이 단순한 계산이나 대수적 절차와 알고리즘을 쉽게 대신해 주는 도구라는 인식을 갖지 않도록 주의해서 지도해야 한다. 특히 하 수준의 학생들은 이런 생각을 더 쉽게 가질 수 있다.
첫째, 학생들이 그래핑 계산기를 사용해서 풀고자 하는 수학 문제는 주로 함수의 그래프를 그리고 설명하는 문제였지만, 그래프에 관한 문제이더라도 사용 시간과 경험이 적은 경우에는 그래핑 계산기를 사용하려고 하지 않았다.

후속연구

셋째, 그래핑 계산기를 사용하여 수학을 배우는 학생들과 이를 사용하지 않고 전통적인 방식으로 수학을 배우는 학생들의 수학에 대한 생각과 인식, 신념에 대한 연구가 있어야 할 것이다. 그리고 이들 두 집단 학생들의 문제 풀이나 탐구과정, 수업 활동에서의 참여 정도의 차이를 알아보는 연구도 필요하다.
넷째, 평면기하, 통계, 삼각함수의 내용 영역에서의 그래핑 계산기 활용에 대한 연구가 추가적으로 필요하며, 중학생을 대상으로 중하 수준의 학생들의 그래핑계산기 사용에 의한 수학적 개념 형성과 학업성취도에 대한 연구가 필요하다.
특히 하 수준의 학생들은 이런 생각을 더 쉽게 가질 수 있다. 따라서 그래핑 계산기가 수학적 관찰, 탐구, 실험, 시각화, 추측제기를 위한 도구로 활용될 수 있도록 해야 할 것이다.
마지막으로, 학생들의 수학 학업성취도의 차이가 이들의 그래핑 계산기의 사용 유형과 방법에 어떤 영향을 미치는지 알아볼 필요가 있다. 그래핑 계산기를 적극적으로 사용하기 위해서는 수학 지식과 기능에 대한 습득이 필수적이며, 이에 따라 학생들의 계산기 사용 형태가 달라질 것이다.
어떻게 학생들이 CAS 계산기의 기능들을 선택하여 사용하는지, 그리고 어떻게 학생들이 그들이 수행하는 과제로부터 의미를 형성하는지에 관한 연구가 필요하다고 본다. 본 연구는 2003년 이전의 그래핑 계산기 활용에 관한 연구로 한정하고 있지만, 연구물의 검색을 2003년부터 최근까지로 늘린다면 CAS 계산기의 활용에 대한 많은 연구 결과가 있을 것이라고 생각된다. 이 점이 본 연구의 제한점으로 본 연구는 2003년 이전의 그래핑 계산기 활용에 관한 연구로 한정하고 있다.
학생들이 특정 과제를 수행하기 위하여 그래핑 계산기를 어떻게 활용하는지에 대한 더 많은 연구가 있어야 할 것으로 보인다. 비록 여러 연구에서 학생들이 미적분 문제를 풀 때 예상치 못한 방식으로 그래핑 계산기를 사용했음을 보고했지만, 학생들이 그래핑 계산기를 어떻게 사용했는지에 대한 추가적인 연구가 필요하다. 예를 들면, 학생들이 그래핑 계산기를 언제든지 사용할 수 있는 경우 이들은 수학을 어떻게 생각하는지 그리고 이 생각은 그래핑 계산기 없이 수학을 배우는 학생들의 생각과 어떻게 다른지에 관한 연구가 없었다.
셋째, 그래핑 계산기를 사용하여 수학을 배우는 학생들과 이를 사용하지 않고 전통적인 방식으로 수학을 배우는 학생들의 수학에 대한 생각과 인식, 신념에 대한 연구가 있어야 할 것이다. 그리고 이들 두 집단 학생들의 문제 풀이나 탐구과정, 수업 활동에서의 참여 정도의 차이를 알아보는 연구도 필요하다.
본 연구는 2003년 이전의 그래핑 계산기 활용에 관한 연구로 한정하고 있지만, 연구물의 검색을 2003년부터 최근까지로 늘린다면 CAS 계산기의 활용에 대한 많은 연구 결과가 있을 것이라고 생각된다. 이 점이 본 연구의 제한점으로 본 연구는 2003년 이전의 그래핑 계산기 활용에 관한 연구로 한정하고 있다.
그러나 이들 연구는 특정 수학적 개념이 아니라 주제별로 연구되었으므로 중요한 수학적 개념에 초점을 맞춘 연속적이고 누적적인 연구가 필요하다. 특히 그래핑 계산기의 활용이 학생들의 수학적 추론과 증명관에 어떤 영향을 주는지에 대한 연구가 필요하다고 본다.
연구문제 2에 초점을 둔 연구결과에 따르면, 학생들이 그래핑 계산기에 접근할 수 있을 때 그들의 수학 학습에 영향을 미친다고 했다. 하지만 접근성뿐만 아니라 상호작용, 이전 수학 지식과 신념, 그리고 계산기 활용 시간과 경력과 같은 여러가지 변수가 어떻게 학생들의 학습에 복합적으로 영향을 미치는지 설명해줄 후속적인 연구가 필요하다고 본다.
학생들이 특정 과제를 수행하기 위하여 그래핑 계산기를 어떻게 활용하는지에 대한 더 많은 연구가 있어야 할 것으로 보인다. 비록 여러 연구에서 학생들이 미적분 문제를 풀 때 예상치 못한 방식으로 그래핑 계산기를 사용했음을 보고했지만, 학생들이 그래핑 계산기를 어떻게 사용했는지에 대한 추가적인 연구가 필요하다.

질의응답

핵심어	질문	논문에서 추출한 답변
	그래핑 계산기의 오용에서 어떤 경우가 학생들이 지나친 의존성 때문에 나타난 것인가?	계산기 오용의 또 다른 예는 계산기의 한계를 고려하지 않은채, 그래핑 계산기가 그린 그래프에 대한 일부 학생들의 지나친 의존성이었다. 학생들은 점근선을 빠뜨리거나 그래프의 여러 부분을 잘못 연결한 채 그려진 그래프를 단지 그대로 베끼는 경우였다. 기호 조작 계산기의 활용과 관련된 부가적인 어려움 역시 있었는데, 예를 들면 공식 입력 시 잘못된 문법을 사용하여 오답으로 이어지는 경우와 키를 누를 때 올바른 순서로 접해야 하는 어려움 같은 것이었다.
	휴대용 그래핑 공학에 대한 경험이 학생들의 수학 과제에 대한 접근에 영향을 준다는 증거는 무엇인가?	휴대용 그래핑 공학에 대한 경험이 학생들의 수학 과제에 대한 접근에 영향을 준다는 증거가 있었다. Keller & Hirsch(1998)의 연구는 그래핑 계산기를 활용했던 학생들이 활용하지 않았던 학생들보다 맥락화된 문제와 탈맥락화된 문제 모두에서 그래프에 대한 선호가 더 높다고 지적했다. 그러나 그래프적 답을 요구하지 않는 과제에 대해서는 계산기 사용을 최소화하였음이 나타났다.
	Doerr & Zangor(2000)이 제시한 학생들이 그래핑 계산기를 활용하는 방법은?	Doerr & Zangor(2000)의 연구에 따르면, 학생들이 그래핑 계산기를 활용하는 방법은 1) 계산 도구, 2) 변환 도구, 3) 자료 수집과 분석 도구, 4) 시각화 도구,5) 검산 도구의 다섯 가지이다. Drijvers & Doorman(1996)의 연구는 그래핑 계산기가 학생들에게 수학적 아이디어를 탐구하는데 계산기를 활용하도록, 그리고 그들이 유연한 해결 절차를 사용하도록 고무한다고 하였다.

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표제어: PCR

동의어: Packet Collision Rate

용어 설명 출처 목록 (6)

용어 설명: PCR은 세균 특이성이 있는 primer를 이용하여 적은 수의 세균이 있을지라도 쉽게 검출할 수 있는 유용한 방법이며, 이를 이용하여 구강 내 치면세균막이나 타액에서 직접 세균을 검출할 수 있게 되었다[8].

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