[논문]3 차원 입방형 표면조도가 난류경계층에 미치는 영향

이재화; 성형진

doi:10.3795/ksme-b.2010.34.10.917

초록
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3 차원 표면조도의 영향을 조사하기 위하여 규칙적으로 배열된 3 차원의 입방형 표면조도를 갖는 난류경계층을 직접수치모사하였다. 표면조도는 주 유동방향과 횡 방향으로 각각 8k 과 2k 의 주기를 갖도록 배열되었으며 표면조도의 크기 (k)는 입구 운동량 두께(${\theta}_{in}$)의 1.5 배이다. 주 유동 방향을 따라 공간 발달하는 3 차원 표면조도 위의 난류특성을 2 차원의 막대형표면조도에서의 결과와 비교하였다. 2 차원 표면조도와 마찬가지로 3 차원 표면조도의 경우에도 조도저층 뿐만 아니라 바깥영역에서 표면조도의 영향이 존재하였으며 이러한 결과는 주 유동 방향의 표면조도의 주기와 사각형의 면에 의한 막음현상이 2 차원의 표면조도와 마찬가지로 크게 나타나기 때문인 것으로 판단된다.

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Direct numerical simulation (DNS) of a spatially developing turbulent boundary layer (TBL) with regularly arrayed cubical roughness elements was performed to investigate the effects of three-dimensional (3D) surface elements. The staggered cubes downstream were periodically arranged in the streamwis...

Direct numerical simulation (DNS) of a spatially developing turbulent boundary layer (TBL) with regularly arrayed cubical roughness elements was performed to investigate the effects of three-dimensional (3D) surface elements. The staggered cubes downstream were periodically arranged in the streamwise and spanwise directions with pitches of $p_x$/k=8 and $p_z$/k=2, where $p_x$ and $p_z$ are the streamwise and spanwise spacings of the cubes; the roughness height (k) was k=$1.5{\theta}_{in}$, where ${\theta}_{in}$ is the momentum thickness at the inlet. Spatially developing characteristics over the 3D cubical roughness were compared with the data obtained from the DNS over the two-dimensional (2D) rod roughened wall and smooth wall. Introduction of the cubical roughness on the TBL affected the turbulent Reynolds stresses not only in the roughness sublayer but also in the outer layer; and these effects are consistent with those observed over the 2D rough wall.

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문제 정의

특히 여기에서는 표면조도 위에서 공간 발달하는 경계층의 특징과 대표적인 난류통계량인 평균속도과 난류응력분포를 통하여 2 차원과 3차원의 차이가 ‘wall-similarity hypothesis’에 어떠한 영향을 미치는지 살펴보고자 한다.
따라서 본 연구에서는 3 차원 입방형 표면조도를 갖는 난류경계층을 직접수치모사하여 기존에 2 차원에서 이루어진 DNS 결과와 비교, 분석 함으로서 난류통계량에서의 2 차원과 3 차원 표면조도의 영향을 살펴보고자 한다. 특히 여기에서는 표면조도 위에서 공간 발달하는 경계층의 특징과 대표적인 난류통계량인 평균속도과 난류응력분포를 통하여 2 차원과 3차원의 차이가 ‘wall-similarity hypothesis’에 어떠한 영향을 미치는지 살펴보고자 한다.
여기에서는 충분히 수렴된 유동장(x/θin=516) 내에서 2 차원과 3 차원의 표면조도를 가지는 경계층의 평균속도와 난류응력의 분포를 살펴보기로 한다.

제안 방법

지배방정식의 모든 항은 시간과 공간에 대해 각각 2 차의 중심차분법과 CrankNicolson 방법을 이용하여 완전 내재적 방법으로 차분하였다. 이를 통해 얻어진 행렬 식은 계수행렬의 근사적인 LU decomposition 을 통해서 속도와 압력을 분리하였으며 대류항의 내재적 처리로 인해 결합된 속도 성분들 또한 근사적 LU decomposition 을 통해 각각 분리하였다. 본 연구에서는 표면조도를 모사하기 위하여 Kim 등⁽¹⁰⁾이 제시한 가상경계기법을 이용하였다.
본 연구에서는 표면조도를 모사하기 위하여 Kim 등⁽¹⁰⁾이 제시한 가상경계기법을 이용하였다. 가상경계에서 경계조건을 만족시키기 위하여 운동량 방정식에 모멘텀 가진 f_i항이 추가되었으며 힘이 가해 지는 점이 가상의 경계와 일치하지 않는 경우 일차와 이차의 보간법을 사용하여 가상 경계에서의 점착 조건을 만족시켰다.
0 이다. 특히, 표면조도에 의해 발생하는 벽 수직방향의 난류 섭동을 모사하기 위해 표면조도 당 48 개의 격자 수를 사용하였다. 입구에서 표면조도가 있는 난류경계층의 입구조건을 만들기는 현실적으로 어렵기 때문에 Lund 등⁽¹¹⁾이 제안한 방법을 사용하여 표면조도가 없는 Reθ_in=300 의 난류 유동장을 별도의 계산을 통하여 입구 유동 조건으로 부가하였으며 그 결과 유동은 입구에서부터 80θ_in (x/θ_in=0) 떨어진 곳에서 처음으로 표면조도를 만나 급격한 유동장의 변화를 겪게 된다.
본 연구에서는 표면조도가 없는 매끈한 평판의 유동장을 입구 조건으로 부과하여 입구에서 80θin떨어진 위치에서 유동이 급격한 표면변화를 거치도록 하였다.
3 차원의 입방형 표면조도를 갖는 난류경계층을 직접수치모사하여 3 차원의 표면조도가 난류통계량에 미치는 영향에 대하여 살펴보았다. 표면조도는 주 유동방향과 횡 방향으로 각각 8k 과 2k 의주기를 갖도록 배열되었으며 표면조도의 크기 (k) 는 입구 운동량 두께(θ_in)의 1.

대상 데이터

표면조도는 주 유동 방향으로 8k, 횡 방향으로는 2k 의 간격으로 규칙적으로 배열 되었으며 본 연구에 사용된 벽면으로부터의 수직 방향 높이는 가상 원점(ε)을 사용하여 나타내었다.

이론/모형

본 연구에서 사용된 무차원화 된 3 차원의 비정상 비압축성 Navier-Stokes 방정식과 연속 방정식은 다음과 같다.
모든 변수들은 자유흐름 속도 (U_∞) 와 입구에서의 운동량 두께 (θ_in)로 무차원화 되었으며 Re 는 Reynolds 수를 나타낸다. 지배방정식은 Kim 등⁽⁹⁾에 의해 제시된 부분 단계법(fractional step method)을 사용하여 속도와 압력 항으로 분리하였다. 지배방정식의 모든 항은 시간과 공간에 대해 각각 2 차의 중심차분법과 CrankNicolson 방법을 이용하여 완전 내재적 방법으로 차분하였다.
지배방정식은 Kim 등⁽⁹⁾에 의해 제시된 부분 단계법(fractional step method)을 사용하여 속도와 압력 항으로 분리하였다. 지배방정식의 모든 항은 시간과 공간에 대해 각각 2 차의 중심차분법과 CrankNicolson 방법을 이용하여 완전 내재적 방법으로 차분하였다. 이를 통해 얻어진 행렬 식은 계수행렬의 근사적인 LU decomposition 을 통해서 속도와 압력을 분리하였으며 대류항의 내재적 처리로 인해 결합된 속도 성분들 또한 근사적 LU decomposition 을 통해 각각 분리하였다.
이를 통해 얻어진 행렬 식은 계수행렬의 근사적인 LU decomposition 을 통해서 속도와 압력을 분리하였으며 대류항의 내재적 처리로 인해 결합된 속도 성분들 또한 근사적 LU decomposition 을 통해 각각 분리하였다. 본 연구에서는 표면조도를 모사하기 위하여 Kim 등⁽¹⁰⁾이 제시한 가상경계기법을 이용하였다. 가상경계에서 경계조건을 만족시키기 위하여 운동량 방정식에 모멘텀 가진 f_i항이 추가되었으며 힘이 가해 지는 점이 가상의 경계와 일치하지 않는 경우 일차와 이차의 보간법을 사용하여 가상 경계에서의 점착 조건을 만족시켰다.
계산 영역의 크기는 주 유동 방향, 벽 수직 방향 그리고 횡 방향으로 각각 (L_x X L_y X L_z)=(768θ_in X 60θ_in X96θ_in)이며, 격자 수는 (2049 X 150 X 513)이다. 주 유동 방향과 횡 방향으로 균일 격자 계(uniform grid)를 사용하였고 벽면의 수직 방향으로는 쌍곡선탄젠트함수(hyperbolic tangent function)를 이용한 비 균일 격자계(non-uniform grid)를 사용하였다. 벽 단위로 무차원화된 각 방향의 격자 크기는 ∆x⁺=6.

성능/효과

6(a)의 유선은 앞에서 설명했던 바와 같이 2차원의 표면조도가 있는 경계층과 비교해 재순환영역이 발생하지 않는 것을 확인할 수 있다. 하지만 압력장을 보면 비록 크기는 2 차원에 비해 작아졌지만 3 차원의 표면조도의 경우에도 유동장의 충돌 (impingement) 로 인한 막음효과가 상당히 크게 발생하는 것을 확인할 수 있다.
본 연구에서는 그 영향이 약 y=5ks(y/δ=0.91)에 이르는 것으로 확인되었다.
따라서 유동장 내에서 초기의 표면변화에 대한영향이 사라진 새로운 정상상태에 도달하기 위하여 충분히 긴 계산 도메인을 사용하였으며 그 결과 약 x/θin =300 근처에서 새로운 정상상태에 도달한 것을 확인하였다.
또한 Volino 등(8)은 Cheng & Castro⁽¹⁸⁾의 결과와 그들의 2 차원 막대형표면조도 그리고 매끈한 표면 위의 통계량을 비교함으로써 2 차원과 3 차원의 차이로 인해 바깥영역에서 표면조도의 영향이 다르게 나타난다고 주장하였다. 하지만 본 연구에서는 3 차원의 표면조도를 가지는 난류 경계층에서도 바깥영역에서 표면조도의 영향이 존재함을 확인할 수 있고 이러한 차이는 주 유동 방향의 표면조도 주기의 차이에서 비롯되는 것을 확인할 수 있다. 한 방향으로 2 차원의 막대형 표면조도를 가지는 난류채널유동에서 Leonardi 등⁽¹⁹⁾은 주 유동 방향 주기의 차이에 따른 압력저항과 난류구조의 차이를 조사하여 주 유동 방향의 주기가 2k 일 경우 난류구조가 거의 벽면에 평행하게 흘러 가지만 8k 일 경우에는 표면조도의 강한 막음현상에 의해 난류구조가 떠오르게 되고 그 결과 가장 큰 압력저항이 발생한다고 보고하였다.
한 방향으로 2 차원의 막대형 표면조도를 가지는 난류채널유동에서 Leonardi 등⁽¹⁹⁾은 주 유동 방향 주기의 차이에 따른 압력저항과 난류구조의 차이를 조사하여 주 유동 방향의 주기가 2k 일 경우 난류구조가 거의 벽면에 평행하게 흘러 가지만 8k 일 경우에는 표면조도의 강한 막음현상에 의해 난류구조가 떠오르게 되고 그 결과 가장 큰 압력저항이 발생한다고 보고하였다. 본 연구에서도 비록 3 차원의 표면조도이지만 2 차원의 표면조도와 일관되게 주 유동 방향의 긴 주기로 인한 강한 막음현상과 압력저항으로 인해 바깥영역에서 표면조도의 영향이 존재하는 것을 확인할 수 있다.
계산된 레이놀즈 수는 Re_θ=300~1300 이다. 3 차원 표면조도 위에서의 주 유동 방향의 평균속도는 매끈한 표면의 경우보다 7.2 아랫방향으로 이동된 것을 확인할 수 있으며 이것은 2 차원 (9.8)의 경우보다 적은 값으로 표면조도의 영향이 감소한 것을 나타낸다. 하지만 난류응력에 대한 조사는 2 차원과 3 차원의 표면조도의 영향이 바깥 영역에서 거의 동일하게 나타나는 것을 보여 주었으며 이것은 기존의 Flack 등⁽⁸⁾의 가설과 반대된다.
하지만 난류응력에 대한 조사는 2 차원과 3 차원의 표면조도의 영향이 바깥 영역에서 거의 동일하게 나타나는 것을 보여 주었으며 이것은 기존의 Flack 등⁽⁸⁾의 가설과 반대된다. 특히, 이러한 결과는 주 유동 방향의 표면조도 주기의 차이에서 비롯되는 결과이며 충분히 긴 주기를 갖는 표면조도의 경우 강한 막음 현상에 의한 큰 압력저항이 발생하는 것을 확인할 수 있었다. 본 연구는 특정한 표면조도의 형상과 레이놀즈 수에서 이루어진 것으로 wall-similarity 에 대한 보다 정확한 연구를 위해 다양한 형상과 주기에 대한 수치적, 실험적 연구가 필요하다.
4(d)는 가상원점의 변화를 주 유동방향에 따라 나타낸 것이며 Jackson⁽¹³⁾의 정의에 따라 표면조도에 작용하는 모멘텀 힘의 중심을 이용하여 계산하였다. 그 결과 2 차원의 표면조도에 비하여 가상원점이 더 높게 위치하는 것을 확인할 수 있다.

후속연구

특히, 이러한 결과는 주 유동 방향의 표면조도 주기의 차이에서 비롯되는 결과이며 충분히 긴 주기를 갖는 표면조도의 경우 강한 막음 현상에 의한 큰 압력저항이 발생하는 것을 확인할 수 있었다. 본 연구는 특정한 표면조도의 형상과 레이놀즈 수에서 이루어진 것으로 wall-similarity 에 대한 보다 정확한 연구를 위해 다양한 형상과 주기에 대한 수치적, 실험적 연구가 필요하다.

질의응답

핵심어	질문	논문에서 추출한 답변
	난류경계층의 적절한 무차원 변수의 선택이 중요한 이유는 무엇인가?	난류경계층은 주 유동 방향으로 계속해서 발달함으로써 그 특성이 주 유동 방향으로 변하게 되므로 적절한 무차원 변수의 선택은 표면조도 위에서 난류통계량의 상사성을 얻기 위해서 또는 다른 조건에서의 유동 특성과 비교하기 위해서 상당히 중요하다. Fig.
	표면조도가 있는 난류경계층 유동이 다양한 공학적, 물리적 문제에 있어 매우 중요한 문제 중의 하나인 이유는 무엇인가?	표면조도가 있는 난류경계층 유동은 다양한 공학적, 물리적 문제에 있어 매우 중요한 문제 중의 하나이다. 이는 표면조도가 열 및 운동량의 전달과 같은 유동 특성 및 성능 개선에 영향을 미치는 매우 중요한 디자인 변수 중의 하나이기 때문이다. 때문에 이러한 표면조도가 난류경계층에 미치는 영향에 대한 연구가 실험과 수치해석을 이용하여 지속적으로 이루어지고 있다.
	난류유동 내의 표면조도는 어디까지 영향을 주는가?	난류유동 내의 표면조도는 벽면 근처의 유동장뿐만 아니라 표면조도 위의 일정한 높이까지 그 영향을 주는 것으로 보고되어 지고 있다. 이러한 조도저층은 일반적으로 표면조도 크기의 2~5 배로 가정 되어지는데 Bhaganagar 등(14)은 난류통계량이 공간적으로 균일해지는 위치를 조도저층이라고 정의하였으며 반면에 Schultz & Flack(15)은 표면조도가 없는 경계층 위의 난류통계량과 비교하여 표면조도의 영향이 거의 없는 위치를 조도저층으로 구분하였다.

참고문헌 (19)

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Bhaganagar, Kiran., Coleman, Gary. and Kim, John., 2004, "Effect of Roughness on Wall-Bounded Turbulence," Flow, Turbul. Combust, Vol. 72, pp. 463-492.

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Leonardi, S., Orlandi, P., Smalley, R. J., Djenidi, L. and Antonia, R. A., 2003, "Direct Numerical Simulations of Turbulent Channel Flow with Transverse Square Bars on One Wall," J. Fluid Mech., Vol. 491, pp. 229-238.

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