[국내논문]조위의 확률밀도함수 변화에 따른 평균 및 표준편차 분석 Analysis of the Mean and Standard Deviation due to the Change of the Probability Density Function on Tidal Elevation Data원문보기논문타임라인
해안 구조물의 신뢰성 설계과정에서 조위자료를 정규분포로 가정하여 설계를 수행하는 경우가 빈번하다. 그러나 조위 자료는 쌍봉형 정규 분포 형태를 따르기 때문에 설계과정에서 등가 정규분포 개념에 근거하여 등가평균 및 등가표준편차를 추정하게 되며, 이 과정에서 정규분포를 가정한 경우의 추정 평균 및 표준편차와는 다른 추정오차가 발생하게 된다. 본 연구에서는 쌍봉형 정규분포 형태를 따르는 조위에 대하여 등가평균 및 등가표준편차를 추정하고, 정규분포를 가정하여 추정한 평균과 표준편차와 비교하였다 그 결과, 등가 매개변수 추정오차는 조위조건과 조위의 크기에 따라 크게 변하고 있는 것으로 파악되었다. 인천의 경우, ${\pm}400cm$ 조건에서 등가평균 및 등 가표준편차 추정편차는 각각 100 cm 이상, 80~100 cm 정도로 파악되었으며, 조석이 약한 포항에서는 ${\pm}60cm$ 조건에서 모두 2~4 cm 정도의 작은 추정 편차를 보이고 있는 것으로 파악되었다.
해안 구조물의 신뢰성 설계과정에서 조위자료를 정규분포로 가정하여 설계를 수행하는 경우가 빈번하다. 그러나 조위 자료는 쌍봉형 정규 분포 형태를 따르기 때문에 설계과정에서 등가 정규분포 개념에 근거하여 등가평균 및 등가표준편차를 추정하게 되며, 이 과정에서 정규분포를 가정한 경우의 추정 평균 및 표준편차와는 다른 추정오차가 발생하게 된다. 본 연구에서는 쌍봉형 정규분포 형태를 따르는 조위에 대하여 등가평균 및 등가표준편차를 추정하고, 정규분포를 가정하여 추정한 평균과 표준편차와 비교하였다 그 결과, 등가 매개변수 추정오차는 조위조건과 조위의 크기에 따라 크게 변하고 있는 것으로 파악되었다. 인천의 경우, ${\pm}400cm$ 조건에서 등가평균 및 등 가표준편차 추정편차는 각각 100 cm 이상, 80~100 cm 정도로 파악되었으며, 조석이 약한 포항에서는 ${\pm}60cm$ 조건에서 모두 2~4 cm 정도의 작은 추정 편차를 보이고 있는 것으로 파악되었다.
In the process of the probabilistic-based design on the coastal structures, the probability density function (pdf) of tidal elevation data is assumed as the normal distribution function. The pdf shape of tidal elevation data, however, is better-fitted to the double-peak normal distribution function ...
In the process of the probabilistic-based design on the coastal structures, the probability density function (pdf) of tidal elevation data is assumed as the normal distribution function. The pdf shape of tidal elevation data, however, is better-fitted to the double-peak normal distribution function and the equivalent mean and standard deviation (SD) estimation process based on the equivalent normal distribution is required. The equivalent mean and SD (equivalent parameters) are different with the mean and SD (normal parameters) estimated in the condition that the pdf of tidal elevation is normal distribution. In this study, the difference, i.e., estimation error, between equivalent parameters and normal parameters is compared and analysed. The difference is increased as the tidal elevation and its range are increased. The mean and SD differences in the condition of the tidal elevation is ${\pm}400cm$ are above 100 cm and about 80~100 cm, respectively, in Incheon station. Whereas, the mean and SD differences in the condition of the tidal elevation is ${\pm}60cm$ are very small values in the range of 2~4 cm, in Pohang station.
In the process of the probabilistic-based design on the coastal structures, the probability density function (pdf) of tidal elevation data is assumed as the normal distribution function. The pdf shape of tidal elevation data, however, is better-fitted to the double-peak normal distribution function and the equivalent mean and standard deviation (SD) estimation process based on the equivalent normal distribution is required. The equivalent mean and SD (equivalent parameters) are different with the mean and SD (normal parameters) estimated in the condition that the pdf of tidal elevation is normal distribution. In this study, the difference, i.e., estimation error, between equivalent parameters and normal parameters is compared and analysed. The difference is increased as the tidal elevation and its range are increased. The mean and SD differences in the condition of the tidal elevation is ${\pm}400cm$ are above 100 cm and about 80~100 cm, respectively, in Incheon station. Whereas, the mean and SD differences in the condition of the tidal elevation is ${\pm}60cm$ are very small values in the range of 2~4 cm, in Pohang station.
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제안 방법
등가 매개변수 추정에 사용된 주요 검조소의 쌍봉형 정규분포 매개변수 값은 조 등(2004)이 제시한 값을 이용하였으며, 주요 파괴조건에 해당하는 상대적인 조위에 대한 등가매개변수 비교를 위하여, 매개변수 추정에 사용된 조위(x* )는 0(영)을 기준으로 µ1, µ1−σ1, µ1−2σ1, µ2, µ2+σ2, µ2+2σ2 값에 대하여 수행하였다.
따라서 기존의 연구에서 활발하게 수행된 정규분포로 가정한 경우의 확률변수와 비교하면 기존 방법에서 추정한 오차 분석이 가능하다. 등가 매개변수는 파괴조건(조위)에따라 다르기 때문에 다양한 파괴조건에 해당하는 조위에 대하여 등가 매개변수를 추정하고, 기존의 방법으로 추정하는 매개변수와의 차이, 정량적인 오차를 분석하였다.
정규분포를 가정하는 경우와 쌍봉형 정규분포 형태에 대하여 등가 매개변수를 추정한 경우는 검조소에 따라 크게 차이를 보이고 있을 것으로 파악되었다. 보다 자세한 분석은 모든 조위조건에 대한 등가 매개변수 변화를 추정하여 분석을 수행할 필요가 잇을 것으로 사료되어 다음 절에서 보다 세세한 변화 양상을 분석하였으며, 본 절에서는 등가 매개변수 추정에 시각적인 일치를 검토하기 위하여 인천, 포항 지점에서 정규분포와 쌍봉형 정규분포, 등가 정규분포를 비교하여 도시하였다. 당연한 결과이지만 다른 영역에서는 크게 차이가 날지라도 등가 매개변수를 추정하는 영역(지점)에서의 등가 정규분포함수는 쌍봉형 정규분포와 거의 일치하는 모습을 보이고 있는 것으로 파악되었다(Fig.
본 연구에서는 Level I, II 단계의 신뢰성 설계에 필요한 설계변수 정보 추출과정에서 조위 분포를 정규분포라고 가정하여 추출한 경우와 조 등(2004)이 제시한 쌍봉형 정규분포를 등가 정규분포로 가정하여 설계변수 정보를 추출한 경우의 차이를 비교·분석하였다.
대상 데이터
우리나라 연안 주요 검조소 지점에 해당하는 인천, 군산, 목포, 여수, 부산, 포항의 6개 지점을 대상으로 등가매개변수를추정하였다. 등가 매개변수 추정에 사용된 주요 검조소의 쌍봉형 정규분포 매개변수 값은 조 등(2004)이 제시한 값을 이용하였으며, 주요 파괴조건에 해당하는 상대적인 조위에 대한 등가매개변수 비교를 위하여, 매개변수 추정에 사용된 조위(x* )는 0(영)을 기준으로 µ1, µ1−σ1, µ1−2σ1, µ2, µ2+σ2, µ2+2σ2 값에 대하여 수행하였다.
성능/효과
결과분석조위변화에 따른 등가 매개변수의 절대적인 크기 차이는 있으나 변화양상은 모두 유사한 것으로 파악되었다. 우선 등가평균은 평균해수면 부근(x*=0.
보다 자세한 분석은 모든 조위조건에 대한 등가 매개변수 변화를 추정하여 분석을 수행할 필요가 잇을 것으로 사료되어 다음 절에서 보다 세세한 변화 양상을 분석하였으며, 본 절에서는 등가 매개변수 추정에 시각적인 일치를 검토하기 위하여 인천, 포항 지점에서 정규분포와 쌍봉형 정규분포, 등가 정규분포를 비교하여 도시하였다. 당연한 결과이지만 다른 영역에서는 크게 차이가 날지라도 등가 매개변수를 추정하는 영역(지점)에서의 등가 정규분포함수는 쌍봉형 정규분포와 거의 일치하는 모습을 보이고 있는 것으로 파악되었다(Fig. 3 참조).
포항의 등가평균 추정오차는 ±60 cm를 넘어서는 조위에서 ±4 cm 정도의 오차, 등가표준편차는 2~3 cm 정도의 오차를 보이고 있는 것으로 파악되었다. 따라서 조위자료를 정규분포로 가정하는 경우, 조석이 약한 동해안의 경우에는 그 추정오차가 절대적으로 미미하지만, 조석이 강한 서해안에서는 그 추정오차가 매우 크게 나타나고 있으며, 상대적으로 조 석이 약한 남해안에서도 그 추정오차가 상당한 수준이기 때문에 조위 분포를 정규분포로 가정하는 경우 그 추정오차가 상당한 수준으로 파악된 바, 쌍봉형 정규분포를 이용하여 등가매개변수를추정하는방법이불가피한것으로파악되었다. 특히 대부분의 해안 구조물의 파괴조건이 조위가 낮은 조건(방파제의 안정 등) 또는 높은 조건(호안의 월파 등)에서 발생하고, 정규분포로 가정한 경우와 실제 조위분포를 보다 잘 재현하는 쌍봉형 정규분포를 이용하여 등가평균 및 등가표준편차를 추정하는 경우의 오차가 조위가 낮아지거나 높아질수록 크게 증가한다는 점을 고려하면 조위의 실제 확률분포 특성을 반영하는 쌍봉형 정규분포를 이용한 등가 매개변수 추정이 필요할 것으로 판단된다.
0)에서는 정규분포를 가정하여 추정한 평균과 비슷한 값을 보이고 있으나, 해수면이 증가하면 증가하고, 해수면이 감소하면 감소하는 양상을 보이고 있다. 반면, 등가표준편차는 평균해수면 부근에서는 정규분포를 가정한 표준편차보다 크게 나타나고 있으나, 해수면이 증가-감소하면서 모두 표준편차는 정규분포를 가정한 표준편차 보다 더 작은 값으로 감소하는 양상을 보이고 있는 것으로 파악되었다(Fig. 4 참조).
대부분의 신뢰성 설계 연구시 조위분포를 정규분포 또는 삼각형분포(Goda and Takagi, 2000)로 가정하거나, 상수로 취급하는 경우가 많다. 본 연구를 통하여 조위 설계변수를 쌍봉형 정규분포를 이용하지 않는 경우 산정된 결과에는 많은 오차가 포함된다는 것을 알 수 있다. 따라서, 조석현상이 우세한 서해안과 남해안의 경우 쌍봉형 정규분포를 이용하여 신뢰성 해석을 실시하여야 할 것으로 사료된다.
쌍봉형 정규분포 형태를 따르는 조위에 대하여 등가평균 및 등가표준편차를 추정하고, 정규분포를 가정하여 추정한 평균과 표준편차와 비교하였다 그 결과, 등가 매개변수 추정오차는 조위조건과 조위의 크기에 따라 크게 변하고 있는 것으로 파악되었다. 인천의 경우, ±400 cm 조건에서 등가평균 및 등가표준편차 추정편차는 각각 100 cm 이상, 80~100 cm 정도로 파악되었으며, 조석이 약한 포항에서는 ±60 cm 조건에서 모두 2~4 cm 정도의 작은 추정 편차를 보이고 있는 것으로 파악되었다.
포항의 등가평균 추정오차는 ±60 cm를 넘어서는 조위에서 ±4 cm 정도의 오차, 등가표준편차는 2~3 cm 정도의 오차를 보이고 있는 것으로 파악되었다.
후속연구
따라서 조위자료를 정규분포로 가정하는 경우, 조석이 약한 동해안의 경우에는 그 추정오차가 절대적으로 미미하지만, 조석이 강한 서해안에서는 그 추정오차가 매우 크게 나타나고 있으며, 상대적으로 조 석이 약한 남해안에서도 그 추정오차가 상당한 수준이기 때문에 조위 분포를 정규분포로 가정하는 경우 그 추정오차가 상당한 수준으로 파악된 바, 쌍봉형 정규분포를 이용하여 등가매개변수를추정하는방법이불가피한것으로파악되었다. 특히 대부분의 해안 구조물의 파괴조건이 조위가 낮은 조건(방파제의 안정 등) 또는 높은 조건(호안의 월파 등)에서 발생하고, 정규분포로 가정한 경우와 실제 조위분포를 보다 잘 재현하는 쌍봉형 정규분포를 이용하여 등가평균 및 등가표준편차를 추정하는 경우의 오차가 조위가 낮아지거나 높아질수록 크게 증가한다는 점을 고려하면 조위의 실제 확률분포 특성을 반영하는 쌍봉형 정규분포를 이용한 등가 매개변수 추정이 필요할 것으로 판단된다.
그러나 그 영향이 파랑에 비하여 상대적으로 작을지라도 조위는 파랑 다음으로 중요한 설계인자이기 때문에 쌍봉형 정규분포로 표현되는 분포함수를 정규분포로 무리하게 가정하여 신뢰성 설계를 수행하는 경우에는 조위분포의 가정에 따른 과도한 오차수반이 불가피한 것으로 파악되었다. 향후 이러한 오차가 기존의 다양한 해안구조물의 신뢰성 설계의 결과에 미치는 정량적인 오차분석 연구 및 기존의 설계결과에 대한 검토가 추진되어야 할 것으로 판단된다.
질의응답
핵심어
질문
논문에서 추출한 답변
해안구조물의 경우 가장 중요한 설계인자는?
일반적으로 해안구조물의 경우 파랑이 가장 중요한 설계인자이다. 그러나 그 영향이 파랑에 비하여 상대적으로 작을지라도 조위는 파랑 다음으로 중요한 설계인자이기 때문에 쌍봉형 정규분포로 표현되는 분포함수를 정규분포로 무리하게 가정하여 신뢰성 설계를 수행하는 경우에는 조위분포의 가정에 따른 과도한 오차수반이 불가피한 것으로 파악되었다.
해안구조물의 경우 파랑 다음으로 중요한 설계인자는?
일반적으로 해안구조물의 경우 파랑이 가장 중요한 설계인자이다. 그러나 그 영향이 파랑에 비하여 상대적으로 작을지라도 조위는 파랑 다음으로 중요한 설계인자이기 때문에 쌍봉형 정규분포로 표현되는 분포함수를 정규분포로 무리하게 가정하여 신뢰성 설계를 수행하는 경우에는 조위분포의 가정에 따른 과도한 오차수반이 불가피한 것으로 파악되었다. 향후 이러한 오차가 기존의 다양한 해안구조물의 신뢰성 설계의 결과에 미치는 정량적인 오차분석 연구 및 기존의 설계결과에 대한 검토가 추진되어야 할 것으로 판단된다.
해안구조물 설계시 고려하는 설계인자인 조위는 무엇에 영향을 미치는가?
해안구조물 설계시에는 많은 설계인자를 고려하지만, 수리학적으로 중요한 인자로는 파랑과 조위를 들 수 있다. 조위는 구조물 전면의 수심, 파압, 설계 파고 등에 영향을 미치는 인자로, 파괴모드 중에서 특히 월파, 피복재의 안정성, 퇴적물 이동 등에 영향을 미친다. 대부분의 경우 파괴는 평균 조위가 아닌, 저조위(방파제 안정성 등)에서 또는 고조위(호안 월파 등)에서 발생하기 때문에 조위의 확률적 특성을 제대로 반영하여야 한다.
이와 같이 비정규분포 확률변수를 포함하는 한계상태식에 대하여 개선된 일계이차모멘트법을 이용하여 안전성을 평가하기 위해 등가의 정규분포로 치환하는 방법으로는 Rackwitz-Fiessler 변환법이 자주 사용된다(Nowak & Collins, 2000; Haldar & Mahadevan, 2000a; Haldar & Mahadevan, 2000b; 양 등, 2006).
이철응 (2005). 처오름의 신뢰성 해석에 대한 파고-주기결합분포의 영향. 한국해안.해양공학회지, 17(3), 178-187.
이(2005, 2008a)는 파고와 주기 결합분포를 이용한 처오름 신뢰성 해석과 해수면 상승에 따른 구조물 신뢰성 해석을 실시하면서 방파제 전면의 조위변화에 따른 수심을 정규분포로 가정하였으며, 이(2008b)는 경사제의 다중 파괴모드에 대한 신뢰성 해석을 실시하는 과정에서도 방파제 전면의 수심을 정규분포로 가정하였다.
이철응 (2008a). 해수면 상승에 따른 경사식 해안 구조물의 신뢰성 해석. 한국해안.해양공학회논문집, 20(1), 42-48.
이(2005, 2008a)는 파고와 주기 결합분포를 이용한 처오름 신뢰성 해석과 해수면 상승에 따른 구조물 신뢰성 해석을 실시하면서 방파제 전면의 조위변화에 따른 수심을 정규분포로 가정하였으며, 이(2008b)는 경사제의 다중 파괴모드에 대한 신뢰성 해석을 실시하는 과정에서도 방파제 전면의 수심을 정규분포로 가정하였다.
이철응 (2008b). 경사제의 다중 파괴모드에 대한 신뢰성 해석. 한국해안.해양공학회논문집, 20(2), 137-147.
이(2005, 2008a)는 파고와 주기 결합분포를 이용한 처오름 신뢰성 해석과 해수면 상승에 따른 구조물 신뢰성 해석을 실시하면서 방파제 전면의 조위변화에 따른 수심을 정규분포로 가정하였으며, 이(2008b)는 경사제의 다중 파괴모드에 대한 신뢰성 해석을 실시하는 과정에서도 방파제 전면의 수심을 정규분포로 가정하였다.
해안구조물 설계시 중요한 인자 중의 하나인 조위분포의 경우, 우리나라 연안 조위자료를 분석하여 쌍봉형 정규분포(조 등, 2004; 정 등, 2005), 이중 절단 쌍봉형 분포(정 등, 2008) 등이 제시되어 있음에도 불구하고, 조위분포를 정규분포로 가정한 신뢰성 설계가 빈번하게 수행되고 있다.
그러나 조위분포는 정규분포와는 다른 쌍봉형 분포 형태 (조 등, 2004; Fig. 1 참조)가 보다 적합한 것으로 이미 증명되고 제안되어 있기 때문에 기본적인 신뢰성 설계과정에서 조위자료를 취급하는 경우, 쌍봉형 정규분포에 대한 등가 정규분포에 대한 매개변수 추정이 불가피하다.
본 연구에서는 Level I, II 단계의 신뢰성 설계에 필요한 설계변수 정보 추출과정에서 조위 분포를 정규분포라고 가정하여 추출한 경우와 조 등(2004)이 제시한 쌍봉형 정규분포를 등가 정규분포로 가정하여 설계변수 정보를 추출한 경우의 차이를 비교·분석하였다.
등가 매개변수 추정에 사용된 주요 검조소의 쌍봉형 정규분포 매개변수 값은 조 등(2004)이 제시한 값을 이용하였으며, 주요 파괴조건에 해당하는 상대적인 조위에 대한 등가매개변수 비교를 위하여, 매개변수 추정에 사용된 조위(x* )는 0(영)을 기준으로 µ1, µ1−σ1, µ1−2σ1, µ2, µ2+σ2, µ2+2σ2 값에 대하여 수행하였다.
해안구조물 설계시 중요한 인자 중의 하나인 조위분포의 경우, 우리나라 연안 조위자료를 분석하여 쌍봉형 정규분포(조 등, 2004; 정 등, 2005), 이중 절단 쌍봉형 분포(정 등, 2008) 등이 제시되어 있음에도 불구하고, 조위분포를 정규분포로 가정한 신뢰성 설계가 빈번하게 수행되고 있다.
해안구조물 설계시 중요한 인자 중의 하나인 조위분포의 경우, 우리나라 연안 조위자료를 분석하여 쌍봉형 정규분포(조 등, 2004; 정 등, 2005), 이중 절단 쌍봉형 분포(정 등, 2008) 등이 제시되어 있음에도 불구하고, 조위분포를 정규분포로 가정한 신뢰성 설계가 빈번하게 수행되고 있다.
또한 조위분포를 전혀 고려하지 않고, 결정론적인 방법으로 해석하는 경우도 빈번하다(서 등, 2003; 홍 등 2004).
Burcharth, H. F. and Sorenson, J. D. (1998). Design of Vertical Wall Caisson Breakwaters Using Partial Safety Factors. Proc. 26th Int. Conf. Coastal Eng., 2138-2151.
방파제 설계시 조위의 영향을 고려하기 위하여, Christiani et al.(1996)과 Burcharth and Sorensen(1998)은 대조평균고조위와 대조평균저조위 사이에서 정현함수 형태로 조위 변화를 가정하여 신뢰성 해석을 실시하였다.
Christiani, E., Burcharth, H. F. and Sorenson, J. D. (1996). Reliability Based Optimal Design of Vertical Breakwaters Modelled as a Series System of Failure. Proc. 25th Int. Conf. Coastal Eng., 1589-1602.
방파제 설계시 조위의 영향을 고려하기 위하여, Christiani et al.(1996)과 Burcharth and Sorensen(1998)은 대조평균고조위와 대조평균저조위 사이에서 정현함수 형태로 조위 변화를 가정하여 신뢰성 해석을 실시하였다.
Goda, Y. and Takagi, H., (2000). A reliability design method of caisson breakwaters with optimal wave heights, Coastal Engineering Journal, 42(4), 357-387.
대부분의 신뢰성 설계 연구시 조위분포를 정규분포 또는 삼각형분포(Goda and Takagi, 2000)로 가정하거나, 상수로 취급하는 경우가 많다. 본 연구를 통하여 조위 설계변수를 쌍봉형 정규분포를 이용하지 않는 경우 산정된 결과에는 많은 오차가 포함된다는 것을 알 수 있다.
Haldar, A., and Mahadevan, S. (2000a). Probability, Reliability and Statistical Methods in Engineering Design. John Wiley & Sons.
이와 같이 비정규분포 확률변수를 포함하는 한계상태식에 대하여 개선된 일계이차모멘트법을 이용하여 안전성을 평가하기 위해 등가의 정규분포로 치환하는 방법으로는 Rackwitz-Fiessler 변환법이 자주 사용된다(Nowak & Collins, 2000; Haldar & Mahadevan, 2000a; Haldar & Mahadevan, 2000b; 양 등, 2006).
Haldar, A., and Mahadevan, S. (2000b). Reliability Assessment Using Stochastic Finite Element Analysis. John Wiley & Sons.
이와 같이 비정규분포 확률변수를 포함하는 한계상태식에 대하여 개선된 일계이차모멘트법을 이용하여 안전성을 평가하기 위해 등가의 정규분포로 치환하는 방법으로는 Rackwitz-Fiessler 변환법이 자주 사용된다(Nowak & Collins, 2000; Haldar & Mahadevan, 2000a; Haldar & Mahadevan, 2000b; 양 등, 2006).
Kawai, H., Fujisaku, H. and Suzuki, Y. (1996). Occurrence probability of tidal level and its effect on stability of breakwater. Proc. of Civil Engineering in the Ocean, JSCE, Vol. 12, 261-266 (in Japanese).
Kawai et al. (1996, 1997)은 조위의 발생 확률밀도를 Bathtub Curve 분포 형태로 가정하는 경우 피해 발생확률이나 기대 활동량의 값은 크게 추산되는 것을 증명하였다.
Kawai, H., Takayama, T., Suzuki, Y. and Hiraishi, T. (1997). Failure probability of breakwater caisson for tidal level variation. Report of the Port and Harbor Research Institute, 36(4), 3-42 (in Japanese).
이와 같이 비정규분포 확률변수를 포함하는 한계상태식에 대하여 개선된 일계이차모멘트법을 이용하여 안전성을 평가하기 위해 등가의 정규분포로 치환하는 방법으로는 Rackwitz-Fiessler 변환법이 자주 사용된다(Nowak & Collins, 2000; Haldar & Mahadevan, 2000a; Haldar & Mahadevan, 2000b; 양 등, 2006).
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